1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第4课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 y点提园 1.二次函数y=a(x一h)十k的图象可以由y=a(x一h)2的图象通过上下平移得到.当k>0时，向上平 移k个单位：当k<0时，向下平移k|个单位.二次函数y=(x一h)+的图象的平移遵循“左加右 减，上加下减”的原则。 2.二次函数y=a(x一h)?十k的图象与性质： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 >0 当x>h时，y随 当x=h时， y=a(a h>0 >0 -h)+ 向上 x的增大而增大：y有最小 当x<h时，y随 值，最小伍 k(a>0】 x的增大而减小 为k 直线 (h,k) x=h 当x之h时，y随 当x=h时， y=a(a x 的增大而减小： y 有最大 )2+ 向下 当x≤h时，y随 值，最大值 k(a0》 h<0h-0h>0 x的增大而增大 为k ⊙课内基础练 知识点② 二次函数y=a(x一h)2+k的图 知识点① 象与性质 二次函数y=a(x一h)2+k的图 2.二次函数y=(.x十2)2一1的图象大致为 象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x十 2)2一3的图象向左平移1个单位，再向上平 移2个单位，所得图象的函数表达式为 人安 ( A.y=(x+3)2-1 3.(2025邵阳隆回月考)关于二次函数y B.y=(.x+1)2-1 一(x一4)2十2，下列说法正确的是( C.y=(x+3)2-5 D.y=(x+1)2-5 A.开口向上 B.对称轴是直线x=一4 C.有最小值2 D.顶点坐标是(4,2) 变式题求平移后函数表达式→求平移前 知识点③ 根据图象的顶点求二次函数的表 函数表达式 达式 将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平 4.(教材变式)在平面直角坐标系中，某二次函 移3个单位后所得抛物线的表达式为y= 数图象的顶点坐标为A(1,一4)，且过点 2x2,则原抛物线的表达式为 B(3,0).求该二次函数的表达式. A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)+3 C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(.x-1)2-3 下册第1章 (1)指出a的值和平移方法. 易错点将图象平移与坐标轴平移混淆 (2)二次函数y=a(x一3)2+4的图象的开 5.已知抛物线的函数表达式为y=3(x一 口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 2)2十1.若将x轴向上平移2个单位长 (3)分析函数的增减性。 度，将y轴向左平移3个单位长度，则该 抛物线在新的平面直角坐标系中的函数 表达式为 A.y=3(.x+1)2+3 B.y=3(.x-5)+3 C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1 忘课外拓展练 6.已知二次函数y=a(x一1)十b(a≠0)有最小 值一1，则a与b之间的大小关系是 核心素养练 A.a<b B.a=b 1L.如下图，在□ABCD中，AB=4,点D的坐 C.ab D.不能确定 标是(0,8)，以C为顶点的抛物线y=a(x 7.一个二次函数的图象的顶点坐标为(3， 一h)2十k经过x轴上的点A,B,抛物线的 一1)，且过点(0,3)，则下列关于该函数图象 对称轴与x轴相交于点H. 的说法正确的是 (1)求点A,B,C的坐标. A.开口向下 (2)若抛物线向上平移后恰 B.对称轴是直线x=一3 好经过点D,求平移后抛物 C.当x>3时，y随x的增大而增大 线的表达式 D.与y轴交于负半轴 8.已知抛物线y=a(x一h)2十k与x轴有两 个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x 一h一m)2+k与x轴的一个交点是(4,0)， 则m的值是 9.如图，抛物线C1:y=(x十 1)2+c与抛物线C2:y=(x C 一2)2+d相交于点T.过点 T作x轴的平行线交抛物线 C1于点A,交抛物线C2于 第9题图 点B,则线段AB的长度为 10.二次函数y=a(.x一3)2十4的图象是由二次 函数y=一的图象经过平移得到的。 10 九年级数学X版∴y1=-(-4.4+1)2=-3.4,y,=-(-3.3+1)2 =-2.32 -3.4<-2.3<0,∴y1<y<0. 一题多解法 性质法：由题意可知，二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线x=一1.顶点坐标为（一1,0）， 在对称轴左侧，即x<一1时，y随x的增大而 增大. -4.4<-3.3<-1y1<y<0. 距离法：由题意可知，二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1,0）， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就 越大. :点A(一4.4y1)离对称轴较远y1<y<0. 图象法：函数y=一(x十1)的图象如图所示， ∴y1<y:<0. 8.y=3(x+2)2或y=-3(x+2) 9.24 10.解：，对称轴为直线x=2,.k=2, ∴.y=a(x-2) :图象与y轴的交点到原点的距离为2， .图象与y轴交于点(0,2)或(0，一2). 把(0,2)代人y=a(x-2),得2=4a,a=2 把(0，-2)代入y=a(x-2)产，得-2=4a,∴.a= - :图象开口向上a>0a=2 “所求的二次函数的表达式为y=2(x-2), 11.解：(1)由题意可知，点A的坐标为(-1,0). :OB=OA,点B在y轴负半轴上， .点B的坐标为(0，一1). 将B(0,-1)代入y=a(x+1)2,得a=-1, ,抛物线的表达式为y=一(x+1) (2)由题意可知，∠ACB不可能为90°，∠OAB=45°， ∴.△ABC为直角三角形分两种情况： ①当∠CAB=90时，如图①. 易知点C,B关于对称轴直线x=一1对称，此时 △ABC为等腰直角三角形， .点C的坐标为（一2，一1）： ① 因② ②当∠CBA=90时，设直线BC与x轴交于点D,如 图②，则△ABD为等腰直角三角形，∴.D(1,0). 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将B0.-D,D1,0)代人，得k+b=0, b=-1. =1，六直线BC的表达式为y=x一1 解得 b=-1.1 令一(x+1)产=x一1，解得x,=0(不合题意，舍去)， xg=-3. 当x=-3时，y=一3-1=-4， ∴点C的坐标为（一3，一4）.综上，点C的坐标为 (一2，-1)或(-3，-4). 第4课时二次函数y=a(x一h)尸十k的图象与性质 1.A变式题C2.D3.D 4.解：：二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)，∴设该 二次函数的表达式为y=a(x一1)-4.将B(3,0)代 入y=a(x-1)-4,得0=4a-4,解得a=1,∴.该二 次函数的表达式为y=(x-1)一4. 5.C 6.C【解析】：二次函数y=a(x一1)2+b(a≠0)有最 小值，∴a>0.又：最小值是-1，即b=-1,∴a>b. 7.C【解析】由题意可设二次函数的表达式为y=a(x -3)2-1. 抛物线过点(0,3)， 4 .a(0-3)2-1=3.解得a=9 4 六y=g(x-3)2-1 ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=3,当x>3时，y 随x的增大而增大，抛物线与y轴交于正半轴。 8.1或5 9.6【解析】由题意，得抛物线C,的对称轴为直线x= 一1，抛物线C:的对称轴为直线x=2,AB=AT十 BT=2×[2-(-1)]=6. 1 10.解：(1)由题意，可知a=一2 1 平移方法：把二次函数y=一2x的图象先向右平 移3个单位，再向上平移4个单位，就得到二次函数 y=-2(x一3)*+4的图象. (2)图象的开口方向向下，对称轴是直线x=3,顶点 坐标是(3,4). 下田参考答案 (3)当x<3时，y随x的增大而增大：当x>3时，y 随x的增大而减小. 11.解：(1)在□ABCD中，CD∥AB.且CD=AB=4. .点C的坐标为(4,8). ,抛物线的对称轴与x轴相交于点H, ..AH=BH=2. 又：OH=CD=4,.OA=2,OB=6, ∴点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0). (2)由(1)可知，平移前抛物线的表达式为y=a(x一 4)2+8.把A(2,0)代入表达式中，得a(2一4)2+8= 0,解得a=一2，.平移前抛物线的表达式为y= 一2(x一4)2+8.设平移后抛物线的表达式为y= 一2(x一4)+8+m.把D(0,8)代入平移后的表达 式，得8=-2(0-4)+8+m,解得m=32, ∴.平移后抛物线的表达式为y=一2(x一4)+40. 第5课时二次函数y=ax十br十c的图象与性质 1.A2.y=(x-1)2-93.A 4.C【解析】：二次函数y=一x2+4x-5=一(x-2) 一1，.图象的顶点坐标为(2，一1)，函数值有最大值 -1,故选项A,D说法错误：当x=0时，y=一5，∴图 象与y轴的交点坐标为(0，一5)，故选项B说法错误： 图象的开口向下，且对称轴为直线x=2,.当x>2 时，y随x的增大而减小，故选项C说法正确。 5.36.-2 7.D【解析】：抛物线的开口向上，.a>0,故A选项不 符合题意；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ,c>0,故B选项不符合题意：抛物线顶点的纵坐标 4ac-b: <0,且a>0,∴.4ac-b<0,∴.b2-4ac>0,故 4a C选项不符合题意：当x=1时，y=a+b十c<0,故D 选项符合题意， 变式题C【解析】，C>0,.一c<0,故A,D选项不 符合题意，当a>0时，b>0,∴.抛物线的对称轴为直 霞x三一2<0：故B选项不符合题意当a<0时，”力 ≥0，抛物线的对称轴为直线x=一>0，故C选项 符合题意. 8.A 9.C【解析】将二次函数y=ax-x+2的图象沿x轴 翻折，可得二次函数y=一ax十bx一2的图象，再将 二次函数y=一ax十bx一2的图象向左平移1个单 位，可得二次函数y=-a(x十1)+b(x+1)一2的 图象. 二次函数y=ax-bx+2的最大值是6， ∴.二次函数y=-a(x+1)产+b(x+1)一2的最小值 是一6. ∴.y=-a(x+1)2+b(x+1)+2的最小值是-6+4 =-2. 4 九年级数学XJ版 》一题多解法《 依题意可得y大= a·2-(-b02=8a-D 4a 4a 6.∴.b2=-16a. y=-a(x+1)2+b(x+1)+2=-a.x2+(b- 2a)x+(b-a+2), .该二次函数的最小值为 -4a(6-a+2)-(b-2a)》2=-16a+80=-2. -4a 10.m≥-111.2 12.8【解析】：y=-x2-4x=-(x+ 2)十4，∴.平移后抛物线的顶点坐标 为（一2,4），对称轴为直线x=一2.当 x=一2时，y=一x2=一4，∴平移后 阴影部分的面积等于如图所示的矩形 OABC的面积，为2X4=8. 13.解：(1)将B(3,0)代入y=-x+mx+3, 得0=-3+3m十3，解得m=2, .y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,与抛物线的对称轴 I交于点P,连接AP. p 由点A,B关于对称轴1对称，得PA =PB. 此时PA十PC的值最小，即为BC的长 设直线BC的表达式为y=kx+b. 由(1)，得当x=0时，y=-x2+2x+3=3, .C(0,3). 将B3,0).C(0.3)代人y=kx+6,得+6=0. 1b=3, 解得仆=一1， b=3, ∴.直线BC的表达式为y=一x十3. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=1, ∴xr=1,此时yr=-1+3=2,当PA+PC的值 最小时，点P的坐标为(1,2). 14.解：(1)y=(x-2)2+3 (2):y1的图象经过点(1,1)， ∴.2-2m+m+1=1,解得m=2, y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1. ∴y1+y2=2x-4x+3+ax2+bx+c=(a+2)x2+ (b-4)x+c+3. “y,十y:与y,互为“反簇二次函数”， y1+y:=-2(x-1)产+1=-2x2+4x-1, .a+2=-2.b-4=4,c+3=-1. 解得a=-4.b=8.c=-4. .二次函数y:的表达式为y,=-4x+8x-4. 当0≤x≤3时，y:的最小值为一16.