【课件】“北京卷 第10题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦平面向量模长取值范围问题，以2025年北京高考选择题第10题为载体，通过代数运算、坐标法、几何法三种思路展开，串联向量线性运算、数量积及几何性质，搭建从“数”到“形”的思维支架。 其亮点在于多角度解法融合数形结合，几何法利用直角三角形斜边中线及圆轨迹体现数学眼光的几何直观，坐标法借助辅助角公式展现数学思维的运算能力。结合2022高考题迁移应用，助力学生提升解题能力，为教师提供素养导向的多样化教学资源。

讲解内容：直击2025年北京高考选择题第10题 ——利用数形结合解决平面向量问题 参赛学生：徐适然，左明轩 指导教师： 刘雅文 李铮铮 所在单位：北京景山学校远洋分校 高一4班 思路1 利用线性运算分解 见模平方 思路2：坐标法 思路2 ， 是等腰直角三角形 诱导公式化简 辅助角 直接计算 思路3：几何法 思路3 线性运算化简 中点 轨迹单位圆 图1 图2 图3 3.指导教师点评 解法三：根据向量是数形结合的载体，因此利用向量及其几何意义，利用平面几何直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，抓住斜边中点轨迹是单位圆，利用数形结合，巧妙解决问题． 4、相关试题链接 学生讲题亮点评析 思路清晰，紧扣核心：三种方法各有精彩，紧密围绕 “数形结合” 形式生动，互动感强：对话方式引导听众思考，让人听得进去、记得住 细节到位，展现素养：熟练运用诱导公式、辅助角公式，注意到几何性质 结束语 从“数”的角度 —— 代数方法的应用. 代数方法侧重于将向量问题转化为坐标运算或向量运算，通过严谨的代数推理解决问题. 坐标运算：建立平面直角坐标系，将向量用坐标形式表示，利用坐标的加减、数乘、数量积运算，处理模长、夹角、垂直、平行等问题，尤其适用于规则几何图形或已给出坐标的场景. 向量运算：借助向量的线性运算（加法、减法、数乘）与数量积运算的代数性质，通过建立方程或等式关系，分析向量间的数量关系和位置关系，如通过数量积为0判定垂直，通过共线向量基本定理判定平行，进而求解向量长度、角度等问题. 结束语 从“形”的角度 —— 几何意义与数形结合.几何视角强调利用向量的几何直观，结合图形性质简化问题. 向量的几何意义：通过向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，以及数乘的缩放与反向性质，将抽象的向量运算转化为直观的图形操作，帮助理解向量间的合成、分解与共线关系. 借助几何图形：将向量问题与平面几何的性质（如三角形的中线、角平分线、圆的半径等）相结合，利用图形的对称性、相似性等特征，通过几何直观分析快速定位解题方向，实现代数关系与几何关系的相互转化. 结束语 总之解决平面向量问题要从“数”与“形”两个角度切入．大家在解决平面向量问题时，既要善于运用坐标运算或向量运算等代数方法解决问题,又要善于运用向量的几何意义,抓住几何图形,借助数形结合思想方法解决问题. 高考数学北京卷中的很多利用数形结合思想解决的试题，要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解，关注对运算对象的观察，使精辟的数学思想“随风潜入夜”，让强大的数学方法“润物细无声”，使得貌似困难问题迎刃而解，让学生体会“数学学科的神韵”. 试题呈现（2025年高考数学北京卷第10题）已知平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 思路1：利用“” 【分析】我首先根据，求出，而已知，进而可以用向量表示出，，再利用即可求解． 因为，，由等式两端同时平方可得，所以． ， ， 所以 ， 又， 即， 所以，即的取值范围是． 已知，， . 所以. ，其中. 因为，故. 【分析】我想到了向量加法的三角形法则，我发现，因此我想把原向量转化为，由这个形式，我想通过三角形法则寻找和向量终点.寻找终点需要先确定两点位置.我发现长度已知，可解，这些条件足够确定的所有元素，通过这种方法可以找到终点位置即中点，中点的轨迹是单位圆，问题得到求解. 【解析】因为， 所以，. 取中点，则. 如图1，中点的轨迹是单位圆. 因为， 所以 因为， 所以 如图2，， 当且仅当同向时取“”. 最小值为4. 如图3，， 当且仅当反向时取“”. 最大值为6. 故， 所以，. 即的取值范围是. 解法一：由于，位置确定，故此将问题中向量利用向量表示，即，再利用不等式求解. 解法二：由于坐标法的核心是向量可以用坐标表示，利用向量的坐标运算可以实现向量运算的代数化，从而将“数”与“形”完美结合，因此在解决平面向量问题时有一重要的方法—坐标法. 建立坐标系的做法可以将几何问题代数化，直观的转为计算，通过坐标系将向量转化为坐标，避免复杂的几何推理. （2022北京高考第10题）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即； 解法二：取中点，则 ，转化为最大值与最小值，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，定点与单位圆上的点连线最大值最小值是共线时取得，最大值最小值是 $