【课件】“天津卷 第19题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦数列与集合综合问题，从等差等比数列通项公式入手，通过基本量法、性质应用构建基础，逐步过渡到集合元素性质证明及求和，形成从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，如用错位相减、算两次法解决求和，通过作差法、数学归纳法证明不等式。学生能提升综合解题能力，教师可借助多样解法和题型分析优化教学。

夯基础 破抽象 应新考 融综合 ——天津卷第19题数列 单位全称：天津市南开中学滨海生态城学校 参 赛 人：王敬 李玉梅 周文清 一、试题呈现 已知数列是等差数列，是等比数列，， ． （1）求，的通项公式； （2），，有 （i）求证：对任意实数，均有 （ii）求所有元素之和． ——2025年高考天津卷第19题数列 等差数列与等比数列 基本概念、通项公式 数列求和、函数、不等式、集合、计数原理等 运算求解 逻辑推理 数学运算 逻辑推理 数学观察 数学思考 数学表达 综合应用 解决问题 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 必备知识 二、考点分析 关键能力 核心素养 三、解法分析 已知数列是等差数列，是等比数列，， ． （1）求，的通项公式； 基本量法 等差数列的性质 等比数列的性质 已知数列是等差数列，是等比数列， , 基本量法 等差数列的性质 等比数列的性质 已知数列是等差数列，是等比数列，， ． （1）求，的通项公式； 三、解法分析 设数列的公差为，数列公比为， 则由题得， 解方程组，得， 所以． 方程组 解法1：基本量法 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 设数列的公差为，数列公比为， 则由题得， 解方程组，得， 所以． 方程组 解法1：基本量法 由等比中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法3：等比数列性质 因为，所以 由等比中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法3：等比数列性质 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 由等比中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法3：等比数列性质 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 消元 设数列的公差为，数列公比为， 则由题得， 解方程组，得， 所以． 解法1：基本量法 方程组 由等比中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法3：等比数列性质 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 消元 设数列的公差为，数列公比为， 则由题得， 解方程组，得， 所以． 解法1：基本量法 方程组 小结： 等差等比题不慌，已知条件细端详。 基本量法列方程，性质巧用消元忙。 舍却不合留合理，通项公式自昭彰。 由等比中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法3：等比数列性质 由等差中项的性质得，所以， 即 解得或（舍）， 代入可得，所以， 所以． 解法2：等差数列性质 消元 设数列的公差为，数列公比为， 则由题得， 解方程组，得， 所以． 解法1：基本量法 方程组 小结： 等差等比题不慌，已知条件细端详。 基本量法列方程，性质巧用消元忙。 舍却不合留合理，通项公式自昭彰。 已知数列是等差数列，是等比数列，， ． （2），，有 （i）求证：对任意实数，均有 结构框图： 函数 方向一：先求，再证明 求 思路1： 通项公式 解法1： 错位相减法 裂项法 解法2：裂项相消法 解法3：构造常数列 数列为常数列 思路3：函数 解法5： 导数法 思路4： 归纳 解法6： 数学归纳法 思路2：递推公式 解法4： 累加法 步骤一：求 解法1：错位相减法 思路1：通项公式 等差×等比 解法1：错位相减法 因为 ， 所以， 所以 即． 解法2：裂项相消法 因为， 所以 ． 解法2：裂项相消法 等差×等比 解法3：构造常数列 解法1：错位相减法 思路1：通项公式 等差×等比 由前项和与通项之间的关系得 ， 即， 因为， 所以数列为常数列，且， 所以． 等差×等比 解法3：构造常数列 解法2：裂项相消法 解法4：累加法 思路2：递推公式 思路1：通项公式 等差×等比 因为，， 所以，（） 所以…,, 以上个式子相加得 ， 即， 所以． 思路2：递推公式 解法4：累加法 解法3：构造常数列 思路1：通项公式 等差×等比 思路3：函数法 解法5：导数法 设， 上式两边求导得， ① 因为， 所以 ． ①式中，令，则， 所以． 思路3：函数法 分组求和 解法5：导数法 思路2：递推公式 解法4：累加法 思路4：归纳法 解法6：数学归纳法 设， 上式两边求导得， ① 因为， 所以 ． ①式中，令，则， 所以． 思路3：函数法 分组求和 解法5：导数法 思路2：递推公式 解法4：累加法 思路4：归纳法 解法6：数学归纳法 《人教A版（2019）选择性必修二》习题4.3第3题求和： （2），项的结构符合 因为，符合等差乘等比型，所以猜想，列举：当时，；当时，；解得，所以猜想，下面用数学归纳法证明． (1)当时，，满足； (2)假设当时结论成立，即； 当时， ，成立． 所以，对，均有． 思路4：归纳法 归纳奠基 归纳递推 解法6：数学归纳法 思路1：分析法 证明 解法1： 同除 思路1：分析法 解法2： 移项 思路2：作差法 解法3：单调性 数列 关于单调递减 函数在单调递减 当时，上式取到最大值为 放缩法 解法4： 二项式定理 解法5： 切线放缩 思路3：归纳法 解法6：数学归纳法 步骤二：证明 同除 移项 思路1：分析法 ， 因为，所以，得证． ， 因为，所以，得证． 解法1： 解法2： 思路2：作差法 ，下面只需证明． 对于数列，可利用指数型函数在上单调递减，也可以进一步作差证明其单调递减， 当时，上式取到最大值为， 因此可证恒成立． 思路2：作差法 ，下面只需证明． 解法3：单调性 解法4：二项式定理 因为，所以， 所以， 所以，得证． 放缩 思路2：作差法 ，下面只需证明． 解法4：二项式定理 解法3：单调性 解法5：切线放缩 先证． 设，则， 当时，，所以， 即在上单调递增，所以，得证． 则，得证． 放缩 解法5：切线放缩 解法4：二项式定理 当，左式，右式，，成立； 假设当时，假设成立，即； 则当时， ，成立. 所以时，有． 思路3：归纳法 ，下面只需证明． 解法6：数学归纳法 思路2：作差法 当，左式，右式，，成立； 假设当时，假设成立，即； 则当时， ，成立. 所以时，有． 思路3：归纳法 归纳奠基 归纳递推 解法6：数学归纳法 解法5：切线放缩 小结： 是否可求和 ？ 是 否 ？ 错位相减法、 裂项相消法、 累加法、 数学归纳法等 作差、 单调性、 放缩、 数学归纳法等 求和妙法多路径，错位相消巧构造; 累加法子层层套，导数归纳皆可考. 欲证不等寻突破，作差放缩思路高; 单调性中见分晓，数学归纳稳准超. ， ， 两式相减得， ， 所以， 所以,关于单调递减， ，所以对，均有． 代数运算 模式识别 逻辑推理 代数变形显神通 解法1:错位相减不求和 证． 只需证． 易得， 当时，满足；当时， ， 所以对，均有． 不等式得证． 证． 只需证． 转化问题抓本质 解法2:分析法 分析转化 逻辑推理 即证 作差 函数 即证 设， 当时， 所以数列单调递减， 又因为， 所以， 所以对，均有． 即证 作差 函数 即证 单调递减定乾坤 解法3:单调性 函数思想 逻辑推理 证． 只需证． 解法4:放缩法 因为，即 所以，… ，, 所以 ，得证． 创新放缩锁结果 逻辑推理 创新思维 解法4:放缩法 即证 作差 函数 即证 (1)当时，，不等式成立； (2)假设当时，不等式成立， 即； 当时， ，即． 综上，对，均有． 证明． 严谨归纳步步营 解法5:数学归纳法 逻辑推理代数运算 (1)当时，，不等式成立； (2)假设当时，不等式成立， 即； 当时， ，即． 综上，对，均有． 证明． 严谨归纳步步营 解法5:数学归纳法 逻辑推理代数运算 因为，即 所以，… ，, 所以 ，得证． 创新放缩锁结果 逻辑推理 创新思维 解法4:放缩法 解法5： 数学归纳法 不求和，直接证明不等式 解法4： 放缩法 解法1： 错位相减不求和 解法2：分析法 解法3：单调性 思维导图 数学抽象 数学运算 逻辑推理 错位相减巧变形，不求总和也能证； 分析转化拆项忙，分况验证项间强； 构造数列看单调，首负递减证天然； 放缩累加层级跳，和式小于后项妙； 归纳奠基再递推，一步一步全到位。 已知数列是等差数列，是等比数列，， ． （2），，有 （i）求证：对任意实数，均有 （ii）求所有元素之和． ——2025年高考天津卷第19题数列 结构框图： 理清中的元素特征 确认中元素的个数 以集合的子集的所有元素和为单位求和 以集合的子集中的元素为单位求和 设所有元素之和 求中所有元素和 步骤一：理清中的元素特征 ，显然是单调递增数列， 设集合 则集合是由集合的子集的所有元素的和构成的集合． 步骤二：确认中元素的个数 任取集合的两个不同子集、，设集合，则集合非空，设是中的最大元素，定义表示集合的所有元素和. 不妨设， 当时， 当时，， 由(i)知，综上，． 所以，集合的子集的所有元素和两两不同，即集合的元素个数为． 步骤二：确认中元素的个数 步骤一：理清中的元素特征 步骤三：求的所有元素和 求 方向一：以集合的子集的所有元素和为单位求和 方向二：以集合的子集中的元素为单位求和 解法1：互补思想 解法2： 分类并项求和互补思想 解法3：算两次思想 步骤三：求的所有元素和 步骤二：确认中元素的个数 方向一：以的子集的所有元素和为单位求和 方向一：以的子集的所有元素和为单位求和 集合的一对互补子集的所有元素和的和为，集合的所有子集总共可以 分成对互补的子集对，所以. 解法1的核心是注意到一对互补子集的所有元素和的和为定值，然后采用配对并项求和得出结果。这一思想方法与得出等差数列求和公式的倒序相加思想类似。 解法1：互补思想 步骤三：求的所有元素和 解法2：分类并项求和思想 对任意的，含有的元子集有个， 集合的所有元子集的所有元素和的和为， 则. 按照集合的子集的元素个数分类并项求和. 考虑到集合的所有元子集的所有元素和的和里的每一个出项的频率相同，那么每一个出项的是次数均为，因此，集合的所有元子集的所有元素和的和为，则． 接下来计算，有以下几种方法． 法1:利用组合数的性质，剩下的过程与上述解法相同． 法2:利用组合数的性质，采用倒序相加法． 因为， 所以， 即. 解法2的启发来源于用分类计数法求集合的子集个数的思想方法，这一解法的核心在于集合的元子集中，任意的出项的频率相同.实际上还可以采用间接法求和，也就是将每一个子集的所有元素和看成是全集的所有元素和减去其补集的所有元素和，这种思想方法与分离常数法类似，但是，就本道题而言，对补集的所有元素和求和的方法与解法2是类似的，这里就不再赘述． 方向二:以集合的子集中的元素为单元求和 方向二:以集合的子集中的元素为单元求和 如果，则列与行相交的方格写，否则写行的所有数的和即为集合的子集的所有元素和，则即为表格里所有数的和.现在，我们按列求和，对任意的，含有的子集有个，则列的所有数的和为， . 解法3:算两次思想         解法3没有急于对集合的子集的所有元素和进行并项或分组，而是进一步追本溯源，将目标集中到子集里的元素，从列的角度统计表格里所有数的和，这是算两次的数学思想方法． 抽象符号无需怕，理清关系巧转化. 集合性质须明晰，元素个数要留意. 互补配对和恒定，分类并项妙反应. 表格构建规律现，算两次法创意鲜. 相关题：（摘自图书《算两次》P61，单墫著）对集合的每一个非空子集定义“交错和”如下：将该子集的元素依递减次序排列，然后从最大的数开始交错地减或加后继的数（例如子集的交错和是．的交错和是）．求全部"交错和"的总和． 解: 直接从定义入手去计算，困难重重．我们寻找另一种计算的方法． 从元素入手．每一个小于的元素，如果在不含的子集中，那么它也在含的子集中，反之亦然．如果它对集合的交错和贡献为（或），那么它对集合的交错和贡献为(或)，反之亦然．于是，对各个子集的交错和的贡献两两抵消．对于总和的贡献为． 元素，对每个含的子集的交错和，贡献为．而含的子集有个．所以对总和的贡献为． 综上所述， ． 改编题：设集合，数列，的通项公式为，数列满足，集合，求中所有元素之和． 解：由题意得,设集合中所有元素之和为， 则 所以中所有元素之和为． 四、真题链接 基础性 综合性 创新性 通项公式 前项和公式 数列求和 数列与函数 数列与不等式 新定义数列 数列与集合、统计与概率、解析几何等结合 基本量法、公式法、等差数列、等比数列的性质 抽象、综合 作差法、导数法、放缩法等 错位相减法、裂项相消法、并项或分组求和法、倒序相加法等 数列 2022年19. 设是等差数列，是等比数列，且． （Ⅰ）求与的通项公式； （Ⅱ）设的前项和为，求证：； （Ⅲ） . 证明等式 数列求和 2024年19. 已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． （Ⅰ）求的通项公式及； （Ⅱ）设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 证明不等式 数列求和 2014年19. 已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合． （I）当，时，用列举法表示集合； （II）设，，，其中，，证明：若，则． 证明不等式 年份 第一问 第二问（ⅰ） 第二问（ⅱ） 2024年19题 求通项公式（等比）、前项和 证明不等式（与通项有关） 求前项的和（并项/分组、错位/裂项） 2023年19题 求通项公式（等差）、求和 证明不等式 求通项公式（极限）、求前项和（公式法） 2022年18题 求通项公式（等差、等比） 证明等式（与前项和及通项有关） 求前项和（并项/分组） 2021年19题 求通项公式（等差、等比） 证明等比数列 求前项和（放缩、错位/裂项）、证明不等式 2020年19题 求通项公式（等差、等比） 证明不等式（与前项和有关） 求前项和（分组） 2019年19题 求通项公式（等差、等比） 求复杂数列通项公式 求前项的和（拆项分组） 2018年18题 求通项公式（等差、等比） 求前项和（分组、公式法） 证明等式（与前项和及通项有关） 2017年18题 求通项公式（等差、等比） 求前项和（错位/裂项）   2016年18题 证明等差数列 求前项和（并项）、前项和（裂项）   2015年18题 求公比、通项公式（分段） 求前项和（错位/裂项）   2014年19题 列举法表示集合 证明不等式   天津卷历年考点分析 1.夯实基础概念，筑牢知识根基 2.巧用列举转化，破解抽象符号 3.聚焦求和趋势，拓宽解题思路 4.强化知识融合，提升综合能力 5.深耕历年真题，把握命题规律 五、复习建议 等差等比共交织，通项公式细探求 错位相减巧求和，裂项相消妙解优 不等关系精证明，集合元素细算清 基础概念牢掌握，综合应用巧运筹 真题详解明思路，备考指引方向标 数学素养深培育，关键能力巧练熟 直接证明 先求，再证明 或 证明： 证明：对任意实数，均有 令，即证 《人教A版（2019）选择性必修二》习题4.3第3题求和： （2）， 注意到项的结构符合函数的导数， 即． 求 $