精品解析：辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高二上学期第一次质量监测（10月）数学试题

沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高二年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：王新宇 校对人：王平平 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 3. 若直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 4. 如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标，，，进而可得结果. 【详解】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则 ，设EF与所成的角为， 则 故选：C 5. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 6. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴对称点的坐标为， 根据题意可得，点在反射光线所在的直线上， 设反射光线所在的直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 故选：A. 7. 如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离，进而求出最小值. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，平面，则，又，， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接， 则，，设，， 所以，，设与的夹角为， ，则， 所以点到直线的距离为， 由，则，所以， 所以点到直线距离的最小值为. 故选：D. 8. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D. 【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径， 显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误； 同理C选项的数量积也取不到，所以C错误； 对于B,设， 因为，，， 则的方程为：，因为 化简可得：， 同理的方程为：， 而在切线，上，所以 ，， 因为在直线 故直线的方程为，令，， 即过定点，故B正确； 对于D，圆心到直线的距离平方为， 线段一半的平方为：， 点到直线的距离的平方为：， 所以面积的平方为： ①，因为， 所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值， 所以面积平方的最大值， 故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ） A. 点的轨迹长为 B. 的最小值为 C. D. 三棱锥体积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知方程可得点的轨迹，画出图形，再计算轨迹长度可得A错误；由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，求出投影长可得B正确；由平面可得C正确；当点位于半圆弧中点时，可由棱锥的体积公式计算体积的最小值可得D错误； 【详解】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上， 又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线， 如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆， 所以点的轨迹长为，故A错误； 对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为， 所以，故B正确； 对于C：因为平面，平面， 所以，故C正确； 对于D：因为平面， 所以点到平面平面的距离为，则， 由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为， 所以，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是能根据已知点的方程结合图形画出点的轨迹平面图形，从而计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用点到直线距离公式计算即可. 【详解】运用点到直线距离公式,得到. 故答案为：1. 13. 由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值. 【详解】 由题意知，圆的圆心，半径 两切线关于对称 四边形面积为 当时，最小，此时 四边形面积的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化为圆心到直线距离的求解问题. 14. 如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先作出平面截正方体的截面为六边形，并得到平面与平面的交线为，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为6，写出点的坐标，平面的一个法向量为，利用公式先求出线面角的正弦值，进而求出余弦和正切值. 【详解】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得， 故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 菱形ABCD中，A（-4，7），C（2，-3），BC边所在直线过点P（3，-1）．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 【答案】（1）2x-y+15=0； （2）3x-5y+13=0. 【解析】 【分析】（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出． （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出 【详解】（1）kBC==2，∵AD∥BC，∴kAD=2， ∴直线AD方程为y-7=2（x+4），即2x-y+15=0． （2）kAC==-， ∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=-， 而AC中点（-1，2），也是BD的中点， ∴直线BD的方程为y-2=（x+1），即3x-5y+13=0． 【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆的交点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：设圆的标准方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组求得参数得结论； 法二：求出直线AB的垂直平分线，联立直线方程求得圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解方程； 法三：设圆的一般方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组求得参数得结论； 法四：设圆心坐标，利用半径建立方程求解圆心坐标和半径，即可求解圆的方程. （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【小问1详解】 （法一）设圆的标准方程为，则圆心为． 由题意可得解得, 圆的标准方程为． （法二）由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即， 圆心在直线上，联立解得 即圆心为， 圆的半径 圆的标准方程为． （法三）设圆的一般方程为， 则圆心为． 由题意可得解得, 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． （法四）设圆心， 整理，得圆心． 圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点是中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面． 以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：（法一）如图：连接， 中，为等边三角形． 为中点，，且， 底面为菱形，所以， 为等边三角形． 为中点，，且， ， 平面， 平面， （法二）如图：连接， 中，为等边三角形， 为中点，，且， 底面为菱形，， 为中点，， 在中，由余弦定理得： ， 即， 平面 平面 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定直接证明即可； （2）利用向量法求得线面角的正弦值即可； （3）推出点的轨迹是半径为的一个圆，求出圆的周长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ， 分别为的中点，， ， ， ， 设平面的一个法向量为，则． 则，所以，取，则， 平面的一个法向量为． 平面的一个法向量为， 则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则． 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 （3）（法一）存在点，使． 理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．， 设平面的一个法向量为，则． 则，则，取，则． 平面的一个法向量为． 点到平面的距离为． ，记， 在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆， 即点的轨迹长度为． （3）（法二）存在点，使． 理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上． 是的中点点到平面的距离是到平面的距离的． 设点到平面的距离为，连接， 在中，由余弦定理得： 即， ，即， ， ． ，即点到平面的距离为， 点到平面的距离为． ，记， 在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆， 即点的轨迹长度为． 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）和 （2）存在，定点，定值或定点，定值 （3） 设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 【小问2详解】 由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高二年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：王新宇 校对人：王平平 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4. 如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ） A. 点的轨迹长为 B. 的最小值为 C. D. 三棱锥体积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为______． 13. 由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____. 14. 如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 菱形ABCD中，A（-4，7），C（2，-3），BC边所在直线过点P（3，-1）．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆的交点为，求． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $