【课件】“上海卷 第21题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦函数性质与集合语言的综合应用，以2025年上海卷第21题为载体，通过具体函数（如sinx、分段函数）实例导入，引导学生从特殊到一般理解集合M的定义，搭建函数周期性、奇偶性、图像平移与零点问题的知识脉络。 其亮点在于注重概念本质探究，以点平移为核心连接几何与代数，结合数形结合和逻辑推理（核心素养），如第三问通过点平移求(1,2)解析式、分类讨论证明零点个数。学生能提升直观想象与数学抽象能力，教师可借助实例落实探究式教学，助力核心素养培养。

讲解内容：2025年上海卷第21题 参赛人：杨引 所在单位：上海市上海中医药大学附属浦江高级中学 1试题呈现 函数定于域为，为正实数. 定义集合. （1）若，判断是否属于； （2）已知，若，求的取值范围； （3）已知函数是偶函数，当时，，且满足对任意的，，求时的解析式，并求证：时，对任意最多有9个零点. 2试题分析 本题通过定义集合方式研究函数的图像和性质，为了便于理解，我们将题目中涉及的集合语言进行“翻译”.题目中“定义集合”含义是：“关于所有解构成的集合”；第二问中“”含义是：“方程有解”；第三问中“对任意的，”含义是：“对任意的，若，则”. 题干分析 思考1：的解从函数图像上如何解释？ 周期性的定义 函数图像的变换 题干分析 点与都在函数图像上 点既在函数图像上，也在函数图像上 数形结合 形成解决问题的两大思路: ①点右平移 ②图像左平移 函数定于域为，为正实数. 定义集合. （1）若，判断是否属于； 解答：,所以. 从特殊值出发，便于加深对题干中集合语言的理解、也便于对函数相关概念的理解，为后两问做好铺垫. 考查三角比运算的知识点. 第一问分析 函数定于域为，为正实数. 定义集合. （2）已知若，求的取值范围； 第二问分析 方程有解 点右平移 结论 图像左平移 思路二 思路一 法一（代数）：结合图像1，分别在左右两支上，代入函数两支解析式，利用方程求解的取值范围. 法二（几何）：结合图像1，可以观察出几何意义是两点距离，通过两点分别在左右两支上，代入化简得出进一步得出的取值范围. 思路一 法三（几何）：结合图像2，研究从相切到经过上顶点之前的平移过程，考虑临界状态，得出的取值范围. 思路二 第二问具体解答 法一：当时，，但，所以无解；当时，，但，所以也无解；当时，等价于且. 所以，其中. 要使①有实数根，那么判别式，即. 方程①的两根分别为 另解：数形结合,求函数在值域. ，要使方程①在 有解，则满足或解得 法二：由图像可知，，，所以即，接下来类似于法一，. 法三：将图像向左平移，在与原图从相切开始到与经过之前是存在交点的. 当函数与函数相切时得出：. 当经过时，，所以. 思考2：结合解答过程，两种思路中哪一种更加规范？哪一种方法更具有一般性？ 知识技能：集合概念、方程解法、函数图像 数学思想：数形结合、分类讨论、转化与化归 核心素养：逻辑推理、数学运算、直观想象 第二问考查方程有解问题. 结合第一问，设置动态参数，经历由特殊到一般，加强对定义理解，为第三问难点突破做好铺垫. 第三问分析 函数定于域为，为正实数. 定义集合. （3）已知函数是偶函数，当时，，且满足对任意的，，求时的解析式，并求证：时，对任意最多有9个零点. ②证明零点个数问题 ①求解析式 ①理解题干 ②代数表达 难点 对任意的，若，则.对集合语言的理解是第三问的一个难点. 求解析式分析 由偶函数容易得到的解析式，作出图像. 思路一：如图1，通过点平移，分别在左右两支上，或结合动态参数的几何意义得到，进而得到. 思路二：如图2，通过图像左移过程中，容易发现上每一个都属于，进而得到. 思考3：为何要建立与的关系表达？ 求解析式分析 求解析式思维导图 点右平移 图像左平移 ①几何意义 ②图像对称性 图像有交点 解析式 法一 法二 法三 思考4：行的通吗？ 思路二 思路一 求解析式 法一：对任意的，因为是偶函数，所以，即，所以有. 由于的任意性，所以当时， 设则，所以当时，. 注意：求解析式方法常见有换元法和配凑法，这里是对基本方法的考查. 法二：当，时，，. 如果，则，即，所以当时，，以下同法一. 法三：将图像向左平移个单位过程中发现，对任意的，左移过程中图像与原图在之间恒有公共点，所以时，. 以下同法一. 思考5：解法三是否合理？ 对比思路，探究理论 从第二问解答及第三问中求解析式过程来看，我们总结以下两点： ①思路一通过点平移产生的解法比较规范、精准. ②思路二通过数形结合观察出，缺少建立与关系的过程，在接下来证明中对不定点的探究这一难点难以突破. 