【课件】“北京卷 第20题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦2025年北京高考导数题，系统讲解导数综合应用，涵盖函数构造、单调性分析、极值求解及几何意义探究，以“分析问题、构建函数、研究函数、解决问题”四环节为支架，衔接积分求原函数、导数几何意义等前后知识。 其亮点在于多视角探究，通过构造辅助函数h(x)进行代数推理，结合双垂直、等腰三角形等几何图形直观分析，体现数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观。帮助学生提升逻辑推理与直观想象素养，为教师提供跨学段知识衔接的教学案例，丰富导数教学方法。

讲解内容：北京卷第20题 转化与构造，多视角探究2025年北京高考导数题 参赛人：李铮铮 指导教师：马树宏 陈学义 北京景山学校远洋分校 北京市第一五六中学 北京教育学院石景山分院 导数在高中数学体系中占据核心地位，是研究函数性质、证明不等式等问题的有力工具，在高考中也是重点考查内容．导数综合应用问题综合性强，对学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养要求较高． 北京教育考试院王雅琪老师说过，“分析问题、构建函数、研究函数、解决问题”是解决导数问题的四个环节。经过导数学习，我们已经清楚解决导数问题要经历上述四个环节.下面以2025年北京市高考导数题为例，谈谈如何利用上述四个环节解决问题以及解题思维方法. 解决导数问题的一般环节 分析问题 构建函数 研究函数 解决问题 一、思路与解答 （Ⅰ）思路——直接建函，解决问题 对 求导 得到的极值点 得到的最大值 这是构建函数，利用的已给函数 这是研究函数 这是解决问题 评析 证明 定义域：（，） 分析问题 构建函数 如何研究函数性质？ 瞻前 顾后 证明（，） 思路1：对分段研究与两段研究 思路2：对分段研究与两段研究 思路3：与思路1区别是当时情况切入点不同 当时,是的变号零点; 当时，分析，可以得到. 当时，确定是的变号零点，; 当时，，可以得到. 当时， ，，在单调递增，. 在轴右侧部分在轴下方. （Ⅱ） 这是构建新函数 这是分析问题 这是研究函数 这是研究函数，涉及到分类讨论 这是研究函数 这是解决问题 以思路1为例，可以求出原函数 可以求出原函数 以思路1为例，可以求出原函数 求的取值范围 思路1：开门见山，直述题意 ,代入，建立为自变量函数，求函数值域 =， ，化简为 ， （Ⅲ） 思路2：利用双垂直基本图形解决问题 思路3. 构造等腰三角形解决问题 思路1：开门见山，直述题意 这是分析问题 这是构建新的函数 这是分析问题 这是研究函数，未必求导 这是解决问题 思路2：利用双垂直基本图形解决问题 思路2：利用双垂直基本图形解决问题 思路3. 构造等腰三角形解决问题 思路3. 构造等腰三角形解决问题 思路3. 构造等腰三角形解决问题 思路3. 构造等腰三角形解决问题 【评析】由于导数的几何意义是切线的斜率，切线的斜率是直线倾斜角的正切，需要利用直线倾斜角的正切值表示所求. 二、背景试题研究(溯源与推广) 1.函数的凹凸性的关系 分析——找到原函数 2.推广到一般化利用曲线凹凸性分析问题 在高等教育出版社出版，华东师范大学数学系编写的《数学分析》中，函数的凹凸性有如下定理： 函数的凹凸性本身在人教版A版课本与B版课本中也有所体现，也需要教师们应该注意，关注研究函数还可以从曲线的凹凸性角度进一步分析，这也是学生今后不如大学，学习《高等数学》的重要内容. 人教B版《普通高中教科书·数学》必修第二册 函数的凹凸性本身在人教版A版课本与B版课本中也有所体现，也需要教师们应该注意，关注研究函数还可以从曲线的凹凸性角度进一步分析，这也是学生今后不如大学，学习《高等数学》的重要内容. 人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册 3.与牛顿迭代法的联系 人教版A版探究与发现 这种对称关系正是牛顿迭代“逼近与远离” 逻辑在垂直方向的延伸，让问题的几何本质更清晰. 三、相关试题链接——以凹凸性背景命制过的北京高考题 2022年，2024年北京高考导数题命题背景其实与2025年导数题思路可以说是一样的. 高考题虽然延伸到了大学数学的知识（即函数的凹凸性），但它的发端还在中学，立意高、起点低，中学完全可以有解决这个问题的办法.题目构思精巧，浑然天成，是思想性、艺术性都达到一定高度的好题. 四、容易出现的错误 在解决函数与导数问题时，挖掘隐含条件，合理转化，有效构造新函数，利用导数工具研究新函数的性质求解.有时也可以挖掘问题背后的几何特征，从另外的角度解决问题. 五、结束语 试题呈现 已知函数的定义域是，，导数为．设是曲线在点处的切线． （Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）当时，证明：除点外，曲线在直线的上方； （Ⅲ）设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是．若，求的取值范围． 关注数学阅读，题目要求的是的最大值，而不是的最大值，学生不注意审题会出现解答错误 （Ⅰ）记，， 则， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故的最大值是，即的最大值是. ，设， 则为常见的超越函数．研究性质并作图象． （1）定义域：，无对称性； （2）函数值分布：，； ，. 函数的零点：； （3）单调性：，， ，单调递增；， ，单调递减； 渐近线：轴正半轴 本题中，是将向左平移1个单位得到,如下图所示. ， （，）． 满足，且， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故的最大值是，即的最大值是. （Ⅱ）除点外，曲线均在直线的上方等价于（，）． 分析：，在点两侧为正,图象猜想如下形式. ，可以得到是的变号零点，左负右正，先减再增，瞻前顾后，由（Ⅰ）可以作图象，所以只要证明当时，当时，即可.而当时,先增再减,不能直接说明白,需要二次分类,分段研究.可以选择变号的值分类，也可以选择极大值点分类研究. 思路1：对分段研究——与两段研究 ，对分段研究，当时借助（Ⅰ）得到的结论的单调性分析的单调性，确定是的变号零点，从而找到.当时，分析，可以得到.在上单调递增，所以.得到在单调递增,证明出问题结论. （Ⅱ）解法1：直线的方程为. 令， 当时，除点外，曲线均在直线的上方等价于 （，）． 则. 由（Ⅰ）知，当时，单调递增. 当时，，单调递减. 当时，若，； 若，由题设知，，所以. 故当时，单调递增. 又因为， 所以当且时，，即. 综上，除点外，曲线在直线的上方. 【评析】构建函数后，要研究该函数的单调性，需要利用导数研究，而求导的过程中，需要同学们进一步注意要有变换主元的意识，明确是对求导运算.主元意识在2022年北京高考导数问题出现过 （令，，则）， 后续继续说明. （Ⅱ）解法1：直线的方程为. 令， 当时，除点外，曲线均在直线的上方等价于 （，）． 则. ，对分段研究，当时借助（Ⅰ）得到的结论的单调性分析的单调性，确定是的变号零点，从而找到.当时，分析，可以得到.在上单调递增，所以.得到在单调递增,证明出问题结论. 思路2：对分段研究——与两段研究 （Ⅱ）解法2：直线的方程为. 令， 当时，除点外，曲线均在直线的上方等价于 （，）． 则. 由（Ⅰ）知，当时，单调递增. 当时，，单调递减. 当时，若，； 若，由题设知，，所以. 故当时，单调递增. 又因为， 所以当且时，，即. 综上，除点外，曲线在直线的上方. 思路3：与思路1区别是当时情况切入点不同 当时，分析，可以得到，在单调递增，.这样，想办法证明切线在轴右侧的部分都在轴下方即可，先证明，这样就证明了. 解法3：（Ⅱ）直线的方程为. 令，（，）． 则.当时，，． 因为，所以在单调递减.在单调递增，下面证明.，令， 则，，所以，所以，当时，. 当时，下面同解法1 ， 因为，所以.直线的方程为， 即,. 令， ，， 令 ， 因为，，在上单调递减，所以 当时，因为，所以，，所以 ↘ ↗ 所以函数的单调递增区间为； 单调递减区间为． 所以，. 故（，），，从而命题得证. 【评析】求的零点，需注意超越函数的零点在求解过程需分析函数单调性 因为，，时，；时，，所以在单调递减，在单调递增，，可以初步得到函数图象 将分式中的利用表示，将.代入分式，注意验证不为，这点很多学生容易忽视.将分式化简为:，下面再研究取值范围，要用到高中数学必修模块研究复合函数最值方法，利用（Ⅰ）中得到的结论，换元后解决问题. （Ⅲ）解法1：当是， . 由（Ⅱ）知， . 由题设知直线的方程是，所以 . 因为，且，所以当时，. . 【评析】在对化简过程中，以及需要注意；此外，在求取值范围时，未必需要求导解决，可以利用换元法，对分式进一步化简运算得. 由（Ⅰ）知，当时，的取值范围是， 所以的取值范围是. 所以，若，则的取值范围是. 分析 可以变形为，，根据（Ⅱ）由于，在单调递增，因为，所以故此可以将其转化为线段之差即，，这样分式转化为线段的和差之比； 如图1,过点作轴于，则.出现了平面几何中双垂直基本图形.,所以.由于导数的几何意义是切线的斜率，切线的斜率是直线倾斜角的正切,即，都可以利用与表示. 解法2：因为，所以. 因为，且，所以. 根据题意， 过点作轴于，则. 所以,所以. 根据（Ⅱ）由于，在单调递增， 因为，所以. 所以，所以， 所以，， 所以， ，下同解法1 如图2,过点作轴于，则.，，可以联想中点，可以联想到长度一半，故此取中点，连结，从而将分式转化为线段的和差之比； 在中，.故此.由于导数的几何意义是切线的斜率，切线的斜率是直线倾斜角的正切即，,以利用二倍角公式,并且式子用表示. 利用思路1化简得到分式为，是直线倾斜角的正切值，即，故此（万能公式）.中，直角三角形斜边中线等于斜边一半，可以构造等腰三角形，出现. 解法3：因为，所以. 因为，且，所以. 根据题意， 过点作轴于，则， 取中点，连结，则，在中，. ，因为， 所以. ，下同解法1 ，因为，所以.作出的图象以及直线，可以发现，显然除点外，曲线均在直线的上方. （Ⅱ）结论推广为一般化，设函数在区间上导数存在，且区间上单调递增，，则曲线总在处的切线的上方. 证明：在处的切线的方程为 ， 即. 设，， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 而， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增，，从而命题得证. 也可以利用泰勒公式证明. 根据泰勒公式： ， 因为区间上单调递增，所以， 所以，从而命题得证. 定理：如果在上连续，在内二阶可导，若在内 （1），则在上的图形是凸的； （2），则在上的图形是凹的. 根据函数凹凸性的几何特征可知：如果曲线具有凹凸性，曲线总是在它的任一切线的上方（或下方），利用函数的凹凸性可以解决问题. （Ⅲ）由于函数在单调递增，，则在上的图形是凸的，除点外，曲线均在直线的上方；在单调递减．，则在上的图形是凹的，除点外，曲线均在直线的下方.所以是的拐点. 如图4所示，设， 过点作轴于，取中点， 连结，由于， 根据上文可知， 所以在点从原点（不与原点重合）运动到时，由变化到， 由逐渐变大； 点从到正无穷远时，由变为，由大变小，趋于.的变化规律与相同，故此最大边界为，最小边界是点运动到处.故此，从凹凸性可以分析的变化范围. 函数先凸后凹,二阶导数先负后正，拐点在处,对应的最大值.牛顿迭代的几何行为:，故此切线步长为：，步长越大，​离越远，越靠近.而对应的右侧步长为.是牛顿迭代“切线步长”的垂直对称点，其与的左右分布形成了“迭代步长的对称补集”. .（乘积为常数的平方，体现对称关联性）. 因为，， 当时，因为，， 所以， .， 所以，（趋近于 1）. 当时，达到最大值，（斜率最大，切线最陡），此时一步跨越距离越短.的最大值为，，右侧步长为，.，所以.，目标表达式达到最小值. 当时，，所以.右侧步长. 故此.左侧步长， 故此.. 此时都是极大，远大于，，这正是左右步长的 “差比和”，其比值由步长的比例决定. 通过分析变化时​的比例关系，无需化简分式，仅利用迭代步长的极值和趋势，即可直接锁定目标表达式的取值范围时. 【评析】2013年北京理科高考导数题，问题设问除切点之外，曲线在直线的下方．这与2025年北京高考问题设问是一样的形式，背景也相似，背景也是高等数学中函数凹凸性的内容. 链接1.（2013北京高考理科·18）设为曲线在点处的切线． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方． 解：（Ⅰ）设，则．所以．所以的方程为．（Ⅱ）令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于（，）．满足，且．当时，，，所以，故单调递减；当时，，，所以，故单调递增．所以，（，）．所以除切点之外，曲线在直线的下方． 链接2.（2022北京高考）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的，有． 【评析】由（Ⅱ），则在上的图形是凸的；第（Ⅲ）问就是凹凸性的一个结论，而在运算中令，，则，也需要变换主元求导，有主元意识解决问题. 链接3.（2024北京高考）设函数，直线是曲线在点处的切线． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）求证：不经过点； （Ⅲ）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：）. （Ⅱ）曲线在处切线方程为：，即. 令，， . 这种建立函数方式就是2025年北京高考导数题建立函数的方式. 当时，由于在单调递减， 且， 故只有一个变号零点. 可证时，，时，. 所以在单调递增，在单调递减. 故此， 所以切线与曲线公共点只有切点. 同理当时,切线与曲线公共点只有切点. 综上所述：切线不经过点. （Ⅱ）因为，所以，.所以或恒成立，曲线具有凹凸性.所以，曲线总是在它的任一切线的上方（或下方）由于函数图象过原点，由此可以得到.在点处的切线不经过 （Ⅰ）求的最大值；题目要求的是的最大值，而不是的最大值，学生不注意审题会出现解答错误，教师平时教学舍得花时间引导学生阅读 学生读题看到导数题目没出现原函数，开始不清楚如何解决问题. （Ⅱ）涉及到抽象函数， 求导，需要学生在求导过程中，有变换主元的意识.这样的命题情况在2022年北京市高考题也出现过.2022年北京高考涉及这样的步骤，令，，则，． （Ⅲ）很多学生出现错误也是在因为，所以 ，， 两处没有验证出现错误，这也是教师教学和学生学习时需要注意的地方. $