第27章 圆 复习课 导学案 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦第27章“圆”的复习，涵盖圆的基本性质、位置关系、切线及内外切圆等核心知识点。通过预习导学的知识网络图构建与核心梳理填空，结合合作探究的专题应用，搭建“梳理-应用”学习支架，帮助学生系统归纳知识脉络。 资料以“体系构建-核心梳理-专题探究”为主线，通过填空梳理定理、变式演练及方法归纳，引导学生用数学眼光抽象知识结构，用数学思维推理证明，用数学语言表达解题思路，提升圆的综合应用能力与逻辑推理素养。

第27章 圆 复习课 复习目标 1.知道圆的有关概念,认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理,知道圆周角和圆心角的关系定理,垂径定理. 2.知道点和圆、直线与圆的位置关系,熟记切线的性质定理与判定定理,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线,知道切线长定理. 3.进一步认识正多边形和圆的关系和正多边形的有关计算.熟记弧长和扇形面积公式;知道圆锥的侧面展开图并能熟练进行圆锥的侧面积和全面积的计算. 重点 系统地归纳总结本章知识内容. 【预习导学】 体系构建 请你完成本章的知识网络图. 核心梳理 1.圆心角、弦、弧之间的关系: (1)在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧　 　,所对的弦　 　.  (2)在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角　 　,所对的弦　 　.  (3)在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角　 　,所对的弧　 　.  2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径　 　这条弦,并且　 　这条弦所对的两条弧;  平分弧的直径　 　这条弧所对的弦.  3.　 　或　 　所对的圆周角相等,都等于90°(直角).  4.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　 　,都等于该弧所对的圆心角的　 　;相等的圆周角所对的弧　 　.  推论1:90°的圆周角所对的弦是　 　.  推论2:圆内接四边形的对角　 　.  5.点与圆的位置关系:点P在☉O上⇔OP　 　r; 点P在☉O内⇔OP　 　r;点P在☉O外⇔OP　 　r.  6.　 　的三个点确定一个圆.  7.(1)经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. (2)与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. 8.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则 直线l与☉O相离⇔d　 　r;直线l与☉O相切⇔d　 　r;直线l与☉O相交⇔d　 　r.  9.切线的判定定理:经过圆的半径的　 　且　 　这条半径的直线是圆的切线.  10.切线的性质定理:圆的切线　 　于经过切点的半径.  11.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长　 　.这一点和圆心的连线　 　这两条切线的夹角.  【合作探究】 专题一 圆的基本性质 1.如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的点,若∠CAB=25°,则∠ADC=　 　.  2.一根排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于　 　m.  方法归纳交流　垂径定理是计算圆中线段长的主要工具,在圆中,过圆心作弦的垂线,连结圆心和弦的两个端点,再由“半径、弦长的一半、弦心距”组成　 　三角形, 结合　 　定理进行相关计算.  3.如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点A作AE∥CD交☉O于点E,连结BD,DE,求证:=. 变式演练　在上题图中,若=,求证:AE∥CD. 方法归纳交流　在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也　 　. 专题二 与圆有关的位置关系 4.已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是 ( ) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 5.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是 ( ) A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5 6.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与☉C相切? (2)以C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,则这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系? 方法归纳交流　判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转化为两点之间的距离、　 　,与半径比较大小来解决.  专题三 切线长定理、切线的性质和判定 7.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心,若∠C=56°,则∠ABC的度数为　 　.  8.如图,AB是☉O的直径,C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连结BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是 ( ) A.15° B.30° C.60° D.75° 9.如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连结DE. (1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长. (2)求证:ED是☉O的切线. 方法归纳交流　在涉及切线问题时,常连结过　 　的半径,要想证明一条直线是圆的切线,常常需要做辅助线.若已知直线过圆上某一点,则作出过这一点的半径,证明直 线　 　于半径;若直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于　 　. 专题四 三角形的内切圆与外接圆 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆的半径分别为 ( ) A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.5 11.如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,则下列三角形中,外心不是点O的是 ( ) A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 方法归纳交流　设直角三角形的两条直角边分别是a,b,斜边是c,则该三角形外接圆的半径等于　 　,内切圆的半径等于　 　.  专题五 圆中的计算问题 12.将直径为60 cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A.10 cm B.30 cm C.45 cm D.300 cm 13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2,∠B=135°,则的长为　 　.  参考答案 【预习导学】 体系构建 轴　中心　　　lr 核心梳理 1.(1)相等　相等　(2)相等　相等　(3)相等　相等 2.垂直于　平分　垂直平分 3.半圆　直径 4.相等　一半　相等　直径　互补 5.=　<　> 6.不在同一条直线上 8.>　=　< 9.外端　垂直于 10.垂直 11.相等　平分 【合作探究】 专题一 1.65° 2.1.6 方法归纳交流　直角　勾股 3.证明:连结OE,图略.∵OA=OE,∴∠A=∠OEA.∵AE∥CD,∴∠BOD=∠A,∠DOE=∠OEA,∴∠BOD=∠DOE,∴=. 变式演练　证明:连结OE,图略. ∵OA=OE,∴∠A=∠OEA. ∵∠BOE=∠A+∠OEA,∴∠BOE=2∠A. ∵=,∴∠DOE=∠DOB, ∴∠BOE=2∠DOB,∴∠BOD=∠A, ∴AE∥CD. 方法归纳交流　相等 专题二 4.A　5.A 6.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D. 在Rt△ABC中,BC==4(cm),所以CD==2(cm). 因此,当半径为2 cm时,直线AB与☉C相切. (2)由(1)可知,圆心C到直线AB的距离d=2 cm, 所以当r=2 cm时,d>r,☉C与直线AB相离; 当r=4 cm时,d<r,☉C与直线AB相交. 方法归纳交流　圆心到直线的距离 专题三 7.17° 8.D 9.解:(1)如图,连结CD.∵BC是☉O的直径, ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB, ∵AD=DB, ∴AC=BC=2OC=10. (2)证明:如图,连结OD. ∵∠ADC=90°,E为AC的中点, ∴DE=EC=AC, ∴∠1=∠2,∵OD=OC,∴∠3=∠4, ∵AC切☉O于点C, ∴AC⊥OC, ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°, 即DE⊥OD,∴DE是☉O的切线. 方法归纳交流　切点　垂直　半径 专题四 10.C　11.B 方法归纳交流　c　或(写出一个即可) 专题五 12.A　13.π 学科网（北京）股份有限公司 $