思路对比 思路二对于图像平移，同学们习惯于宏观观察平移过程中是否存在交点，而交点是什么往往忽视，所以想要严谨、精准代数表达，需要回归点这一基本元素，从而回归思路一的解题过程. 原因分析 结合上述讨论，结合沪教版课本函数图像的概念（118页）、以及奇偶性定义形成过程（125页），对方程的解形成以思路一为核心的数形关系理论.（思路二为辅） 对比思路，探究理论 点在函数图像上，即；如果成立，那么点满足，即也在函数图像上. 也就是函数图像上的点经过右移个单位后仍在自身图像上. 反之，如果函数图像上的点经过右移个单位后仍在自身图像上，即且，那么成立. 也就是说试题中方程有解（数）与点平移（形）等价. 思路一本质 思考6：为啥通过点建立理论？ 点是几何中最基本的元素，通过坐标化为代数，是连接空间形式与数量关系的桥梁.涉及几何与代数关系的问题应从点出发从而揭示本质. 思路一直接利用了点（点平移）建立起几何与代数的关系，直击本质.思路二是则是宏观的，想要精准表达，还得从交点出发，从而代数表达与思路一没有区别. 证明零点个数 结合上述讨论，类比求上解析式的方法，以及奇偶性，可以得到之间除了的解析式和图像. 思路一（核心） 具有随机性 结论 数形结合 与取值被捆绑. 由于偶函数，只需对这些点是否属于的情况分以下两种方法讨论. 方法一：探究是否属于，若属于，则. 探究，若属于，则，最终得出至多9个零点. 方法二：探究是否属等于，若相等，则属于，则. 以下同法一. 证明零点个数 证明：类比求上解析式的方法，可得时，. 由于函数为偶函数，所以当时，，.当时，，. 另有的函数值未知，由函数是偶函数可知：. 紧接着，证明在之间，至多有9个零点. 证明零点个数 法一：设，.先证：时，.当时，由于，又，所以，所以（或 ，，所以，也有）. 证明零点个数 再证. 假设，由于，则，所以，矛盾，所以.最后我们证明：在上至多有9个解. 当时，在区间上，为方程的唯一解，同理可知，在上，时，方程有6个解，当且仅当时，方程在之间有9个解. 当时，在上，时，方程至多2个解，所以方程在之间的解不超过7个. 综上得证. 证明零点个数 法二：设，.先证：时，，方法同法一. 再证明时，，假设，则，即，即，矛盾. 接下来同法一. 证明零点个数 知识技能：集合概念、函数概念、周期性、求函数解析式、函数的图像、反证法等 数学思想：数形结合、分类讨论、类比等 核心素养：数学抽象、直观想想、逻辑推理、数学运算等 第三问考查的基本知识和基本方法比较密集，要想精准解答，需要对概念深度理解. 3易错点分析 第二问中，在当时，对方程平方运算，容易限制根号里面不小于0，得到变量范围是，实际上是不准确的，应该限制右边，从而确保平方运算的等价性. 这里再举个常见例子，如，在平方之前，是限制根号里面，还是左边呢？本题亦可以通过图像观察出范围，但为了不失一般性（方程缺乏几何意义时），建议同学们考虑运算前后方程的等价性. 运算等价性问题 图像平移方向错误 第二问、第三问中，误将点右移仍在自身图像上与图像整体右移混淆，导致交点的位置与实际位置不一致， 尤其在第三问中，点的位置错乱，无法抓住问题本质，也就无法突破将与建立关系这一难点. 这是因为学生对图像变换的认识只依赖宏观经验，缺少从点的角度对本质的探究. 误认为 这也是因为学生对图像变换的认识只依赖宏观经验，没有将与动态参数建立关系，图像感觉上像是周期变化的，所以认为，解决问题不够精确，缺少对本质的探究. 另外，根据以往经验，同学们也会容易犯漏考虑边界的“低级错误”. 缺少对“不定点”的讨论 这依旧是因为同学们对图像变换的认识依赖宏观经验，没有将点右平移进行数形结合尝试，结合的任意性，是不难判断这些不定点是否可能属于的. 需要注意的是，我们不仅要考虑. 另外还需要考虑时，有，这是能够取到9个零点的前提，大部分同学忽视了在这里的论证. 4命题意图 本次上海卷的压轴题采用集合语言作出定义，使得题干和设问表达精准、简洁，同时还更好的描述了所研究对象之间的关系，这也是近年来上海春考题、高考题特色. 考查了学生将集合语言“翻译”成熟悉的逻辑语言的能力，在第三问中，理解集合与逻辑的关系对部分同学是一个难点. 利用集合语言考查集合与逻辑的关系 从分析、探究解法过程来看，题目涉及的知识点较为基础，包括集合与逻辑、函数相关概念等，连第二、三问设置的函数图像也比较基础，学习过高一知识的同学，基本都可以上手. 学生的问题是除了可能不理解集合与逻辑的关系外，还有仅仅是宏观上依据“左加右减”的口诀记住了图像平移变换的经验，而没有抓注问题的本质，难以精准规范表达，也难以突破最后的难点. 命题者希望老师和学生在平时的教学活动中不必追寻教学速度，机械刷题，更多的去探究数学的本质. 结合课本奇偶性概念形成过程发现，有些看似平凡的结论背后，往往是不平凡的探究过程. 注重基础、考查本质 随着科技的迅猛发展，数学在社会发展中的作用越来越重要. 凭借记忆套路、大招等刷题技巧是难以有效提升数学思维品质的. 本题并没考查套路、二级结论，而是考查对基本知识的深度理解，考查核心素养. 命题者以此为契机，引导学生能学习数学本质，能正真理解数学. 引导教学向培养学生核心素养方向发展，提升思维品质以适应社会需求. 考查素养、避免套路 5试题溯源与推广 本题的本质方法来源于对课本的深度探究，以下从课本中进行溯源. 沪教版必修一在118页函数图像的概念中强调函数图像与函数解析式关系是等价的，关系本质是通过点建立的. 试题溯源 试题溯源 沪教版必修一86页第一次对幂函数与图像对称性通过点进行深度探究. 试题溯源 沪教版必修一125页进一步通过点探究图像与代数式的等价关系，从而抽象出偶函数定义. 试题溯源 沪教版必修二65页周期性学习过程中，课本还从图像平移（思路二）角度对周期性作出探究. 思考6：能否从点出发，将课本定义域为进行修改，使得理论一般化？ 试题推广1：题干不变，第三问继续讨论,零点所有可能值. 试题推广 解答：设，由试题解答已经知道：时，时， ①当时，若，则有9个零点；若则有6个零点； 完善解答 试题推广 ②当时，若则有7个零点；若 有 5 个零点；若， 有 4 个零点；若， 有 2 个零点； ③当或时，由于，所以个数可以是 3 个或 2 个或 1个或0 个. 试题推广2：题干不变，第三问修改的范围. 当时，，且满足对任意的探究：时，对任意的,零点至多有多少个. 解答：类比原题解法，容易求出的解析式分别是、 和 增添不定点数量，凸显点平移这一核心思路的价值. 接下来说明： 在区间上最多一个零点. 当时，假设存在 ，则，所以， 又 ，所以，.所以，其中与函数在上单调矛盾. 当时,假设存在，则，， .因为，所以矛盾. 综上所述，在区间最多一个零点. 最后，说明在上最多9个零点. 当时，令，得到为在区间上唯一零点. 同理， 区间上有唯一零点. 若，因，可以有，由偶函数得，，即，，所以，结合偶函数， 注意对称点可能产生的影响. 有，若，则，若，的取值不受影响，所以无论是否属于，都可以取到（能否等于不受对称点影响）. 当时，若则所以 考虑奇偶性，当时，最多9个零点，其余情况下零点均不多于7个. 感悟：讨论零点至多个数，只需要关注情况. 试题推广3：题干不变，修改范围,将函数进一步抽象. 已知是偶函数，当时， 且任意时，都有同时满足对任意的 讨论： 时，对任意的 零点至多多少个. ①对函数进行抽象，在缺少函数图像的情况下进一步凸显点平移这一核心思路的价值； ②在逐渐抽象的过程中训练思维品质，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养. ③在解答过程中学会使用规范的符号语言进行逻辑推理. 解答：由奇偶性及类比推广2的探究，时， 时， 时而当时，所以；类似可得：时，；，.当时，类比推广2可知至多一个零点. 接下来说明：在 不存在三个及以上零点，假设存在 使得，则，，因为所以 所以，其中与矛盾. 最后说明：最多11个零点. 结合上述讨论，发现，在 上不超过6个零点，接下来探究可以取到6个零点，实际上，若存在, 使得，则是 在上唯一零点. 同理， 则是在区间上唯一零点.取则, 所以,再结合奇偶性，有. 当 ，若也有则，所以所以 结合推广2的讨论，可取由偶函数可知，可取到11个零点. 注：还可以在推广3基础上修改讨论范围，使范围一般化.讨论：时，对任意的 零点至多个数. 进一步还可以讨论该区间零点个数最多时，在上零点至少个数. 具体过程留给大家课后自行探究完成. （提示：由推论2的感悟，研究零点至多个数只需要讨论情形即可；在区间上，零点至多个. ） 在平时复习过程中，研究题目不仅要弄懂，而且要抓住题目的本质，从而会一道题而会一类题，甚至其他类型的题；以本题探究过程为例，重视点兼具几何特征与代数特征这一基本元素的重要性，涉及几何与代数关系的问题都可从点出发从而揭示本质. 6复习建议 重视本质探究 加强对教材基本概念本质的学习. 结合本题分析，平时对函数的学习很多同学只是记住了一些结论和常见的解题方法，而忽视了概念本质的探究. 例如：当我们看到的时候，就会条件反射想到偶函数，图像是关于轴对称的，却忽视了教材（沪教版）中对与图像关于轴对称是通过点建立的等价关系，缺少深度探究学习. 同理，教材当中其他概念的学习也需要重视，从而适应新高考的命题趋势. 重视教材作用 数缺形时少直观， 形缺数时难入微。 遇到直观入微难， 抓住本质运用点。 $