2.第二章 第6课 一元二次方程的解法及应用（课堂本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

第6课 一元二次 和西果马 1.一元二次方程 (1)定义：只含一个未知数，且未知数的最高 次数是2的整式方程； (2)解法： ①直接开方法； ②因式分解法； ③配方法； ④公式法. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 公式： x=-b±B-4ac(62-4c≥0. 2a 2.一元二次方程根的判别式：4=b2-4aC (1)4>0曰方程有两个不相等的实数根； (2)A=0曰方程有两个相等的实数根； (3)△<0曰方程无实数根； (4)△≥0曰方程有实数根 3.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根，则x1+:=-白， a 注意：韦达定理适用条件是△≥0. 4.一元二次方程的应用 常考类型及公式： (1)面积问题：S=长×宽，5。=号×底×商； (2)增长率问题：原量×(1+x)2=新量； (3)互赠、握手问题： x人豆赠：x(c-1)x人两两握手：(G-); (4)营销问题 总利润=（单位利润）×（销售量） 方程的解法及应用 回阳慰付 1.解一元二次方程： (1)(用直接开方法) 多2-6=0的解为 (2)(用因式分解法)(2024贵州)一元二次方 程x2-2x=0的解是 (3)(用配方法)(2024安徽)x2-2x=3; (4)(用公式法)2x2+1=3x. 2.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等 实数根的是 ( A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 3.(2024眉山改编)已知方程x2+x-2=0的 两根分别为1，，则+的值为 X1X2 4.（2024牡丹江)一种药品原价每盒48元，经 过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率 相同，则每次降价的百分率为 () A.20%B.22% C.25% D.28% 阅盟学堂LZAZK GDSX21 核心考点 核心考点1解一元二次方程 5.@(2024青海)(1)解一元二次方程：x2-4x6.新趋势开放性问题（2023杭州)设一元二 +3=0; 次方程x2+bx+c=0.在下列四组条件中选 (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方 择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不 程的根，求第三边的长 相等的实数根，并解这个方程， ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 核心考点2一元二次方程的应用（常考增长率问题、面积问题、销售问题、互赠握手问题） 7.例(2023郴州)随旅游旺季的到来，某景区8.(2023东营)如图，老李想用长为70m的栅 游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6 栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一 万人，4月份游客人数为2.5万人. 个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均 宽的门（建在EF处，另用其他材料）. 增长率； (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增 成一个面积为640m2的羊圈？ 长，但增长率不会超过前两个月的月平 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， 均增长率.已知该景区5月1日至5月 请你给出设计方案；如果不能，请说明 21日已接待游客2.125万人，则5月份 理由。 后10天日均接待游客人数最多是多少 D 万人？ 22阅盟学堂LZAZK GDSX 核心考点3韦达定理与根的判别式 9.(2024广安)若关于x的一元二次方程(m+10.(2024自贡)关于x的方程x2+mx-2=0 1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则 根的情况是 () m的取值范围是 ( A.有两个不相等的实数根 A.m<0且m≠-1 B.m≥0 B.有两个相等的实数根 C.m≤0且m≠-1 D.m<0 C.只有一个实数根 D.没有实数根 11.(2024广东)若关于x的一元二次方程x2+ 12.(2023眉山)已知方程x2-3x-4=0的根 2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值 分别为x1,x2,则(x1+2)(x2+2)的值 为 为 2022年版课标了解一元二次方程的根与系数的关系（此内容在旧课标是选学，2022年版课标是必学） 13.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x号+x2-x1x2=9,求m的值. 广东中考 14.(2024深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a= 15.(2024广州)定义新运算：a⑧b= ra2-b,a≤0， 例如：-2⑧4=（-2)2-4=0,283=-2+ l-a+b,a>0. 3=1.若⑧1=-子，则x的值为 16.(2021广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,2满足-3<1<-1， 1<x2<3,则符合条件的一个方程为 17.(2009广东)（教材改编）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后 就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 阅盟学堂LZAZK GDSX23 全国视野 18.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的 值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 19.(2024泰安)关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是（) A<号 B.kg c≥8 D.k<-9 8 20.(2024烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为 21.（2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了 常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到 方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 2.(2024乐山)若关于x的一元二次方程2+2x+p=0的两根为1，，且上+1=3，则p x1 x2 的值为 A号 B号 C.-6 D.6 23.（2023全国)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是 A.33 B.23 C.17 D.√17 24.(2023怀化)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1，则m的值为 ,另一个根为 25.(2023重庆)电影《长津湖》某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长， 三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x,则方程可以列为 ( A.2(1+x)=7 B.2(1+x)2=7 C.2+2(1+x)2=7 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=7 26.(2024泸州)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根，则函数y=x与函数 y=的图象交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 创新好题每日一练 27.(2024广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)化简： 1-m2.m-1.m-3 m-3÷ 2m+1 24阅盟学堂LZAZK GDSX 28.阅读下面材料，并解答相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第 行有n个点，…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的点数之和为 那么， 前n行的点数之和为 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500 (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第 一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多 少排？ 中考回归教材一—数学活动与探究 29.（各地中考改编)某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元 出售，则每天可销售80盒.现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每天销 量就会减少2盒.为保护消费者权益，物价部门规定，商家销售利润不能超过50%.设该 口罩售价为每盒x(x>60)元， (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 盒； (2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 阅盟学堂LZAZK GDSX25x可以取1. 移项，得2x-x=2+3. 4 当x=1时，原式=1+12， 合并同类项，得x=5. 3.解：①+②，得3x=9, 12.解：原式 解得x=3. =-a (a-b)2 _a-b 将x=3代入②，得y=1. -a-b'(a+b)(a-b)a+b =-a__a-b a+b atb 方程组码解为 4.A =a-(a-b) a+b 5.解：去分母，得 =a-atb 3(x-3)-4(x-1)=12. a+b 去括号，得3x-9-4x+4=12. 移项，得3x-4x=12+9-4. =a+6 合并同类项，得-x=17. .b-2a=0,∴.b=2a. 系数化为1，得x=-17. 原式=。积号 6.解：去分母，得 2(2x-1)=3(x+1). 13.解：(1)A=2(a2-4) 去括号，得4x-2=3x+3. =2(a+2)(a-2). 移项、合并同类项，得x=5. (2)选A,B两个代数式，分别作为 分子、分母，组成一个分式（答案不 7解公n2 唯一) ①×3+②，得10x=5, 2a2-8_2(a+2)(a-2） 1 3a2+6a 3a(a+2) 解得x=2, =2(a-2) 3a 把x=代入①，得2 2-y=5, 14.解：原式 解得y=-4, [ 1 x+1x2-4 =￥-4.(x+1)2 ·方程组的解是 x=2 +灯2-4=x+1, y=-4. 8.解：①×3，得6x+9y=21.③ x+1≠0，x2-4≠0， ②×2，得6x+4y=16.④ .x≠-1且x≠±2， ∴.x可取1.原式=1+1=2. ③-④，得5y=5. 15.C 解得y=1. 16.解：原式 将y=1代入②，得3x+2=8. 解得x=2. m+3 六方程组的解为厂：=2， (m-2)2 m+3 Ly=1. =(m+3)(m-3) -2(m-2) 9.解：设速度快的人需要x分钟才能 6品 追上速度慢的人， 依题意，得100+60x=100x, 根据计算器可得 解得x=2.5. m=±√9-5=±4=±2， 答：速度快的人追上他需要2.5分钟 .4-2m≠0，.m≠2. 10.解：设这种服装每件的标价是x 当m=-2时， 元，根据题意，得 原武=品号 10×0.8x=11(x-30), 解得x=110, 17.解：从第②步开始出现错误，正确 答：这种服装每件的标价为 的解题过程如下： 110元. m+1-2 原式=(m+1)(m-1) 11.解：设白色琴键的个数为x个，黑 色琴键的个数为y个， m-1 (m+1)(m-1) 依题意，得化+y=88, =-1 x-y=16, m+11 解得/52， Ly=36. 第二章方程（组）与不等式（组） 答：白色琴键的个数为52个，黑色 第5课一次方程（组）的解法 琴键的个数为36个. 及应用 12.解：如果每次购买都是100把， 1.D 200×8×0.9=1440(元) 2.(1)2(2)3(3)A ≠1504（元）， (4)解：去括号，得2x-2-3=x ·一次购买多于100把，另一次购) 阅盟学堂LZAZK GDSX2参考答案 买少于100把 设一次邮购折扇x(x>100)把，则 另一次邮购折扇(200-x)把， .0.9×8x+8×(1+10%)(200-x) =1504, 解得x=160, ..200-x=40 答：两次邮购的折扇分别是160把 和40把 13.A14.275015.厂x=3, y=2 16.12-4317.C18.A19.B 20.解：符合“标准”.理由如下： 设技术改进前该汽车的A类物质 排放量为xmg/km, 则技术改进前该汽车的B类物质 排放量为(92-x)mg/km, 依题意，得 (1-50%)x+(1-75%)(92-x) =40, 解得x=68, .∴.(1-50%)x=34<35. ∴.这次技术改进后该汽车的A类 物质排放量符合“标准”. 21.1 4 3 > 8 1 6 图1 第6课一元二次方程的解法 及应用 1.(1)±2(2)x1=0,x2=2 (3)解：整理，得x2-2x+1=3+1, 即(x-1)2=4, ∴.x-1=±2 .x1=3,x2=-1. (4)解：2x2-3x+1=0, x=-(-3)±-3)2-4x2 2×2 =3±1 4 1 .x1=1,x=2 2D334.C 5.解：(1)x2-4x+3=0, .（x-1)(x-3)=0. x-1=0或x-3=0 x1=1,x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时， 第三边=√32-12=22； 当1和3是直角三角形的直角边长 时，第三边=√2+32=√10. 综上所述，第三边的长为22 或10. 6.解：x2+bx+c=0中a=1, ①b=2,c=1时，4=b2-4ac=0, 方程有两个相等的实数根； ②b=3,c=1时，4=b2-4ac>0, 方程有两个不相等的实数根； ③b=3,c=-1时，4=b2-4ac>0, 方程有两个不相等的实数根； ④b=2,c=2时，△=b2-4ac<0, 方程没有实数根； 因此可选择②或③. 选择②b=3,c=1时， x2+3x+1=0, A=b2-4ac=32-4×1×1 =5>0, x=-6±B-4ac 2a =~3±5 2 七1= -3+5 2 x2= -3-5 2 选择③b=3,c=-1时， x2+3x-1=0, 4=b2-4ac=32-4×1×(-1) =13>0, x=-6±YB-4ac 2a =-3±3 2 名=3+3 2 两3-⑧ 2 7.解：(1)设这两个月中该景区游客 人数的月平均增长率为x,依题意， 得1.6(1+x)2=2.5, 解得x=0.25=25%(负值已舍掉)； 答：这两个月中该景区游客人数的 月平均增长率为25%； (2)设5月份后10天日均接待游客 人数是y万人，依题意，得 2.125+10y≤2.5(1+25%)， 解得y≤0.1. ∴.5月份后10天日均接待游客人 数最多是0.1万人. 8.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm, 则边BC为(72-2x)m 依题意，得x(72-2x)=640. 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=40(m); 当x=20时，72-2x=32(m). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或 长为32m,宽为20m时，能围成 个面积为640m2的羊圈， (2)不能，理由如下： 依题意，得x(72-2x)=650. 化简，得x2-36x+325=0. 4=(-36)2-4×325=-4<0, .一元二次方程没有实数根. ∴.羊圈的面积不能达到650m2. 9.A10.A11.112.6 13.(1)证明：依题意，得 4=[-(m+2)]2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4 阅盟学堂 =m2+8. (x-50)(200-2x)=1200, m2≥0，.4>0. 整理得：x2-150x+5600=0. ∴.无论m取何值，方程都有两个 解得：x1=70,x2=80. 不相等的实数根 (2)解：方程x2-(m+2)x+m-1=0 当x=70时，利润率=70-50 50 的两个实数根为x1,x2, 100%=40%<50%,符合题意； 则x1+x2=m+2,x1x2=m-1. 当x=80时，利润率=80-50× x号+x号-x12=9, 50 即(x1+x2)2-3x1x2=9, 100%=60%>50%,不合题意， (m+2)2-3(m-1)=9, 舍去 所以要获得1200元利润，应按每 整理，得m2+m-2=0 ∴.(m+2)(m-1)=0. 盒70元销售， 解得m1=-2,m2=1. 第7课分式方程的解法及应用 .m的值为-2或1. 1.(1)D(2)x=22.C 14215.分或好 3.解：方程两边乘(x-4), 得x-2-2(x-4)=x. 16.x2-4=0(答案不唯一) 解得x=3. 17.解：设每轮感染中平均1台电脑会 检验：当x=3时，x-4≠0. 感染x台电脑， x=3是原分式方程的解 1+x+x(1+x)=81, 4.解：方程两边乘(x-2), 解得，x1=8,x2=-10(舍去)， 得1+3(x-2)=-(1-x). 第三轮被感染的电脑为： 解得x=2. 81+81×8=729(台)， 检验：当x=2时，x-2=0. .729>700, ·.原分式方程无解 3轮感染后，被感染的电脑会超 5.解：方程两边同时乘x(x+1), 过700台. 得x2+3(x+1)=x(x+1), 答：每轮感染中平均1台电脑会感 化简，得2x+3=0, 染8台电脑，3轮感染后，被感染 的电脑会超过700台. 每得=是 18.A19.B20.621.B22.A 经检验，x=之是原分式方程的解 23.C24.-1225.D26.A 27.解：(1)依题意，得 所以玉=一子 4=(-2)2-4(4-m)>0, 6.解：方程两边乘(x+2)(x-2),得 解得m>3. 3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2). (2)m>3,.m-3>0. 解得x=10. 原式 =-(m+)(m-.2.m-3 检验：当x=10时， (x+2)（x-2)≠0. m-3 m-1m+1 =-2 ·.x=10是原分式方程的解 (n+1) 7.解：方程两边乘(x+1)(x-1), 28.解：(1)36120 2 得2+x(x+1)=(x+1)(x-1), (2)令nn,+1）=500, 解得x=-3. 2 检验：当x=-3时， 得n=-1±4001 (x+1)(x-1)≠0. 2 x=-3是原分式方程的解。 n为正整数， 8.解：原方程可化为 .三角点阵中前n行的点数之和 1 3 不能为500. -1+1=2x-) 故答案为不能 方程两边乘2(x-1), (3)依题意，得前n排盆景的总数 得2+2(x-1)=3. 3 可表示为n(n+1), 解得x=2 令n(n+1)=420, 得n1=-21,m2=20, 检验：当x= 时，2(x-1）0 n为正整数， ∴.n=20,即一共能摆放20排. “原分式方程的解是x=之 3 29.解：(1)根据题意，提价后平均每 9.解：设D型车的平均速度是x千米 天的销售量为： 小时，则C型车的平均速度是3x千 80-2(x-60)=200-2x. 米/小时， 故答案为(200-2x). (2)根据题意得： 依题意，得300_300=2， x 3x LZAZK GDSX3参考答案