1.2 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第5课时 二次函数y=ax2+bx十c的图象与性质 要点提园 L一极地二次函数a计cte经过配方可化为y=a(+始广+ 4a 2,其图象的对称轴为直线x=一 2a1 顶点坐标是(-乡，c二b 2a人.当x=-b。 一方时y达到最小值a>0)或最大值a<0,这个藏小（大）值为c一 )当a0时抛物线y=ar十r十c的开。向上·x<二时y随王的增大而减小 2a时y 随x的增大而增大，(2)当a<0时，抛物线y=ax十bx十c的开口向下，x< 时y随x的增大而增 b b 大；x>一 时y随x的增大而减小 3.(I)a决定抛物线开口方向，|a|还可以决定开口大小，|al越大开口就越小.(2)b和a共同决定对称轴位 置：当a与b同号(ab>0)时，对称轴在y轴左侧：当a与b异号(ab<0)时，对称轴在y轴右侧.(3)c决 定抛物线与y轴的交点：抛物线与y轴交于点(0，c) 忘课内基础练 C.当x>2时，y随x的增大而减小 知识点①把二次函数y=ax2+br十c化为 D.函数值有最大值1 5.若二次函数y=a.x2十bx一1(a≠0)的图象经 y=a(x一h)2+k的形式 过点(1,1)，则a+b+1的值是 1.将抛物线y=x2十2x向下平移2个单位后， 6.抛物线y=x2十4.x十3的对称轴是直线x= 所得新抛物线的顶点式为 ( A.y=(x+1)2-3 B.y=(.x+1)2-2 二次函数y=ar2十bx十c的图象 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 知识点③ 2.(2025邵阳隆回月考)将二次函数y=x2 与系数的关系 2x一8用配方法化成y=a(x一h)2+k的 7.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 形式是 示，则下列选项错误的是 知识点② 二次函数y=ax2十bx十c的图象 A.a>0 B.c>0 与性质 C.b2-4ac>0 3.二次函数y=一x2一2x十3的大致图象是 D.a+6+c>0 第7题图 变式题已知二次函数y=ax2+bx一c(a ≠0)，其中b>0,c>0,则它的图象可能为 4.关于二次函数y=一x2十4x一5，下列说法 正确的是 A.图象的顶点坐标为（一2，一1） B.图象与y轴的交点坐标为(0,5) 下册第1章 色课外拓展练 (2)若P是抛物线的对称轴1上的一个动 8.(2025娄底三模)若二次函数y=a.x2一3a.x 点，当PA十PC的值最小时，求点P的 十c(a>0)的图象经过点A(0,y1),B(一1， 坐标. y2),C(2,y3),则y1y2y3的大小关系是 A.y3<y<y B.y<y3<y2 C.ya<y<y D.y:<y<y 9.一题多解法若二次函数y=a.x2一bx十2的 最大值是6，则y=一a(x+1)2+b(x+1) 十2的最小值是 A.-6 B.-4 C.-2 D.2 易错点不能正确判断对称轴的位置而 出错 10.已知二次函数y=x2十(m一1)x十1. 当x>1时，y随x的增大而增大，则 爬核心素养练 m满足的条件是 14.推理能力定义：图象的顶点相同、开口大 小相同、开口方向相反的两个二次函数互 11.整体思想将抛物线y=a.x2+bx十3向下 为“反簇二次函数” 平移5个单位长度后，经过点（一2,4），则 (1)已知二次函数y=一(x一2)2+3，则它 6a-3b-7= 的“反簇二次函数”是 12.如图，在平面直角坐标系中，抛 (2)已知关于x的二次函数y1=2x2一2mx 物线y=一x2经过平移得到抛 +m+1和y2=ax2+bx十c,其中y1的图 物线y=一x2-4.x,其对称轴与 象经过点(1,1).若y1十y2与y1互为“反 两段抛物线所围成的阴影部分 第12题图 簇二次函数”，求二次函数y2的表达式，并 的面积为 直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值 13.如下图，已知抛物线y=一x2十m.x十3与 x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B 的坐标为(3,0) (1)求m的值及抛物线的顶 点坐标 B 112 九年级数学X版(3)当x<3时，y随x的增大而增大：当x>3时，y 随x的增大而减小. 11.解：(1)在□ABCD中，CD∥AB.且CD=AB=4. .点C的坐标为(4,8). ,抛物线的对称轴与x轴相交于点H, ..AH=BH=2. 又：OH=CD=4,.OA=2,OB=6, ∴点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0). (2)由(1)可知，平移前抛物线的表达式为y=a(x一 4)2+8.把A(2,0)代入表达式中，得a(2一4)2+8= 0,解得a=一2，.平移前抛物线的表达式为y= 一2(x一4)2+8.设平移后抛物线的表达式为y= 一2(x一4)+8+m.把D(0,8)代入平移后的表达 式，得8=-2(0-4)+8+m,解得m=32, ∴.平移后抛物线的表达式为y=一2(x一4)+40. 第5课时二次函数y=ax十br十c的图象与性质 1.A2.y=(x-1)2-93.A 4.C【解析】：二次函数y=一x2+4x-5=一(x-2) 一1，.图象的顶点坐标为(2，一1)，函数值有最大值 -1,故选项A,D说法错误：当x=0时，y=一5，∴图 象与y轴的交点坐标为(0，一5)，故选项B说法错误： 图象的开口向下，且对称轴为直线x=2,.当x>2 时，y随x的增大而减小，故选项C说法正确。 5.36.-2 7.D【解析】：抛物线的开口向上，.a>0,故A选项不 符合题意；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ,c>0,故B选项不符合题意：抛物线顶点的纵坐标 4ac-b: <0,且a>0,∴.4ac-b<0,∴.b2-4ac>0,故 4a C选项不符合题意：当x=1时，y=a+b十c<0,故D 选项符合题意， 变式题C【解析】，C>0,.一c<0,故A,D选项不 符合题意，当a>0时，b>0,∴.抛物线的对称轴为直 霞x三一2<0：故B选项不符合题意当a<0时，”力 ≥0，抛物线的对称轴为直线x=一>0，故C选项 符合题意. 8.A 9.C【解析】将二次函数y=ax-x+2的图象沿x轴 翻折，可得二次函数y=一ax十bx一2的图象，再将 二次函数y=一ax十bx一2的图象向左平移1个单 位，可得二次函数y=-a(x十1)+b(x+1)一2的 图象. 二次函数y=ax-bx+2的最大值是6， ∴.二次函数y=-a(x+1)产+b(x+1)一2的最小值 是一6. ∴.y=-a(x+1)2+b(x+1)+2的最小值是-6+4 =-2. 4 九年级数学XJ版 》一题多解法《 依题意可得y大= a·2-(-b02=8a-D 4a 4a 6.∴.b2=-16a. y=-a(x+1)2+b(x+1)+2=-a.x2+(b- 2a)x+(b-a+2), .该二次函数的最小值为 -4a(6-a+2)-(b-2a)》2=-16a+80=-2. -4a 10.m≥-111.2 12.8【解析】：y=-x2-4x=-(x+ 2)十4，∴.平移后抛物线的顶点坐标 为（一2,4），对称轴为直线x=一2.当 x=一2时，y=一x2=一4，∴平移后 阴影部分的面积等于如图所示的矩形 OABC的面积，为2X4=8. 13.解：(1)将B(3,0)代入y=-x+mx+3, 得0=-3+3m十3，解得m=2, .y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,与抛物线的对称轴 I交于点P,连接AP. p 由点A,B关于对称轴1对称，得PA =PB. 此时PA十PC的值最小，即为BC的长 设直线BC的表达式为y=kx+b. 由(1)，得当x=0时，y=-x2+2x+3=3, .C(0,3). 将B3,0).C(0.3)代人y=kx+6,得+6=0. 1b=3, 解得仆=一1， b=3, ∴.直线BC的表达式为y=一x十3. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=1, ∴xr=1,此时yr=-1+3=2,当PA+PC的值 最小时，点P的坐标为(1,2). 14.解：(1)y=(x-2)2+3 (2):y1的图象经过点(1,1)， ∴.2-2m+m+1=1,解得m=2, y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1. ∴y1+y2=2x-4x+3+ax2+bx+c=(a+2)x2+ (b-4)x+c+3. “y,十y:与y,互为“反簇二次函数”， y1+y:=-2(x-1)产+1=-2x2+4x-1, .a+2=-2.b-4=4,c+3=-1. 解得a=-4.b=8.c=-4. .二次函数y:的表达式为y,=-4x+8x-4. 当0≤x≤3时，y:的最小值为一16.