专题07 平面向量与复数（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量与复数。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题07 平面向量与复数 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 （1）平面向量的线性运算：理解向量的加法、减法和数乘运算及其几何意义。 （2）平面向量的内积：了解平面向量内积的概念、运算和性质；了解平面向量内积的几何应用。 （3）平面向量的坐标表示：理解向量的坐标表示；初步掌握向量坐标运算的几何应用。 （4）复数的概念：理解虚数单位和复数的概念；理解共枙复数，初步掌握两个复数相等的条件。 （5）复数的运算：理解复数代数形式的加法、减法和乘法运算； 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 10 向量的坐标运算、集合运算 3 （1）题型：平面向量集中在选择题1题。复数为新增考点，预测题型在选择、填空题，题量1题。 （2）分值：一般考查1题，2025年分值占3分。 （3）内容：向量的坐标运算，与几何表示相结合。 2024 选择题 18 向量的坐标运算、几何运算 3 2023 选择题 18 向量的坐标运算、加减运算 3 2022 选择题 4 向量的坐标运算、数乘运算 2 2021 选择题 10 向量的加法、模、最值 2 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试有2道题目分别考查平面向量与复数，题型设置为单项选择题1题，填空题1题，共7分。 具体考点可能涉及如下内容： （1）平面向量的内积：了解平面向量内积的概念、运算和性质； （2）平面向量的坐标表示：理解向量的坐标表示；初步掌握向量坐标运算的几何应用。 （3）复数的概念：理解虚数单位和复数的概念；理解共枙复数，初步掌握两个复数相等的条件。 （4）复数的运算：理解复数代数形式的加法、减法和乘法运算； 四、知识梳理 一、向量的概念 1.零向量：大小为的向量叫做零向量，记作，的方向任意. 单位向量：大小为的向量叫做单位向量，与非零向量同向的单位向量为. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 （1）三角形法则口诀：首尾相连，首指向尾 （2）平行四边形法则：设为任意一点，，，以，为邻边作平行四边形，则向量为与的和向量，如图所示： 2.向量的减法 （1）运算法则口诀：共起点，连终点，后指向前 3.数乘向量 （1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的大小和方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当或时，. （2）运算法则 ①；②；③. （3）向量共线或平行的充要条件：向量与非零向量共线或平行的充要条件是. 三、平面向量的坐标运算 1.若，，则. 2.若，，则，. 3.若，为实数，则，. 4.设，，则， 5.向量平行与垂直的坐标表示 设，， （1）的充要条件是（可简单记忆为）； （2）两非零向量的充要条件是. 6.若，，则线段的中点坐标是 四、复数的概念与几何表示 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (2)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (3)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 3．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 4．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 5．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)性质 ①.②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 6．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 五、复数的线性运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. 4．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 六、求解复数方程 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 五、10分钟小测验 1．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“，的夹角是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格线的交点处，则（      ）    A．4 B．5 C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 4．向量与垂直的条件是（    ） A． B． C． D． 5．虚数，，则的虚部为（    ）． A．7 B．3 C．1 D． 6．在平面直角坐标系中，向量，若三点共线，则实数 ． 7．已知实部为正数的复数z满足，且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上． (1)求复数z； (2)若复数为纯虚数，求实数m的值． 1．B 【知识点】充要条件的判断与证明、向量夹角的计算 【分析】根据充分、必要条件的定义以及向量内积与夹角的关系求解即可. 【详解】必要性分析：若为钝角，则， 故， 因此“夹角是钝角”“”成立，说明是必要条件． 充分性分析：若，则，即， 因基底要求与不共线，故不能为0和，故必为钝角． 因此“”“夹角是钝角”成立，说明其是充分条件． 综上，“”与“夹角是钝角”互为充要条件． 故选：B． 2．C 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】在网格中建立直角坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立直角坐标系，    由图可知：，， 则， 所以， 故选：C. 3．B 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 4．A 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直时内积为零，结合向量内积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得. 故选：A. 5．D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【分析】先根据虚数的运算法则得到，再根据虚部的概念求解即可. 【详解】因为虚数，， 所以， 即的虚部为. 故选：D. 6． 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】先求出向量，再根据向量平行的条件列方程求解即可. 【详解】因为向量， 所以，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 7．(1). (2). 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】（）根据题意设，结合模长公式及复数的几何意义求出的值即可得解. （）根据共轭复数的定义及纯虚数的定义即可得解. 【详解】（1）设（且）， 由，得， 又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上． 则，即， 则，解得或， 又，∴，，所以． （2）由（1）得，， ∵为纯虚数， ∴，解得． 六、经典例题解析 【考试题型1】向量的线性运算 【例1】已知平行四边形，点分别是的中点（如图所示），设，，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得出结论. 【详解】已知，， 则， 因为点分别是的中点， 所以. 故选：A． 【考试题型2】向量平行、垂直位置关系的应用 【例2】已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数　（ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】两向量平行，则，结合是平面上的两个不共线向量列出方程组，求出的值. 【详解】，， 向量，，， 则， 是平面上的两个不共线向量， ，解得． 故选：B. 【例3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直的坐标表示求得，再利用余弦函数的倍角公式即可得解. 【详解】，， ，则， 整理得，解得或（舍去）， . 故选：B. 【考试题型3】向量内积的应用 【例4】在边长为2的正三角形中， 【答案】 【知识点】用定义求向量的内积 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 【例5】若向量满足则的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量内积的概念即可求解. 【详解】设的夹角为，则， 由题可知，，即， 所以，，， 又，故可得，即的夹角为. 故答案为：. 【例6】已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】内积的运算律、向量夹角的计算、已知模求内积 【分析】利用向量内积的运算法则求得，从而求得，由此得解. 【详解】因为，， 所以， 所以，则， 因为，所以. 故选：B. 【例7】已知椭圆的焦点分别是，点M在椭圆上，如果，那么点M到x轴的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】内积的坐标表示、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆的标准方程、焦点坐标、向量数量积的坐标运算计算即可求解. 【详解】解：依题意得，，设 则. 又. 所以点M到x轴的距离为． 故选：B 【考试题型4】复数的概念与几何意义 【例8】复数对应的点位于第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、求复数的模 【分析】先由复数对应点的坐标求解a的取值范围，再由复数的模结合二次函数的性质求解即可. 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点位于第二象限， 所以，解得， 所以， 因为， 当时，有最小值为， 当或2时，有最大值为3， 所以． 故答案为:. 【考试题型5】实系数方程的根 【例9】二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、实系数一元二次方程在复数范围内的根 【分析】设出二次方程的根代入方程即可解得. 【详解】设方程的根为，则有， 即，即 ，解得， 所以方程的根为或，共有两个虚数根. 故选：D. 【例10】已知是实系数一元二次方程的两根，则 ， ． 【答案】 5 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数 【分析】由根与系数的关系即可求解的值，代入即可求解的值. 【详解】因为是实系数一元二次方程的两根， 则， ， 又因为是实系数一元二次方程， 所以，， 所以，即，. 故答案为：；. 【考试题型6】复数的四则运算 【例11】已知复数. (1)求的共轭复数； (2)若，求实数a，b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）由题意化简求出，再根据共轭复数的定义求解； （2）由题意列式求解. 【详解】（1）， 所以z的共轭复数为； （2）. 七、专题归纳小结 1. 依据中等职业学校数学课程标准和近5年浙江省高职考数学的命题特点和趋势，平面向量考查知识点主要集中在向量的坐标运算，与几何运算相结合。向量内积和复数为新增考点，2026年考查的可能性较大。向量内积主要集中在内积的坐标运算，复数主要集中的复数的概念与线性运算。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $