【课件】02“新高考1卷 第19题 “-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件以三角函数性质为核心，衔接教材单位圆模型与高考压轴题，通过思维导图构建“求导分析-公式应用-数形结合”的解题支架，帮助学生梳理从基础到综合的知识脉络。 其亮点在于多视角解析（如导数、和差化积、反证法）与试题溯源（联系教材“摩天轮”模型），结合数学眼光观察（抽象函数关系）、数学思维推理（分类讨论），提升学生解题能力与创新意识，教师可借此丰富教学方法，提高课堂效率。

一道压轴题的多视角解析与 关键突破点探析 参赛人：张婵媛、邓力天 单位全称：长沙麓山国际实验学校 长沙麓山梅溪湖实验中学 试题呈现 （2025年全国1卷第19题）设函数f(x)=5cosx-cos5x. (1)求f(x)在[0,]的最大值； (2)给定θ∈(0,π），设a为实数，证明：存在y∈[a-θ，a+θ]，使得cosy≤cosθ； (3)若存在φ使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+φ）≤b，求b的最小值. 第（1）问思维导图 x∈（0,）时，f’(x)＞0; x∈（,）时，f’(x)单调递减 求f(x)=5cosx-cos5x在[0,]的最大值 先求导得f’(x)=5(sin5x-sinx) 思路1：利用和差化积的公式   f’(x)=10cos3x·sin2x 思路2：对自变量x 进行分段讨论 思路3：数形结合 根据f’(x)的正负分析f(x)的单调性 在同一平面直角坐标系中画出y=sin5x与y=sinx在[0,]的图像 根据图像分析f’(x)的正负 第（1）问解答 【解法1】.f’(x)=5(sin5x-sinx)=10cos3x·sin2x 和差化积 当x∈（0,）时，cos3x＞0，sin2x＞0，故f’(x)＞0⇒f(x)单调递增； 当x∈（,）时，cos3x＜0，sin2x＞0，故f’(x)＜0⇒f(x)单调递减； 因此f(x)在[0,]的最大值为f()=3. 因为y=sin2x在（0，）恒为正，所以只需对y=cos3x分类讨论. 第（1）问解答 【解法2】.f’(x)=5(sin5x-sinx)，因为y=sinx在（0，）单调递增 所以x∈（0,）时，sin5x＞sinx⇒f’(x)＞0⇒f(x)单调递增； 而当x∈（,）时，y=sin5x单调递减，y=sinx单调递增，故f’(x)单调递减， 又f’()=0，所以f(x)在（,）单调递增，在（,）单调递减. 综上，f(x)在[0,]的最大值为f()=3. 对自变量x分段讨论得到函数的单调性. 由图可知，当x∈（0,）时，sin5x＞sinx， 故f’(x)＞0⇒f(x)单调递增； 当x∈（,）时，sin5x＜sinx， 故f’(x)＜0⇒f(x)单调递减； 因此f(x)在[0,]的最大值为f()=3. 在同一坐标系中分别画出y=sin5x与y=sinx的图像 第（1）问解答 【解法3】.f’(x)=5(sin5x-sinx).令f’(x)=0，解得x=. 第（2）问思维导图 存在y∈[a-θ，a+θ]，得cosy≤cosθ 直接演绎法 反证法 因为f(x)周期为2π， 不妨设a∈[0,2π) 因为f(x)周期为2π， 不妨设a∈[-π,π] 若θ∈[a-θ，a+θ]，则取y=θ 反之，分析y可取何值. 设cost≤cosθ（t∈（-2π，2π））， 解出t的范围记为D1， 记D2=[a-θ，a+θ]，证明D1与D2 有交集即可. 若对任意y∈[a-θ，a+θ],都有cosy＞cosθ 由cosy＞cosθ解得y∈（-θ+2kπ，θ+2kπ） [a-θ，a+θ]⊆（-θ+2kπ，θ+2kπ） 实数a无解，得到矛盾. 第（2）问解答 【解法1】.因为f(x)的周期为2π，不妨设a∈[0,2π) O θ 2π-θ x y=cosx y 2π a-θ ①若θ∈[a-θ，a+θ]，即a≤2θ，则取y=θ； ②a＞2θ，即θ＜a-θ＜2π-θ 由图可知cosθ=cos(2π-θ)＞cos(a-θ),可取y=a-θ. 发现如果y能取到θ， 不等式自然成立,于是分θ∈[a-θ，a+θ]与θ∉[a-θ，a+θ] 两方面分析 第（2）问解答 【解法2】.因为f(x)的周期为2π，不妨设a∈[-π,π]，则a-θ＞-2π，a+θ＜2π. O x y -θ θ -θ+2π θ-2π y=cosx 设cost≤cosθ(t∈（-2π，2π）） 由图解得t∈[θ-2π,-θ]∪[θ,-θ+2π],记该区间为D1 又记D2=[a-θ，a+θ] 要证存在y∈[a-θ，a+θ]，得cosy≤cosθ，只需证明D1与D2有交集即可. 从结论入手，先自己解满足不等式 cost≤cosθ的t的范围 当a＜0时，a-θ＜-θ,a+θ＞θ-2π,所以[a-θ，a+θ]与[θ-2π,-θ]有交集； 当a=0时，D1∩D2={-θ，θ} 当a＞0时，a+θ＞θ，a-θ＜-θ+2π,所以[a-θ，a+θ]与[θ,-θ+2π]有交集. 即得证. 第（2）问解答 【解法3】.反证法 若对任意y∈[a-θ，a+θ],都有cosy＞cosθ 因为θ∈(0,π），解得y∈（-θ+2kπ，θ+2kπ） 所以[a-θ，a+θ]⊆（-θ+2kπ，θ+2kπ） 解得2kπ＜a＜2kπ，矛盾. 故存在y∈[a-θ，a+θ]，使得cosy≤cosθ； 第（3）问思维导图 h(x)=5cosx-cos(5x+φ），求h(x)max的最小值   h’(x)=-5sinx+5sin(5x+φ），h(x)max在极值点取到 由周期性，不妨设φ∈[0,2π).   由第（1）问的结论猜想bmin=3 对b=3和b＜3分别讨论 当b=3时，由（1）知存在φ=0，不等式成立； 当b＜3时，由（2）可知，对任意φ，存在t∈[φ-,φ+],使cost≤cos=-.找一个x的值，使5cosx-cos(5x+φ)＞3.从而验证猜想成立. 令h’(x)=0，解得x=或x=.   ①当x=时，h(x)=6cos（）. ②当x=时，h(x)=4cos().  求出min{max h(x，）}. ∈R x∈R 第（3）问解答 【解法1】.令h(x)=5cosx-cos(5x+φ），由周期性，不妨设φ∈[0,2π) h’(x)=-5sinx+5sin(5x+φ） 因为h（x）连续可导，所以h（x）最大值在极值点取到. 令h’(x)=0，则5x+φ=x+2mπ或5x+φ+x=π+2nπ（m,n∈Z） 即x=- + 或 x= 当x=时，h(x)=5cosx-cos(6x+φ-x）=5cosx-cos（π-x） =6cosx=6cos（） 先将φ看作常数去求h(x)的最大值（含有φ） 记q(φ)=6cos（） 由周期性可知q(φ)的取值最多有6种，即 n=0,1,2,3,4,5时分别对应的值.这6个函数值 相当于在y=6cosx图像上横坐标以为起点，每隔取一个点，共取6个点. 由y=6cosx图像可知q(φ)max在n=0时取到，即q(φ)max=6cos（）. - O x y y=6cosx 当x=- + 时， h(x)=5cosx-cos(4x+φ+x）=5cosx-cosx=4cosx=4cos(- +) 记g(φ)=4cos(- +)，同理求得g(φ)max=4cos（）. 此时将φ看成未知数去求h(x)max的最小值. 综上所述，h(x)max=6cos（）. 当φ=0时，6cos（）取最小值3. 所以bmin=3. 第（3）问解答 【解法2】.同解法1得q(φ)max=6cos（）. 当φ=0时，6cos（）取最小值3. 因为g(φ)=4cos(- +)≤4＜3，所以bmin=3. 解法2相对于解法1省略了求g(φ)max的步骤，直接根据g(φ)=4cos(- +)≤4＜3从而得出bmin=3，降低了计算量. 第（3）问解答 【解法3】.基于本道题前两小问的结论，用特殊数据去做. 当b=时，由（1）可知，存在φ=0，满足b≥（5cosx-cos5x）max=3. 当b＜3时，由（2）可知，对任意φ，存在t∈[φ-,φ+],使cost≤cos=- 取x=∈[-,],则5cosx-cos(5x+φ)=5cosx-cost≥+=3＞b，矛盾. 所以bmin=3. 试题溯源（正弦函数、余弦函数的图象） 人教A版高中数学必修一教材5.4.1章节里由正弦、余弦函数的定义画函数图象，应用点在单位圆上变化的模型，以该点转动的角度及横纵坐标得到余弦、正弦函数图象的点. 试题溯源（正弦函数、余弦函数的图象） 此外，在人教A版高中数学必修一教材5.6章节中应用“筒车”“摩天轮”模型研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质，第238页例2“摩天轮”模型中48个座舱的高度看作圆上48个点对应角度的正弦值. 试题溯源（正弦函数、余弦函数的图象） 这类通过单位圆上点探究正弦余弦函数值变化的模型可用于分析2025年全国I卷第19题第(1)问函数f(x)=6cos和第(3)问函数g(x)=6cos的最大值，由周期性可知函数的取值仅为单位圆上6个点对应角度的余弦值，第(1)问在初始位置为0时分析最大值，第(3)问调整不定的初始位置使得这6个点对应角度最大的余弦值最小. 试题溯源（正弦函数、余弦函数的图象） (2023年全国乙卷第10题)已知等差数列的公差为，集合S=，若S=，则ab=（ ） A.－1 B.－ C. 0 D. 此题可转化为y=仅有两个解，相当于y=cost的图象上以为起点，横坐标以为跨度，往后共取3个点. 因为仅有两个解，则有两个点对应角度的余弦值相等，从而得出答案. 试题溯源（和差化积与积化和差公式） 2025年全国I卷第19题第(1)问可运用和差化积公式处理，即f′(x)=5sinx+5sin5x=10sin2xcos3x，此时更容易分析函数的单调区间和最值. 和差化积与积化和差公式出现在人教A版高中数学必修一教材第225页例8以及第226页的练习4、5，该公式是连接三角函数的加法和乘法结构的桥梁，它将三角函数的和或差转化为乘积形式，便于简化复杂表达式. 试题溯源（和差化积与积化和差公式） 和差化积与积化和差公式出现在人教A版高中数学必修一教材第225页例8以及第226页的练习4、5，该公式是连接三角函数的加法和乘法结构的桥梁，它将三角函数的和或差转化为乘积形式，便于简化复杂表达式. 试题溯源（存在量词命题与全程量词命题） 人教A版高中数学教材必修一教材1.5章节给出了量词命题的否定，以及量词命题与其否定必定一真一假. 在此背景下，2025年全国I卷第19题第(2)问用反证法便能简化问题，将结论转化成全称量词命题后，很容易得到参数a取值的矛盾，从而证明原命题成立. 2025年全国I卷第19题试题改编 设函数f(x)=ncosx－cosnx，n∈N*. (1)当n=5时，求f(x)在[0,]的最大值. (2)给定θ∈(0,π)，a为给定实数，证明：存在y∈[a－θ,a＋θ]，使得|sinθ|≤|siny|. (3)若存在φ，使得对任意x，都有ncosx－cos(nx+φ)≤Bn，记Bn的最小值为bn，证明：. 参考解析 (1)同2025年高考数学I卷第19题第(1)问，过程略. (2)证明：(i)当θ∈[,π)时，a＋θ－(a－θ)=2θ，所以存在y∈[a－θ,a＋θ]使得|siny|=1，则有|sinθ|≤|siny|. (ii)当θ∈(0,)时，假设对任意y∈[a－θ,a＋θ]，都有|sinθ|>|siny|. 由|sinθ|>|siny|可得y∈(－θ+k,θ+k)，k∈Z. 又因为y∈[a－θ,a＋θ]，所以，k∈Z，解得k<a<k，矛盾. 因此， 原命题得证. 参考解析 (3)令g(x)=ncosx－cos(nx+φ)，因为在定义域上g(x)连续，则g(x)的最大值在极值点处取到. 由g′(x)=-nsinx+nsin(nx+φ)=0得sinx=sin(nx+φ)，所以nx+φ=x+2k或nx+φ+x=+2k，k∈Z. 当nx+φ=x+2k时，g(x)=ncosx－cosx≤n－1. 参考解析 (3)当nx+φ+x=+2k时，g(x)=ncosx+cosx=(n+1)cosx=(n+1)cos，相当于y=(n+1)cost的图象上以为起点，横坐标以为跨度，往后共取n+1个点，记g(x)的n+1个取值的最大值为p(φ)，由y=(n+1)cost的图象可知，当φ=0时，p(φ)取最小值(n+1)cos. 参考解析 (3)下证(n+1)cos≥n－1，n∈N*，即证cos≥=1－，n∈N*. 令h(x)=cosx－1+，x>0，则h′(x)=sinx+x>0，所以h(x)单调递增，又h(0)=0，x>0，所以h(x)>0，所以cosx≥1－. 当n≥2时，cos>1－ =1－ >1－. 当n=1时，(n+1)cos≥n－1成立. 因此证得(n+1)cos≥n－1，n∈N*. 参考解析 (3)因为对任意x，都有ncosx－cos(nx+φ)≤Bn，所以Bn≥p(φ)min=(n+1)cos，当φ=0时等号成立，所以bn=(n+1)cos. 又(n+1)cos≥n－1，所以bn≥n－1，所以. 改编思路 第(2)问改编思路. 2025年全国I卷第19题第(2)问可以理解为，在y=cosx的图象中任取区间长度为2θ的图象，该图象中必有某个点的函数值小于或等于cosθ，而cosθ又可理解为关于最大值点对称的区间长度为2θ的图象，此时图象的最小值最大. 改编思路 基于此模型，我们将“关于最大值点对称”改为“关于零点对称”. 特别地，y=cosθ的图象在(0,π)上单调，而y=sinθ的图象不单调，因此改编题的第二问需要分类讨论，解题方法有所区别. 改编思路 第(3)问改编思路. 2025年全国I卷第19题第(3)问将x变量转化后变成φ与k的双变量问题，但由余弦函数的周期性，函数也仅有6个与φ有关的函数值，即为关于φ的单变量问题，问题最终转化为调整φ的取值，使得6个函数值的最大值最小. 第(3)问的改编是将全国I卷第19题第(3)问一般化，即由“n=5”一般化为“n为正整数”. 改编思路 第(3)问改编思路. 2025年全国I卷第19题第(3)问将x变量转化后变成φ与k的双变量问题，但由余弦函数的周期性，函数也仅有6个与φ有关的函数值，即为关于φ的单变量问题，问题最终转化为调整φ的取值，使得6个函数值的最大值最小. 第(3)问的改编是将全国I卷第19题第(3)问一般化，即由“n=5”一般化为“n为正整数”. 改编思路 在n为正整数时，需要进一步证明(n+1)cos≥n－1，将此数列不等式转化为证明不等式cosx>1－问题，此不等式的构造技巧源自于余弦函数的泰勒展开式，但余弦函数的泰勒展开式出现在人教A版高中数学教材必修一教材256页练习第26题. 改编思路 此外，我们将所求问题改编为数列求和问题，突出(n+1)cos≥n－1在解题中的必要性. 总的来说，方法与全国I卷第19题相同，但是解题过程需要更细致的分析和技巧. $