专题02 代数式（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

专题02 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义与分类 能准确区分单项式、多项式和整式，理解代数式的构成要素 常以选择题形式出现（占5%），易混淆分式与整式（如误认为x/2是单项式） 代数式求值 掌握代入法计算，特别是负数、分数代入时的规范书写 填空题高频考点（占10%），典型错误：代入a=-2时，a²误算为-4 单项式系数与次数 能快速确定系数、次数（如π是数字因数） 常考组合题（系数+次数），易错点：忽略π是常数（如-πx²的系数误为-1） 多项式排列与命名 熟练按升/降幂排列，掌握三次二项式等命名规则 期中必考排序题（占8%），典型错误：将x³+2x-5x²误排为x³-5x²+2x（未降幂） 同类项识别 能根据"两相同"（字母相同且相同字母指数相同）快速判断 选择题高频（占12%），易错：3x²y与2xy²误判为同类项 合并同类项 掌握"系数相加，字母不变"原则，处理符号问题 计算题核心考点（占15%），典型错误：-4a+3a=-7a（符号计算错误） 去括号运算 熟练应用"负变正不变"法则，处理多层括号 解答题基础步骤（占20%），高频错误：a-(2b-3c)=a-2b-3c（漏变号） 整式加减综合 能分步完成去括号、合并同类项，解决含参数问题 压轴题常见类型（占25%），典型失分：化简2(3x-y)-3(x+2y)时漏乘系数项 代数式实际应用 建立实际问题与代数式的对应关系（如面积、价格、运动问题） 期末应用题必考（占30%），易错：将"a增加20%"写成a+20（应为1.2a） 规律探究题 能通过观察数/图形变化规律，用代数式概括（如第n个图案用火柴棒数量） 压轴题难点（占10%），典型错误：将等差数列2,5,8,...的通项误写为3n（应为3n-1） 知识点01 代数式的定义 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。 示例： 易错点： 混淆代数式与等式（如 不是代数式，而是方程）。 忽略运算符号，如 是代数式，但 不是代数式（应写成 ）。 知识点02 代数式的值 概念：用具体数值代替字母计算所得的结果。 示例： 若 ，则 。 若 ，则 。 易错点： 代入负数或分数时漏括号，如 时， 误算为 （正确应为 ）。 运算顺序错误，如 当 时误算为 （正确应为 ）。 知识点03 单项式 概念：仅含数字与字母乘积的式子（单独的数或字母也是单项式）。 示例： 易错点： 误认为含除法的式子是单项式（如 不是单项式）。 混淆系数与指数，如 的系数是 ，不是 。 知识点4 多项式 概念：多个单项式的和。 示例： 易错点： 未按降幂排列（如 应写为 ）。 漏项或重复计算（如 误算为 ，正确应为 ）。 知识点5 同类项 概念：字母相同且相同字母指数相同的项。 示例： 与 是同类项。 与 是同类项（字母顺序不影响）。 易错点： 忽略系数不同（如 与 不是同类项）。 误认为字母相同但指数不同的项是同类项（如 和 不是同类项）。 知识点6 合并同类项 概念：系数相加，字母部分不变。 示例： 易错点： 合并时漏符号（如 误算为 ，正确应为 ）。 误合并非同类项（如 不能合并）。 知识点7 去括号法则 概念： 括号前是“+”，去括号后符号不变。 括号前是“-”，去括号后符号全变。 示例： ， 易错点： 去括号时漏变号（如 误为 ，正确应为 ）。 多层括号处理错误（如 误去括号）。 知识点8 整式的加减 概念：先去括号，再合并同类项。 示例： 易错点： 未按步骤操作导致漏项（如忘记合并 项）。 符号错误（如 误算为 ）。 知识点9 列代数式（实际应用） 概念：将实际问题转化为代数式。 示例： 比 大 3 的数：，长方形的面积：长 × 宽 = 易错点： 单位未统一（如“ 米增加 厘米”未换算单位）。 忽略关键词（如“少”用减法，“积”用乘法）。 题型一 代数式分类与识别 解｜题｜技｜巧 怎么想 1. 看结构：单项式（纯乘积）、多项式（和式）、整式（分母无字母） 2. 抓关键：分式与整式的区别在于分母是否有字母（如x/2是整式，2/x是分式） 怎么做 【典例】判断下列代数式类型： ① 3x²y（单项式） ② x+1/x（非整式） ③ -πa³（单项式，π是数字） 步骤： · ① 纯乘积→单项式 · ② 分母含字母→非整式 · ③ π是常数→系数为-π 易｜错｜点｜拨 坑点1：误将x/2当分式（实际分母是数字，属整式） 坑点2：忽略π是数字（如-πx²的系数是-π，不是-1） 【典例1】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是五次三项式 D．是单项式 【变式4】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 题型二 代数式求值 解｜题｜技｜巧 代入法：负数/分数代入时加括号（如a=-2时，a²=(-2)²=4） 化简优先：先化简再代入（如2(x-y)+3x化简为5x-2y再代入） 易｜错｜点｜拨 坑点1：a=-3时，2a²=18（非-18） 坑点2：分数代入漏括号（如x=1/2时，1/x=2，若写1/1/2会误算为0.5） 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）已知，则的值是（   ） A．7 B．5 C．1 D．−1 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ） A．3 B．3或 C．4 D．3或4 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）已知代数式的值为2，那么 值为（    ） A．61 B．59 C．13 D．1 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)用代数式表示这条跑道的周长； (2)当，时，求这条跑道的周长（取，结果取整数．） 【变式4】（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 题型三 同类项与合并 解｜题｜技｜巧 识别同类项：字母相同且指数相同（如3x²y与-5x²y） 合并法则：系数相加，字母部分不变 易｜错｜点｜拨 坑点1：误合并非同类项（如3x² + 2x不能合并） 坑点2：符号错误（如-4a + 3a = -a，误算为-7a） 【典例1】（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）某商店以每件a元的价格购进一批商品，然后以每件元的价格出售，共卖出100件，另一家商店以每件元的价格购进同样的商品，然后以每件元的价格出售，共卖出80件，则哪家商店的利润高（    ） A．第一家 B．第二家 C．两家一样高 D．无法确定 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．的次数是6次 C．单项式与是同类项 D．多项式是二次三项式 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）已知，则的值为 ． 【变式4】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算： (1) ． (2)． 题型四 去括号与整式加减 解｜题｜技｜巧 去括号法则： +()：直接去括号 -()：括号内每一项变号 分步操作：去括号→合并同类项 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏乘系数（如-3(x+2y)误为-3x+2y） 坑点2：多层括号未逐层处理（如a-[b-(c-d)]先算内层(c-d)） 【典例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算式去括号后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算： 题型五 规律探究 解｜题｜技｜巧 观察模式：分析数字/图形变化规律（如等差数列、平方数） 代数表达：用n表示第n项（如2,5,8,...的通项为3n-1） 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略初始项（如误将4,7,10,...写为3n） 坑点2：图形规律未验证（如三角形数1,3,6,...应为n(n+1)/2） 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）有一组数：，−，，−，…，根据这个规律，第n个数是 ． 【典例2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，用围棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，第n个图形共用 枚棋子． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·期中）观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1． 已知某个体户去年盈利万元，今年比去年增长了，若明年仍按这个速度增加，预测明年该个体户盈利（   ）万元 A． B． C． D． 2．一个两位数，十位数字为5，个位数字为，则这个两位数为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则的值是（    ） A．或5 B．或5 C．或 D．1或5 4．下列的运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 6．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，则的值为 ． 7．若与互为相反数，则的值为 ． 8．（1）若，那么的值是多少？ （2）已知，，，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车在A地的东处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A． B． C． D． 2．观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 3．下列说法中正确的有（　）个 与的平方差是 必与互为相反数 绝对值相等的两数一定相等 已知、为正整数，则多项式的次数是 是负分数 A． B． C． D． 4．已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 5．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为．请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被整除． 6．观察下列等式： ① ② ③ ④ ⑤ (1)写出第⑥个等式：___________， (2)第个等式为：___________， (3)计算：． 7．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 8．化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．盒子中原来有5个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成5个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成5个小球放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 2．若多项式是关于的二次三项式，则 ． 3．的最小值是 4．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简： 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：＝________，＝________，＝________，＝ ． (2)在复数范围内解方程：． 5．计算： 6．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义与分类 能准确区分单项式、多项式和整式，理解代数式的构成要素 常以选择题形式出现（占5%），易混淆分式与整式（如误认为x/2是单项式） 代数式求值 掌握代入法计算，特别是负数、分数代入时的规范书写 填空题高频考点（占10%），典型错误：代入a=-2时，a²误算为-4 单项式系数与次数 能快速确定系数、次数（如π是数字因数） 常考组合题（系数+次数），易错点：忽略π是常数（如-πx²的系数误为-1） 多项式排列与命名 熟练按升/降幂排列，掌握三次二项式等命名规则 期中必考排序题（占8%），典型错误：将x³+2x-5x²误排为x³-5x²+2x（未降幂） 同类项识别 能根据"两相同"（字母相同且相同字母指数相同）快速判断 选择题高频（占12%），易错：3x²y与2xy²误判为同类项 合并同类项 掌握"系数相加，字母不变"原则，处理符号问题 计算题核心考点（占15%），典型错误：-4a+3a=-7a（符号计算错误） 去括号运算 熟练应用"负变正不变"法则，处理多层括号 解答题基础步骤（占20%），高频错误：a-(2b-3c)=a-2b-3c（漏变号） 整式加减综合 能分步完成去括号、合并同类项，解决含参数问题 压轴题常见类型（占25%），典型失分：化简2(3x-y)-3(x+2y)时漏乘系数项 代数式实际应用 建立实际问题与代数式的对应关系（如面积、价格、运动问题） 期末应用题必考（占30%），易错：将"a增加20%"写成a+20（应为1.2a） 规律探究题 能通过观察数/图形变化规律，用代数式概括（如第n个图案用火柴棒数量） 压轴题难点（占10%），典型错误：将等差数列2,5,8,...的通项误写为3n（应为3n-1） 知识点01 代数式的定义 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。 示例： 易错点： 混淆代数式与等式（如 不是代数式，而是方程）。 忽略运算符号，如 是代数式，但 不是代数式（应写成 ）。 知识点02 代数式的值 概念：用具体数值代替字母计算所得的结果。 示例： 若 ，则 。 若 ，则 。 易错点： 代入负数或分数时漏括号，如 时， 误算为 （正确应为 ）。 运算顺序错误，如 当 时误算为 （正确应为 ）。 知识点03 单项式 概念：仅含数字与字母乘积的式子（单独的数或字母也是单项式）。 示例： 易错点： 误认为含除法的式子是单项式（如 不是单项式）。 混淆系数与指数，如 的系数是 ，不是 。 知识点4 多项式 概念：多个单项式的和。 示例： 易错点： 未按降幂排列（如 应写为 ）。 漏项或重复计算（如 误算为 ，正确应为 ）。 知识点5 同类项 概念：字母相同且相同字母指数相同的项。 示例： 与 是同类项。 与 是同类项（字母顺序不影响）。 易错点： 忽略系数不同（如 与 不是同类项）。 误认为字母相同但指数不同的项是同类项（如 和 不是同类项）。 知识点6 合并同类项 概念：系数相加，字母部分不变。 示例： 易错点： 合并时漏符号（如 误算为 ，正确应为 ）。 误合并非同类项（如 不能合并）。 知识点7 去括号法则 概念： 括号前是“+”，去括号后符号不变。 括号前是“-”，去括号后符号全变。 示例： ， 易错点： 去括号时漏变号（如 误为 ，正确应为 ）。 多层括号处理错误（如 误去括号）。 知识点8 整式的加减 概念：先去括号，再合并同类项。 示例： 易错点： 未按步骤操作导致漏项（如忘记合并 项）。 符号错误（如 误算为 ）。 知识点9 列代数式（实际应用） 概念：将实际问题转化为代数式。 示例： 比 大 3 的数：，长方形的面积：长 × 宽 = 易错点： 单位未统一（如“ 米增加 厘米”未换算单位）。 忽略关键词（如“少”用减法，“积”用乘法）。 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.定顺序：严格遵循运算顺序： 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号） 2.看符号： 先确定每一步结果的符号，再算绝对值。 乘除法符号规则：同号得正，异号得负。 3.巧简化： 优先计算相反数（如 -a + a = 0）。 凑整（如 -3.5 + 4.5 = 1）。 分配律逆用（如 -3×5 + 3×2 = 3×(-5 + 2) = -9）。 易｜错｜点｜拨 坑点1： 与 的区别（前者仅1的幂，后者整体幂）。 坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。 坑点3：分数减法通分错误（如 通分为 ）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算乘法和除法，再计算加减法即可． （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型二 有理数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：将实际问题转化为数学表达式。 收入/上升/增加 → 正数 支出/下降/减少 → 负数 2.抓关键： 明确基准量（如海平面为0，温度0℃等）。 单位统一（如吨→吨，米→米）。 3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏算某一天的数据（如少加一个）。 坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。 坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算．用甲地现在的地面温度加上高度上升降低的温度即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【详解】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 【变式1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米记为“0”．     第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？ 【答案】(1)这七天平均行驶50千米 (2)李老师家这周的油费是元 【分析】本题考查了正负数的意义和应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：这七天平均行驶50千米． （2）解：（元） 答：李老师家这周的油费是元． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知第二天生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)若每生产一辆车的工资为60元，求该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)198辆 (2)26辆 (3)元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、正负数的应用，正确列出运算式子，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将表格中第二天数字与200相加即可得答案； （2）利用表格中的最大数减去最小数即可得答案； （3）将表格中的数字相加，再加上1400，然后乘以60即可得答案． 【详解】（1）解：辆， 答：第二天生产198辆； （2）解：辆， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆， （3）解：解： 元， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 题型三 数轴与绝对值综合题 解｜题｜技｜巧 1.画数轴：标出关键点（如原点、正负数）。 2.绝对值几何意义： 表示数轴上与的距离。 表示到原点的距离。 3.分类讨论： 遇到，需考虑 或 。 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略绝对值非负性（认为有解）。 坑点2：未分类讨论（如漏掉）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的意义，掌握数轴上的点从左到右，从小到大的性质是解题的关键．根据数轴判断直接的大小关系，再结合绝对值的意义逐个分析即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作． 如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题： (1)______； (2)若点C在数轴上，且，则点C表示的数为______； (3)若D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． 【答案】(1)4 (2)2 (3)3或11． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴，则， 故答案为：4； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：2； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 【变式1】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 题型四 新定义问题 解｜题｜技｜巧 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 【典例1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2025． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则. 将新定义的运算按定义的规律转化为有理数的混合运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·陕西西安·一模）在日常生活中，若收入500元记作元，则支出280元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若收入500元记作元，则支出280元应记作元． 故选：C． 2．（2024·青海·中考真题）的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）2023年湖南省政府工作报告中指出，要强力推进湘商回归．持续开展“迎老乡、回故乡、建家乡活动，大力推进产业回归、资本回流、项目回投、人才回聚、总部回建，力争湘商回归新注册企业达1000家，项目投资4800亿元．4800亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此求解即可． 【详解】解：4800亿； 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，0，， (1)整数：______________________； (2)负分数：____________________； (3)非负整数：________________． 【答案】(1)，，0 (2)， (3)，0 【分析】本题考查了有理数和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据整数的定义进行解答即可； （2）根据负分数的定义进行解答即可； （3）根据非负分数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：整数：，，0； （2）负分数：，； （3）非负整数：，0． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”符号将它们连接起来． ，，，，， 【答案】，见解析 【分析】先化简，再在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴数轴表示如下： 故． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，绝对值，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 8．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，然后根据交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）先算乘方和去绝对值，然后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 2．如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【详解】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 3．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键； 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解； 【详解】解：A、纽约与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为：年元月日， 时间表示正确，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为巴黎是年元月日， 时间表示错误，符合题意； C、东京与北京的时差为， ， 故东京此时时间为年元月日， 时间表示正确，不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是年元月日， 时间表示正确，不符合题意； 故选：B 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得分裂中的第一个数是，据此解答即可求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， ， ∴分裂中的第一个数是， ∴分裂中的第一个数是， ∴“分裂”出的奇数中，最大的奇数为， 故选：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数的性质，根据的变化规律，把原式中各分数转化为两分数之差的形式，然后利用互为相反数的两个数之和为零化简即可求解，找出式子的变化规律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键．根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10． 故答案为：或6． 7．（24-25七年级上·北京门头沟·期中）如图为北京市地铁号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，． (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)请直接写出济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ 【答案】(1)西单站 (2)大望路站 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可求解； （）分别计算前个、前个、前个、、前个数的和，根据结果即可求解； 本题考查了正数与负数的意义，有理数加法的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：站是西单站； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴济嘉同学本次志愿活动向东最远到大望路站． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若，则，故①正确，不符合题意； ②若， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； ，故②错误，符合题意； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则或或14，故③错误，符合题意； ④若代数式的值与无关， 则 ，故④正确，不符合题意； ⑤，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑤错误，符合题意； 故选：C． 2．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【详解】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 4．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 5．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”． (1)填空： ①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）； ②最小的四位“亚运数”是______________． (2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”． (3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：， 例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值． 【答案】(1)①②1022 (2)2226或3066 (3) 【分析】（1）①根据新定义运算法则即可；②由于千位不能为0，千位最小只能取1，百位最小取0，根据题意得出：十位千位百位，个位千位百位，所以最小的四位依赖数是1022； （2）依据题意列出代数式，然后表示为7的倍数加2的形式进行综合分析； （3）由（2）得，所有“冠军数”为2226或3066，故从所有“冠军数”分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①， 故是“亚运数”， 故答案为：； ②由题意可知千位是1，百位是0， 十位，个位， 最小的四位依赖数是1022． 故答案为：1022 （2）解：设千位数字是，百位数字是，且，， 则十位数字是，个位数字是， 四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3， ，为非负整数）， 化简得， ， ， ，，为小于10正整数，为非负整数，为的正整数，， 符合条件的，只有两组，或，， 所有“冠军数”为2226或3066． （3）解：所有“冠军数”为2226或3066， 2226的最小分解，， 3066的最小分解，， ， 故求所有“冠军数”的的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)7，31，1， 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、两点之间的距离等知识点，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可解答； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）根据题意分点P在点M左边，点P在点M、N之间靠近点M，点P在点M、N之间靠近点N，点P在点N的右边四种情况，分别根据绝对值的意义以及题意求解即可． 【详解】（1）解：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ∴点B表示的数为． （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：①6或10；②20． （3）解：设点P表示的数为x， ①当点P在点M左边时，有， 即，解得：或（舍去）； ②当点P在点M、N之间靠近点M时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点M，N之间靠近点N时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点N的右边时，有， 即，解得：或（舍去）． 综上所述，点P表示的数为或1或7或31． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $