精品解析：2023届北京市延庆区内高班（北京市延庆区对青海玉树地区教育对口支援项目）高三二模文科数学试题

2023年延庆区“内高班”高考第二次模拟练习（全国乙卷） 文科数学 第一部分 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 3. 已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，3 B. 11，4 C. 10，1 D. 10，4 5. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A. 46，45，56 B. 46，45，53 C 47，45，56 D. 45，47，53 6. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 卵圆关于轴对称 B. 卵圆上不存在两点关于直线对称 C. 线段长度的取值范围是 D. 的面积最大值为1 9. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 11. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 设函数则满足取值范围是 A. [-12] B. [0,2] C. [1,+） D. [0,+） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知数列，，，则______ 14. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为______（用“>”连接）. 甲 乙 丙 15. 已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 16. 设函数， （1）当时，的值域为__________； （2）若恰有2个解，则的取值范围为__________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在△ABC中，． （1）求B的值； （2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 18. 如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点. （1）判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值； （3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科各等级对应的原始分区间 生物学科各等级对应的原始分区间 现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图： （1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数； （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分； （3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据，请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. 附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分T的赋分区间 附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：，，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数） 附3：，，. 20. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 21. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，不与顶点重合，点与点关于坐标原点中心对称，过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求证：三点共线． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【选修4—5：不等式选讲】 23. 设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年延庆区“内高班”高考第二次模拟练习（全国乙卷） 文科数学 第一部分 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】求出集合后可求. 【详解】， 故， 故选：D. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：复数相关概念 3. 已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得，所以为0或锐角，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，3 B. 11，4 C. 10，1 D. 10，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】因的平均数为5，方差为1， 则数据，，，，的平均数为，方差是. 故答案为：B 5. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A 46，45，56 B. 46，45，53 C. 47，45，56 D. 45，47，53 【答案】A 【解析】 【详解】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A. 点评：此题主要考查样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体. 6. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件. 【详解】不等式，可整理得， 解得且. 故是的必要不充分条件； 而CD不满足必要性，B为充要条件. 故选：A. 7. 若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出可行域，作出直线向上平移过点C时，目标函数取得最大值，求出点C的坐标代入目标函数可得答案 【详解】作出约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示(含边界)， 由可得，作出直线并平移可得，当直线经过点C时，其在轴上的距最大，此时取得最大值， 由，解得，即， 所以的最大值为. 故选：A. 8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 卵圆关于轴对称 B. 卵圆上不存在两点关于直线对称 C. 线段长度的取值范围是 D. 的面积最大值为1 【答案】B 【解析】 【分析】利用点和均满足方程，即可判断A；设和都在卵圆上，再解即可判断B；利用两点间的距离公式表示，然后利用导数研究其最值，即可判断C；利用三角形的面积公式表示出，然后利用导数研究其最值，即可判断D. 【详解】对于A，设是卵圆上的任意一个点， 因为，所以点也在卵圆上， 又点和点关于轴对称， 所以卵圆关于轴对称，故A正确； 对于B，设在卵圆上，关于直线对称的点也在卵圆上， 则，解得或， 所以卵圆上存在两点关于直线对称，故B错误； 对于C，由，得， 所以，所以， 设点， 则， 令， 则， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 又， 且， 所以，即， 所以，故C正确； 对于D，点， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 此时的面积取得最大值，故D正确. 故答案为：B 9. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误， D选项，故D错， 下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则， 故选C. 考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 10. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得两点必须关于对称中心对称，求得的值，可得结果. 【详解】由题，=，为辅助角， 因为对称轴为，所以 即 解得 所以 又因为在上具有单调性，且， 所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称， 即 所以 当时，取最小为 故选A 【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题. 11. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果. 【详解】由是两条不同的直线，是两个不同的平面， 若，则与可能相交、平行或，A错； 若，则或，B错； 若，则或相交，C错； 若，则确定一个平面，设为， 又，所以， 则由面面平行的判定定理得，D正确. 故选：D 12. 设函数则满足的取值范围是 A. [-1,2] B. [0,2] C. [1,+） D. [0,+） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应的x范围，然后取并. 【详解】由，可得；或，可得； 综上，的取值范围是. 故选：D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知数列，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而可得的偶数项构成等差数列，再求和即可. 【详解】因为，， 所以可得，得到， 可得的偶数项构成等差数列，首项为，公差为， 则. 故答案为： 14. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为______（用“>”连接）. 甲 乙 丙 【答案】 【解析】 【分析】看图，得到数据的集中程度，再结合标准差的意义判定. 【详解】根据频率分布直方图知， 甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大； 乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小； 丙的数据大部分都在平均值左右，数据表现的最集中，标准差最小， 故. 故答案为： . 15. 已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 【答案】34 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 16. 设函数， （1）当时，的值域为__________； （2）若恰有2个解，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）当时，利用倍角公式得到，从而得到；当时，利用倍角公式与换元法，结合二次函数的性质得到，从而得解. （2）先分析得当时，无解；再讨论当，利用换元法与对勾函数的性质，将问题转化为与的图像有两个交点，作出图像即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，又， 所以，由易得； 当时，，令，则， 所以， 因为的对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，故，则； 综上：当时，的值域为； （2）当时，，显然与恰有2个解矛盾，故， 当时，，由得，即， 故，即， 因为，所以，故，显然在上无解； 当时，，由得，故， 若，即，此时，则， 显然此时不成立，故，则， 所以，令，则，， 故， 则恰有2个解转化为与的图像有两个交点， 因为，所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，，故的图像如下： 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：第2小问的关键在于先分析得当时，无解，从而只需分析时的情况即可，再利用换元法将问题转化为与的图像有两个交点，从而得解. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在△ABC中，． （1）求B的值； （2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 【答案】（1） （2）正确条件为①③，（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值； （2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求； （ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长． 【小问1详解】 由题设， 而， 所以，故； 【小问2详解】 若①②正确，则，得或， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则，可得，即②为错误条件， 综上，正确条件为①③， （i）由，则，即， 又，可得， 所以，可得，则， 故； （ii）因为且，得， 由平分得， 在中，， 在中，由，得． 18. 如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点. （1）判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值； （3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）面，证明见解析； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）为的交点，连接，易得为平行四边形，根据平行四边形性质、线面平行判定即可证面. （2）由（1）只需求与面ABCD所成角的正弦值，根据已知条件求值即可. （3）由（1）知HF上任意一点到面的距离都相等，只需求到面的距离，利用长方体的结构特征求距离即可. 【小问1详解】 若为的交点，连接，又H，F分别是棱，的中点， 由长方体的结构特征知：且，故为平行四边形， 所以，面，面，则面. 【小问2详解】 由（1）知： HF与面ABCD所成角，即为与面ABCD所成角， 长方体中，到面ABCD的距离为，， 所以与面ABCD所成角正弦值为，即HF与面ABCD所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：面，即HF上任意一点到面的距离都相等， 所以只需求到面的距离，而到面的距离为， 所以到面的距离，故HF上不存在Q，使得Q到平面的距离是. 19. 湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科各等级对应的原始分区间 生物学科各等级对应的原始分区间 现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图： （1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数； （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分； （3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据，请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. 附1：等级转换等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分T的赋分区间 附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：，，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数） 附3：，，. 【答案】（1）政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；（2）甲、乙两位同学的转换分都为87分；（3）；答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）直接观察茎叶图，由中位数和众数的概念求解. （2）直接利用计算转换分T的等比例转换赋分公式求解. （3）直接利用相关系数求解，利用相关关系，相关系数越接近1，相关性越强判断；也可从原始分与转化分是确定的函数关系与数据的四舍五入的误差判断. 【详解】（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73. （2）甲同学选考政治学科的等级为A， 由转换赋分公式：，得. 乙同学选考生物学科的等级A， 由换赋分公式：，得. 故甲、乙两位同学的转换分都为87分. （3）因为，， 所以. 说法1：等级转换赋分法公平，因为相关系数十分接近于1，接近于函数关系，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性. 说法2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，而在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象. 20. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由已知，只需证明方程 在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即 ，令 即可的结果. 试题解析：（1）函数的定义域是， 导函数为． 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， （2）由已知． 所以只需证明方程 在区间有唯一解． 即方程 在区间有唯一解． 设函数 ，则 ． 当 时，，故在区间单调递增． 又 ，， 所以 存在唯一的，使得． 综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为． （3）．证明如下：首先证明：当时，． 设 ，则 ． 当 时，，所以 ，故在单调递增， 所以 时，有，即当 时，有． 所以 ． 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 21. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，不与顶点重合，点与点关于坐标原点中心对称，过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求证：三点共线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及椭圆的定义求得a、b的值即可. （2）设直线方程，联立其与椭圆方程可得点坐标，将代入直线的方程可得点坐标，再将代入直线方程，得到点坐标，求，再证明即可. 【小问1详解】 可得， 因此． 【小问2详解】 设．联立方程可得：， 解得，代入得，于是． 的方程为，代入，得：． 再代入得：，即． 所以，， 而， 总之三点共线． 【点睛】方法点睛：经过圆锥曲线上满足某条件动点的直线过定点问题，可探求出动点坐标，求出直线方程，即可推理计算解决问题，证明三点共线问题可以转化为斜率之差为零的问题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【答案】（1）；当时，的普通方程为，当时，直线的普通方程为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况； （2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率． 【小问1详解】 曲线的参数方程为（为参数），由，，根据，可得：， 整理得曲线的普通方程为； 直线的参数方程为（为参数）， 当时，由得，代入得：， 即直线的普通方程为； 当时，直线的普通方程为； 【小问2详解】 设直线与曲线的交点为，，因为中点坐标为，所以，， 将、两点坐标代入曲线的方程：， 两式相减得：， 因式分解并整理：， 代入，得：， 化简得：， 即，而直线的斜率，故. 【选修4—5：不等式选讲】 23. 设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明； （2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立． 【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法 ， . 均不为，则，． ［方法二］：消元法 由得，则，当且仅当时取等号， 又，所以． ［方法三］：放缩法 方式1：由题意知，又，故结论得证． 方式2：因为， 所以 ． 即，当且仅当时取等号， 又，所以． ［方法四］： 因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数， 不妨设则. ［方法五］：利用函数的性质 方式1：，令， 二次函数对应的图像开口向下，又，所以， 判别式，无根， 所以，即． 方式2：设， 则有a，b，c三个零点，若， 则为R上的增函数，不可能有三个零点， 所以． （2）［方法一］【最优解】：通性通法 不妨设，因为，所以， 则．故原不等式成立． ［方法二］： 不妨设，因为，所以，且 则关于x的方程有两根，其判别式，即． 故原不等式成立． ［方法三］： 不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立． ［方法四］：反证法 假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出． （2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $