第15讲三角函数的图象与性质课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的图象与性质，覆盖定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及对称性等高考核心考点。依据高考评价体系，系统梳理五点法作图、性质对比表等必备知识，分析单调性、周期性等高频考点权重，归纳定义域求解、单调性判断等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如通过五点法作图培养几何直观，用“整体代换法”解析单调性问题训练逻辑思维。结合2024广东学考模拟题及2023真题，详解定义域、对称轴方程等典型题型，帮助学生掌握答题技巧。教师可据此精准指导复习，助力学生高效突破考点，提升高考得分率。

第15讲　三角函数的图象与性质 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 (π，0) (π，－1) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 最值 当___________________时，ymax＝1； 当_____________________时，ymin＝－1 当________________时，ymax＝1； 当__________________时，ymin＝－1 — x＝2kπ(k∈Z) x＝π＋2kπ(k∈Z) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法： ①利用sin x和cos x的值域直接求． ②把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． ③通过换元，转换成二次函数求值域． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　) √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，________，______________，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ，____________，______________，(2π，1). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) {x|x∈R且x≠ eq \f(π,2) ＋kπ， k∈Z} 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ___________ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 值域 [－1，1] [－1，1] R 单调性 在[－ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(π,2) ＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(3π,2) ＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－ eq \f(π,2) ＋kπ， eq \f(π,2) ＋kπ)(k∈Z)上单调递增 x＝ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z) x＝－ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0)) (k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) (k∈Z) 对称 轴方程 x＝ eq \f(π,2) ＋kπ (k∈Z) x＝kπ(k∈Z) — 周期 2π 2π π 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 eq \f(1,2) 个周期，相邻对称中心与对称轴之间的距离是 eq \f(1,4) 个周期； (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 eq \f(1,2) 个周期． 2．奇偶性 设f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 考点一　三角函数的定义域和值域 (1)函数y＝lg (sin x)＋ eq \r(cos x －\f(1,2)) 的定义域为_______________________． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))) 解析：要使函数有意义，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x>0，,cos x－\f(1,2)≥0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ<x<π＋2kπ，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ，)) k∈Z， 所以2kπ<x≤ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z，所以函数y的定义域为{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)) }． (2)已知函数y＝2cos x定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) ，值域为[a，b]，则b－a＝________． 解析：已知函数y＝2cos x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) 上单调递减，当x＝ eq \f(π,3) 时，ymax＝2× eq \f(1,2) ＝1， 当x＝π时，ymin＝－2， 即a＝－2，b＝1， 所以b－a＝3. 考点二　三角函数的单调性 (1)下列函数中，周期为π且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 上单调递增的是(　　) A．y＝cos 2x B．y＝sin 2x C．y＝cos eq \f(1,2) x D．y＝sin eq \f(1,2) x 解析：选项A，y＝cos 2x，T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝π， 由余弦函数的单调递增区间可得2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 解得kπ－ eq \f(π,2) ≤x≤kπ，k∈Z，当k＝1时， eq \f(π,2) ≤x≤π，故A正确； 选项B，y＝sin 2x，T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝π，由正弦函数的单调递增区间可得2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 解得kπ－ eq \f(π,4) ≤x≤kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z，显然在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 上不单调，故B错误； 选项C，y＝cos eq \f(1,2) x，T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝4π，故C错误； 选项D，y＝sin eq \f(1,2) x，T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝4π，故D错误． 故选A. (2)下列区间中，为函数f(x)＝5sin (－ eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,3) )的一个单调递减区间的是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π，\f(5π,2))) 解析：函数f(x)＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3))) ＝－5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) 的单调递减区间即为函数y＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) 的单调递增区间，令2kπ－ eq \f(π,2) ≤ eq \f(1,2) x－ eq \f(π,3) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，解得4kπ－ eq \f(π,3) ≤x≤4kπ＋ eq \f(5π,3) (k∈Z)，令k＝0，得－ eq \f(π,3) ≤x≤ eq \f(5π,3) ，结合选项知 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ⊆ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3))) ，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 是函数f(x)的一个单调递减区间，A，C，D均不符合题意． (3)若函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) (ω＞0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))) 上单调递增，则ω的取值范围是________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析：因为函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) (ω＞0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))) 上单调递增， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)ω＋\f(π,3)≤\f(π,2)，,－\f(π,6)ω＋\f(π,3)≥－\f(π,2)，)) 解得0＜ω≤ eq \f(1,2) . 考点三　三角函数的奇偶性、周期性、对称性 (1)函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 的最小正周期是(　　) A． eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π 解析：由题意，函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) ， 根据正弦型函数的周期的计算方法，可得f(x)最小正周期为T＝ eq \f(2π,2) ＝π.故选B. (2)(2024·广东学考模拟)若函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,8))) (ω>0)的图象与直线y＝a(a∈R)的相邻两交点间的距离为2π，则ω＝(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：由题意可知，函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,8))) (ω>0)的最小正周期为2π，因此ω＝ eq \f(π,2π) ＝ eq \f(1,2) .故选B. (3)已知函数f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ)) ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为______________________． eq \f(5π,6) 　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(kπ,2)，1)) ，k∈Z 解析：若f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ)) ＋1为偶函数， 则－ eq \f(π,3) ＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 即φ＝ eq \f(5π,6) ＋kπ，k∈Z， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝ eq \f(5π,6) . 所以f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) ＋1＝3cos 2x＋1， 由2x＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z得x＝ eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,2) ，k∈Z， 所以f(x)图象的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(kπ,2)，1)) ，k∈Z. (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义． ②利用公式：y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(2π,|ω|) ，y＝ tan (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(π,|ω|) . (3)三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质y＝ A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z). 1．(2024·广东学考模拟)函数y＝lg (tan 2x)的定义域是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2))) (k∈Z) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(kπ,2)＋\f(π,2))) (k∈Z) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(kπ,2)＋\f(π,4))) (k∈Z) 解析：由函数y＝lg (tan 2x)有意义得tan 2x>0，所以kπ<2x<kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，所以 eq \f(kπ,2) <x< eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z，所以函数y＝lg (tan 2x)的定义域是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(kπ,2)＋\f(π,4))) (k∈Z).故选D. 解析：由2x－ eq \f(π,3) ＝kπ，得x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z，当k＝0时，x＝ eq \f(π,6) 即为所求．故选C. 2．函数y＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的图象在y轴右侧且距y轴最近的对称轴方程为(　　) A．x＝ eq \f(2π,3) 　　　　　　　 B．x＝ eq \f(π,3) C．x＝ eq \f(π,6) D．x＝ eq \f(π,2) 解析：因为y＝2sin x为奇函数，所以其图象关于原点对称，故排除A，D选项，三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin eq \f(π,2) ＝2，故排除B选项．故选C. 4．若f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) 解析：因为0∈[－t，t]，所以只需考虑正弦型函数的含0的单调递增区间．由－ eq \f(π,2) ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,2) ，得－ eq \f(π,3) ≤x≤ eq \f(π,6) ，所以－ eq \f(π,3) ≤－t<t≤ eq \f(π,6) ，解得0<t≤ eq \f(π,6) .故选D. 5．函数f(x)＝2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)) －1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 解析： f(x)＝2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)) －1＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))) ＝－cos( eq \f(π,2) ＋2x)＝sin 2x，可得f(x)的最小正周期为 eq \f(2π,2) ＝π.因为f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选D. 6．若sinx＝2m＋3，且x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6))) ，则m的取值范围为___________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，－\f(5,4))) 解析：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6))) ， 所以－ eq \f(1,2) ≤sin x≤ eq \f(1,2) . 因为sin x＝2m＋3， 所以－ eq \f(1,2) ≤2m＋3≤ eq \f(1,2) ， 解得－ eq \f(7,4) ≤m≤－ eq \f(5,4) . 7．已知函数f(x)＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) . (1)求函数f(x)的单调递增区间； 解：令2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x＋ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得kπ－ eq \f(3π,8) ≤x≤kπ＋ eq \f(π,8) ，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8))) ，k∈Z.　 (2)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) 时，求函数f(x)的最大值和最小值． 解：当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) 时， eq \f(3π,4) ≤2x＋ eq \f(π,4) ≤ eq \f(7π,4) ，所以－1≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ≤ eq \f(\r(2),2) ，所以－ eq \r(2) ≤f(x)≤1，所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) 时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－ eq \r(2) . 8．已知f(x)＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ＋1. (1)求函数y＝f(x)的单调递增区间； 解：由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤2x＋ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，k∈Z，得kπ＋ eq \f(π,8) ≤x≤kπ＋ eq \f(5π,8) ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ＋ eq \f(π,8) ，kπ＋ eq \f(5π,8) ]，k∈Z. (2)若关于x的不等式f(x)＜1－m对x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2))) 恒成立，求实数m的取值范围． 解：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2))) ， 所以 eq \f(π,3) ≤2x＋ eq \f(π,4) ≤ eq \f(5π,4) ， 所以－ eq \f(\r(2),2) ≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ≤1， 所以0≤f(x)≤ eq \f(\r(2),2) ＋1， 因为关于x的不等式f(x)＜1－m对x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2))) 恒成立， 所以1－m＞ eq \f(\r(2),2) ＋1， 解得m＜－ eq \f(\r(2),2) ，故实数m的取值范围为(－∞，－ eq \f(\r(2),2) ). $