14.1 全等三角形及其性质 （预习讲义）2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 （预习讲义） 姓名： 班级： 思维导图 学习目标 1. 了解全等形、全等三角形的概念。 2. 理解全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的含义。 3. 掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4. 能运用全等三角形的性质进行简单的推理和判断。 知识点梳理 一、 全等形与全等三角形 1. 全等形的定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 讲解：“完全重合”是指两个图形的形状和大小都完全相同，放在一起时，彼此的每一个部分都能精确地重合在一起，没有重叠也没有空隙。例如，我们使用的数学课本，封面与封面可以完全重合，它们就是全等形；而一张电影票和一张身份证，形状和大小都不同，就不是全等形。 2. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 讲解：这是全等形在三角形中的具体应用。把两个三角形放在一起，如果它们的顶点、边、角都能一一对应地重合，那么这两个三角形就是全等三角形。 二、 全等三角形的表示方法 1. 表示符号： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 2. 记法： 当表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 (1) 讲解：例如，如果△ABC 与△DEF 全等，且点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，那么我们记作：△ABC ≌ △DEF。 (2) 注意：书写全等三角形时，对应顶点字母的顺序非常重要，它直接指出了对应关系。不能随意颠倒字母顺序，以免混淆对应边和对应角。 三、 全等三角形的对应元素 当两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 · 讲解： (1) 对应顶点： 如上述△ABC ≌ △DEF中，点A与点D是对应顶点，点B与点E是对应顶点，点C与点F是对应顶点。 (2) 对应边： 互相重合的边。在△ABC ≌ △DEF中，AB边与DE边重合，所以AB与DE是对应边；BC边与EF边重合，所以BC与EF是对应边；AC边与DF边重合，所以AC与DF是对应边。 (3) 对应角： 互相重合的角。在△ABC ≌ △DEF中，∠A与∠D是对应角，∠B与∠E是对应角，∠C与∠F是对应角。 · 如何找对应元素： (1) 根据全等三角形的表示方法：字母顺序确定对应顶点，进而确定对应边和对应角。 (2) 全等三角形的对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。 (3) 公共边是对应边，公共角是对应角（如果存在）。 (4) 对顶角是对应角（如果存在）。 (5) 两个全等三角形中，最长的边对应最长的边，最短的边对应最短的边；最大的角对应最大的角，最小的角对应最小的角。（此为辅助判断方法） 四、 全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等。 · 讲解：因为全等三角形能够完全重合，所以它们的对应边长度必然相等。 几何语言：∵ △ABC ≌ △DEF ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF （全等三角形的对应边相等） 性质2：全等三角形的对应角相等。 · 讲解：同理，因为全等三角形能够完全重合，所以它们的对应角大小必然相等。 几何语言：∵ △ABC ≌ △DEF ∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F （全等三角形的对应角相等） 五、 全等变换 · 讲解：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生了变化，但形状和大小都没有改变，即所得的新图形与原图形全等。这样的变换叫做全等变换。 · 理解：平移、翻折、旋转前后的两个图形是全等形。对于三角形来说，就是全等三角形。通过这些变换得到的全等三角形，我们可以更容易地找到它们的对应顶点、对应边和对应角。 知识点总结 1. 全等形： 能够完全重合的两个图形。 2. 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形。 3. 表示方法： △ABC ≌ △DEF（对应顶点字母写在对应位置）。 4. 对应元素： 对应顶点、对应边、对应角（关键在于“对应”）。 5. 核心性质： (1) 全等三角形的对应边相等。 (2) 全等三角形的对应角相等。 6. 思想方法： 全等变换（平移、翻折、旋转）是认识和构造全等三角形的重要途径。 7. 注意事项： 在表示全等三角形和应用其性质时，务必找准对应关系。 巩固练习 一、选择题 1．下列命题中是假命题的是（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．全等三角形的面积相等 C．负数都小于零 D．三角形的三个内角的和等于 2．如图，，则的对应角是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，E点在AC上，， BC=3， DE=7， 则CE的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为15，AB＝5，BC＝4，则DF的长为（　　） A．4或5 B．5 C．4 D．6 6．如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 7．下列图形中，与如图全等的是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．两点确定一条直线 C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形 D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” 9．在下列各组图形中，是全等的图形是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，AC，DE交于点M.若∠B=50°，∠F=60°，则∠AMD的度数为　 　. 11．如图，，若，，则　 　； 12．如图，，点D在边上，若，则　 　． 13．如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=25°，则∠ADC 的度数是　 　. 14．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在第一象限（不与点C重合），且与全等，点D的坐标是　 　． 15．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=　 　度． 三、解答题 16． 如图，△ABN≌△ACM，AB 和AC 是对应边，∠B 和∠C 是对应角. 写出其他对应边和对应角. 17．如图，画在透明纸上的△ABC和△A'B'C'是全等图形吗?你是怎么判断的? 18．如图， △ABC≌△BAD， 点A 和点B， 点C 和点D 是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°， AC， BD 的延长线相交于点E. 求∠CBD，∠AEB 的度数. 19．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． （1）当时，用含的代数式表示的长； （2）当为何值时，的面积等于面积的？ （3）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 参考答案 1．A 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．70° 11．7 12． 13．70° 14． 15．135 16．解：其他对应边：AN和AM，BN和CM；其他对应角：∠ANB和∠AMC，∠BAN和∠CAM. 17．解：把两个图形放在一起，把A和A'，B和B'，C和C'重合，发现能完全重合，因此△ABC和△A'B'C'是全等图形． 18．解：∵ △ABC≌△BAD， ∴ ∠ABD=∠BAC=65°. ∴ ∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°. 在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°， ∴ ∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50°. 19．（1）当时，；当时， （2）或6 （3）或或或 学科网（北京）股份有限公司 $