素养提升解答题专项训练《三角函数、三角恒等变换、解三角形》5：“三线”问题-2026届高三数学一轮复习

素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 (五)“三线”问题 一、中线问题 例1（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T15)设ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、C,已知bsinC+√3 ccos B=√3a. (1)求角C的大小； 2》若A8=25,且sin dsin=求4B边上中线CT的长 【举一反三1】（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模T15)已知ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为二a(csin C+bsin B-asin A. (1)求A; (2)若a=2,且ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD, 二、角平分线问题 例2.如图，在ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D,AD:AC:CD=3:5:7. A D B (1)求cos∠ACB; (2)若BC+BD=8,求4C的值 sin B 【举一反三2】在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,分别 以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为S,S2,S,且S=S,-S2+S,. (1)求B: 2设∠ABC的平分线交4C于点D,若b=5,S=24c+a,求8D的长 【举一反三3】（湖北省沙市中学2025届高三下学期5月模拟T15)在ABC中，内角 4BC所对的边分别为a点c,已知sn8 o+hcos利=corB-君 (1)求角B的大小： ②若∠ABC的角平分线BD与边AC相交于点D,BD=65,b=,求ABC的周长. 5 三、高线问题 例3.（四川省百师联盟2024届高三下学期信息押题卷（三）)在ABC中，角A,B,C的对 边分别为a,b,c,且b(1+cosC)=V3 csinB. (1)求角C的大小： (2)若c=2V10,b-a=4,求AC边上的高. 【举一反三4】（江苏省苏州市2025-2026学年高三上学期期初阳光调研）.在ABC中，角 A,B,C的对边为a,b,C,sinA+cosA=2√2sinB,且a2+c2-b2=V3ac (1)求A; (②)若ABC的周长为3+√3+√2，求AB边上的高 解析： 素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 (五)“三线”问题 一、中线问题 例1（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T15)设ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、C,已知bsinC+√3 ccos B=√3a. (1)求角C的大小： 2)若AB=22,且sin Asin B=,求4B边上中线CT的长 【解析】(1)在ABC中，由bsin C+√3 ccos B=√3a及正弦定理得 sin B sin C+3 sin C cos B=3 sin A=3 sin(B+C)=3sin B cosC+3 cos B sin C ,即sin Bsin C=√3 sin BcosC, 因为B、C∈(0，π，则sinB>0,即sinC=V3cosC>0,可得tanC=√3，故 Csπ 3 a b c 22 46 (2)由正弦定理可得sinA sin B sinC π3’ sin 3 所以ab=sin AsinB.c n2℃4， 在ABC中，由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abc0sC=a2+b2-ab=a2+b2-4, 所以，a2+b2=12, 医为CT为AB边上的中线，所以C7-CB+C网)， 所以cT2-CB+C网'=c丽+C+2CB.C）4(a+b+2 abcosC) =a2++ab)=4x12+4-4,故c可=2， 因此，AB边上的中线CT的长为2： 【举一反三1】（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模T15)己知ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,aABC的面积为二a(csin C+bsin B-asin A. 2 (1)求A; (2)若a=2,且ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD, 【解析】(1)依题意，2a(esinC+bsinB-asin)=2 absinC, 所以csin C+bsin B-asin A=bsin C,由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc, 1 由余弦定理，c2+b2-a2=2bcc0sA,解得c0sA= 因为4∈0，，所以4=骨 (2)依题意，b+c=5-a=3, 因为c2+b2-bc=(b+c2-3bc=a2,解得bc= 3, 因为AD=(AB+AC), 以2二a0F+c+cb+oc3h 4 4 46 所以AD= V66 6 D 二、角平分线问题 例2.如图，在ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D,AD:AC:CD=3:5:7 D B (1)求coS∠ACB; (2)若BC+BD=8,求4C的值 sin B 【解析】(1)如图，在△ACD中，由题意得AD:AC:CD=3:5:7, D B C 设AD=3t,则AC=5t,CD=7t, 则由余弦定理得cos∠ACD=5)'+(702-(3)213 2×5t×7t 14 因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACB=2∠ACD,∠BCD=∠ACD, 由二倍角公式得cos∠ACB=2cos2∠ACD-1=2× 13)2 71 -1= 14 98 (2)由1知cos∠ACD=3,易得sinL4CD>0, 14 所以sin∠BCD=sin∠ACD=-co9'∠ACD-3N3 14 由余弦定理得cos∠ADC=(3)'+(7)2-(5)}211 2×3t×7t14 结合诱导公式得sin∠BDC=sin(x-∠ADC)=sin∠ADC=V-cos'∠ADC=5N5 14 3v3 在△BCD中，由正弦定理 BD-sin∠BCD=14=3」 BC sin∠BDC5V3-5' 14 因为BC+BD=8,所以BD=3,BC=5, 由余弦定理得cosA=3)'+(5)2-(721 2×3t×5t 2 AC BC 5103 因为A∈0，)，所以A=,，由正弦定理得sin B sin A v33 2 【举一反三2】在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,分别 以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为S,S2,S,且S=S,-S2+S,. (1)求B; ②设∠ABC的平分线交4C于点D,若b=5,S=5(4c+,求BD的长. 16 【详解11)由题意3=5。，5，=5,5，=5。，(2分) 4 4 则5=9-5，+5=5o-公+e） 4 由余弦定理得a2+c2-6=2 accosB,所以5=5 2 ac cos B,(4分) 又s方asa8, 所以)acsinB=5。 2 ac cosB,(5分) 则anB=5,又0<B<,所以B-骨6分) (2)法：由1)知∠48c=骨，又5= a<4c-将c,. 所以4c2+a2-4ac=0,所以(2c-a=0,所以a=2c.(8分) 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 accos元=a2+c2-ac=3,得a=2,c=1,(10分) 3 所以b2+c2=a2,所以A= 2 B 在△ABD中BD=AB=1=25 cos c0sπ3·(13分) 6 6 法二：由(1)知， ab+c234c+a,整理得3a=46, 16 由正弦定理得3sin2A=4sin2∠ABC,(9分) 又∠ABC=行，所以sim2A=1, 因为A(0,,所以A= 2 由6：5，an乙ABC=b-5,得c=l.I1分) 在△ABD中，BD=C 125 3.(13分) 6 6 【举一反三3】（湖北省沙市中学2025届高三下学期5月模拟T15)在ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为ai,c.已知sinB(acos B+bcosA)=ccos B-刀 6 (1)求角B的大小： ②者∠48C的角平分线BD与边4C相交于点D,8D-65,6=7,求48C的周长。 【解析】(1)因为sinB(acos B+bcos4=ccosB- π 6 ， 由正弦定理可得 sinB(sinAcosB+sinBcos4)=sinC cosB 6 ,(1分) sin8sn4+)=sisinC=sinCcos-君》，(2分)：Ce0,a,sinC>0,(3分) sinB=cosB-元，即sinB=cos Bcos+sin Bsin,(4分) 6 6 6 即⑤ 5nB,an8=5.5分)又8E(0,m),B-骨：《6分，不写B的范 围扣1分) (2)因为∠ABC的角平分线BD与边AC相交于点D,所以S。HBc=SABD+S.BDC,(7分) 5rs血昏a+da0ng8分》所以am昏a+dB0am爱所以 32 c-a+ed小9分 又由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos∠ABC,即7=a2+c2-ac=(a+c2-3ac,(10分) 所以7=a+eP-a+c,11分)解得a+e=5或a+e= 7 5 (舍去)，(12分) 所以C.4Bc=a+b+c=5+V万.(13分) 三、高线问题 例3.（四川省百师联盟2024届高三下学期信息押题卷（三）)在ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b1+cosC)=V3 csinB. (1)求角C的大小： (2)若c=210,b-a=4,求AC边上的高. 【解析】(1)因为b(1+cosC)=√3 csinB, 所以由正弦定理可得sinB(1+cosC)=√3 sinCsinB. 又因为Be(0,π，则sinB≠0，所以1+cosC=V3sinC. 整理得2nc-引-1，耳mc-君引 因为Ce(0,,所以c-∈，红 666 所以C-石，所以c 66 3 (2)由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,且c=2V10, 则有40=a2+b2-ab=(a-b)2+ab, 又b-a=4,故a2+4a-24=0. 解得a=-2+2√7或a=-2-2万（舍去）， 所以4C边上的高h=asinC=(-2+2W)xY5-5+V2. 【举一反三4】（江苏省苏州市2025-2026学年高三上学期期初阳光调研）.在ABC中，角 A,B,C的对边为a,b,c,sinA+cosA=22sinB,且a2+c2-b2=√5ac. (1)求A; (2)若ABC的周长为3+√5+√2，求AB边上的高 【解折】1)因为a2+e2-b2=V5ac,所以cosB=。+c2-b-3ac-5 2ac 2ac 2 又因为8e(0,刘，所以B-君 所以sinA+cosA=2√2sinB=V2, 得sinA+cosA=5sn4+=5, 得sm4+到=1，又因为40，，所以4=号 (2)在ABC中，过点C作CD⊥AB, C 4 B D 所以∠4CD=∠A=子∠BCD-骨 设AD=x,则在△ACD中，CD=x,AC=√2x, 则在△BCD中，BD=V3x,BC=2x, 所以ABC的周长为(3+V5+V2)x=3+V5+√2 所以x=1, 记AB边上的高为h, 所以h=CD=1.