充要条件-湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》第5卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年对口招生考试数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。 本卷是湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 4．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 6．已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则是的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 10．已知函数的定义域为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题（每题5分，共20分） 11．“”是“”的 条件（填“充分”或“必要”）． 12．已知条件，结论，求条件p是结论q的 条件； 13．已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 14．已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 三、解答题（每题10分，共40分） 15．已知命题：，命题：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 16．分析下列各项中p与q的关系． (1)p：为锐角，q：； (2)p：，q：. 17．指出下列各组的条件是结论的什么条件： (1)，； (2)，； (3). 18．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年对口招生考试数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。 本卷是湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 【详解】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 即三角形的一个角为不能推出该三角形为等边三角形， 等边三角形可以推出该三角形的三个角均为， 所以“有一个角是”是“是等边三角形的必要不充分条件”. 故选：. 2．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】是等腰三角形不能推出是等腰直角三角形， 而是等腰直角三角形能推出是等腰三角形， 所以“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的必要不充分条件． 故选：B. 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，则必有，故充分性成立； 若，则不一定有，如，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 4．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 5．“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】因为四条边相等的四边形不一定是正方形，故充分性不成立； “四边形是正方形”，则这个四边形的四条边肯定相等，故必要性成立； 所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合不等式的性质，及充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，又，那么一定成立，即充分性成立； 若，又恒成立，所以，即必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 7．已知，则是的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义，求解即可. 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定有，即，则“”是“”的充分条件； 但当时，不一定有，即，则“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，则不能推出；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故B错误； 对于C，或能推出；能推出或， 故条件p是结论q的充要条件，故C正确； 对于D，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故D错误， 故选：C. 10．已知函数的定义域为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用具体函数定义域的求法得到集合，再利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】对于，有，即，解得且， 所以的定义域为， 当时，显然有，故充分性成立； 当时，取，则不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题（每题5分，共20分） 11．“”是“”的 条件（填“充分”或“必要”）． 【答案】必要 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】的解是；的解是． 由不能推出，由能推出， 所以“”是“”的必要条件． 故答案为：必要. 12．已知条件，结论，求条件p是结论q的 条件； 【答案】必要不充分 【分析】利用条件的必要性与充分性分别判断即可. 【详解】若，例如，无法推出，故充分性无法证明； 若，因为，则，故必要性得证； 则条件p是结论q的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分. 13．已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由题可知：是的必要不充分条件，所以（等号不同时成立），所以. 故答案为： 14．已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】先化简条件和条件，再根据是的必要不充分条件即可求解. 【详解】，或， 所以条件对应的集合或， 对于，当时，；当时，； 当时，或，设条件对应的集合， 因为是的必要不充分条件，所以，即. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，要使，则且，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（每题10分，共40分） 15．已知命题：，命题：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据充分条件列出不等式组进而求解. 【详解】∵是的充分条件， ∴， ∴解得， ∴实数的取值范围是． 16．分析下列各项中p与q的关系． (1)p：为锐角，q：； (2)p：，q：. 【答案】(1)q是p的充分条件； (2)p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】（1）依题意，，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件. （2）依题意，，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件. 17．指出下列各组的条件是结论的什么条件： (1)，； (2)，； (3). 【答案】(1)充分不必要条件； (2)必要不充分条件. (3)充要条件. 【分析】（1）根据充分、必要条件的定义求解即可. （2）根据充分、必要条件的定义求解即可. （3）根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】（1）由条件成立能够推出结论成立，因此是的充分条件； 而由结论成立不能够推出条件一定成立， 因为当时，也成立，所以不是的必要条件， 故是的充分不必要条件. （2）由条件成立不能推出结论，如时，1但， 因此不是的充分条件； 而由结论成立能够推出条件成立，是的必要条件， 故是的必要不充分条件. （3）由条件成立能够推出结论成立， 而由结论成立也能够推出条件成立，因此是的充要条件. 18．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）代入确定条件，结合必要条件的定义，进而确定条件和条件的关系； （2）由是的充分不必要条件，列出式子确定的取值范围. 【详解】（1）若，则条件， 已知条件， 因为是的真子集， 则条件可推出条件，但条件推不出条件， 因此条件是条件的必要条件. （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 试卷第4页，共8页 试卷第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $