1.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

:点B位于第一象限且在二次函数 y=x的图象上， “6-a=a2,解得a1=-3(不合题 意，含去)a:=2, ,.6-a=4, ∴点B的坐标为(2,4)， :OB=√2+4=25. :四边形OABC是正方形， ∴.AC=OB=25. 15.解：(1)将A(2,4)代入y=ax,得4=4a, .a=1, ∴二次函数的表达式为y=x (2)存在.设点P的坐标为(m,0). 由题意知，OA=√2+4下=2/5. 当OA=OP时，OP=25, ∴.P(2√5.0)或P(-25.0) 当OA=AP时，(m-2)*+4=(25)2 解得m1=0(不合题意，舍去)，m:=4,P(4,0). 当OP=AP时，m=(m-2)2+4, 解得m=5,..P(5,0). 综上，当点P的坐标为(25,0)或（一25,0）或(4， 0)或(5,0)时，△AOP为等腰三角形. 第2课时二次函数y=ax(a<0)的图象与性质 1.C2.D3.A4.-45.(-2,-20)6.C7.A 8.8 9.(1)-1<0(2)1>0 10.解：(1)由题意，得a-2<0, 解得a<2. (2)由题意，得2a-3<0, 郁得a<号 (3)由题意，得1e+1=一引 解得a=一了或一了 4 11.A变式题D 12.D【解析】，ab>0,∴a,b同号.当a>0时，b>0,抛 物线y=ax2开口向上，过原点，直线y=ax十b过第 一、二、三象限：当a<0时，b<0,抛物线y=ax开口 向下，过原点，直线y=ax十b过第二、三、四象限.故 只有D选项符合题意. 13.解：(1)把(1.b)代入y=2x-3,得=-1.再把(1，-1) 代人y=ax,得a=-l. (2)由(1)知，二次函数的表达式为y=一x -1<x<3.当x=0时，y=0.当x=3时，y=-9. .当-1<x<3时，一9<y≤0. (3)当y=-2时，-x=-2.x=±√反， ∴两个交点的坐标分别为（一√2，一2），（√2，一2）. 2 九年级数学XJ版 ,.两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面 积为2×2E×2=2E. 14.解：(1)将A(2,-4)代入抛物线y=ax2,得4a=一4， 解得a=一1.故抛物线的函数表达式为y=一x.当 y=一4时，一x2=一4，解得x=士2，则点B的坐标 为(-2，-4) (2)如图，设AB与y轴交于点D,连接OA,OB, 六Sam=7AB:0D=X4X4=8, (3)存在.：AB=4,设以AB为底边的△ABC的高 为五，则乞AB·k=4,即乞×h=4,解得A=2, ∴.点C的纵坐标为一4一2=-6或-4+2=-2.当 一x=一6时，x=士6：当-x2=一2时，x=士2. 故点C的坐标为(6，一6)或（一√6，一6）或（厄，一2） 或(-√2，-2). 第3课时二次函数y=a(x一h)户的图象与性质 1.A变式题y=2(x+3)2.D3.D 4.D【解析】A.由a=-2<0可知，函数图象开口向下， 故此选项说法错误：B.函数图象的对称轴为直线x= 一3，故此选项说法错误：C.函数图象的顶点坐标为 (一3,0)，故此选项说法错误：D.当x>一3时，y随x 的增大而减小，故此选项说法正确。 5.解：函数y=(x一1)°的图象如图所示. (1)由图象可知，当一2≤x≤一1时y的取值范围是4 ≤y≤9. (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y ≤4. 6.D 7.C【解析】代入法：A(-4.4,y1)和B(-3.3,y:)是 抛物线y=一(x+1)2上的两点， ∴y1=-(-4.4+1)2=-3.4,y,=-(-3.3+1)2 =-2.32 -3.4<-2.3<0,∴y1<y<0. 一题多解法 性质法：由题意可知，二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线x=一1.顶点坐标为（一1,0）， 在对称轴左侧，即x<一1时，y随x的增大而 增大. -4.4<-3.3<-1y1<y<0. 距离法：由题意可知，二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1,0）， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就 越大. :点A(一4.4y1)离对称轴较远y1<y<0. 图象法：函数y=一(x十1)的图象如图所示， ∴y1<y:<0. 8.y=3(x+2)2或y=-3(x+2) 9.24 10.解：，对称轴为直线x=2,.k=2, ∴.y=a(x-2) :图象与y轴的交点到原点的距离为2， .图象与y轴交于点(0,2)或(0，一2). 把(0,2)代人y=a(x-2),得2=4a,a=2 把(0，-2)代入y=a(x-2)产，得-2=4a,∴.a= - :图象开口向上a>0a=2 “所求的二次函数的表达式为y=2(x-2), 11.解：(1)由题意可知，点A的坐标为(-1,0). :OB=OA,点B在y轴负半轴上， .点B的坐标为(0，一1). 将B(0,-1)代入y=a(x+1)2,得a=-1, ,抛物线的表达式为y=一(x+1) (2)由题意可知，∠ACB不可能为90°，∠OAB=45°， ∴.△ABC为直角三角形分两种情况： ①当∠CAB=90时，如图①. 易知点C,B关于对称轴直线x=一1对称，此时 △ABC为等腰直角三角形， .点C的坐标为（一2，一1）： ① 因② ②当∠CBA=90时，设直线BC与x轴交于点D,如 图②，则△ABD为等腰直角三角形，∴.D(1,0). 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将B0.-D,D1,0)代人，得k+b=0, b=-1. =1，六直线BC的表达式为y=x一1 解得 b=-1.1 令一(x+1)产=x一1，解得x,=0(不合题意，舍去)， xg=-3. 当x=-3时，y=一3-1=-4， ∴点C的坐标为（一3，一4）.综上，点C的坐标为 (一2，-1)或(-3，-4). 第4课时二次函数y=a(x一h)尸十k的图象与性质 1.A变式题C2.D3.D 4.解：：二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)，∴设该 二次函数的表达式为y=a(x一1)-4.将B(3,0)代 入y=a(x-1)-4,得0=4a-4,解得a=1,∴.该二 次函数的表达式为y=(x-1)一4. 5.C 6.C【解析】：二次函数y=a(x一1)2+b(a≠0)有最 小值，∴a>0.又：最小值是-1，即b=-1,∴a>b. 7.C【解析】由题意可设二次函数的表达式为y=a(x -3)2-1. 抛物线过点(0,3)， 4 .a(0-3)2-1=3.解得a=9 4 六y=g(x-3)2-1 ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=3,当x>3时，y 随x的增大而增大，抛物线与y轴交于正半轴。 8.1或5 9.6【解析】由题意，得抛物线C,的对称轴为直线x= 一1，抛物线C:的对称轴为直线x=2,AB=AT十 BT=2×[2-(-1)]=6. 1 10.解：(1)由题意，可知a=一2 1 平移方法：把二次函数y=一2x的图象先向右平 移3个单位，再向上平移4个单位，就得到二次函数 y=-2(x一3)*+4的图象. (2)图象的开口方向向下，对称轴是直线x=3,顶点 坐标是(3,4). 下田参考答案第3课时 二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 森点提园 L.二次西数y=a(x一h)的图象可以由y=ax的图象通过左右平移得到.当h>0时，向右平移|h|个单 位：当h<0时，向左平移h|个单位.两个函数图象的形状、开口方向、最值相同. 2.二次函数y=a(x一h)2的图象与性质： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 <0t h>0 当x>h时，y随x的增 当x=h时， y=a(x一h) 向上 大而增大：当x≤h时，y y有最小值。 (a>0) 直线 随江的增大而减小 最小值为0 (h,0) h<0,h>0 x=h 当x>h时，y随x的增 当x=h时， y=a(x-h)月 向下 大而减小；当x≤h时，y y有最大值， (a0) 随x的增大而增大 最大位为0 已课内基础练 知识点① 二次函数y=ax2和y=a(x h)2之间的关系 1.将抛物线y=2.x2平移得到抛物线y=2(.x 4.关于二次函数y=一2(x十3)2，下列说法正 +3)2,则这个平移过程是 确的是 () A.向左平移3个单位 A.其图象的开口向上 B.向右平移3个单位 B.其图象的对称轴为直线x=3 C.向上平移3个单位 C.其图象的顶点坐标为(0,3) D.向下平移3个单位 D.当x>一3时，y随x的增大而减小 5.已知函数y=(x一 变式题若抛物线y=2x2不动，把y轴向 1)2,请在右面的网格 右平移3个单位，则在新平面直角坐标系 中画出函数图象，并根 中，抛物线的表达式为 据图象回答下列问题： (1)当-2≤x≤-1 2.下列关于抛物线y=2(x十1)与抛物线y 时，求y的取值范围. 2x2的说法中，错误的有 (2)当0≤x3时，y 的取值范围是多少？ ①形状相同：②开口方向相同：③都有最低 点；④顶点不同；⑤对称轴不同， A.3个 B.2个C.1个 D.0个 知识点② 二次函数y=a(x一h)2的图象 与性质 3.在平面直角坐标系中，二次函数y=(x十 h)2的图象可能是 下册第1章 ⊙课外拓展练 忘核心素养练 6.(2025赣州安远月考)若点P(m,n)在抛物 11.几何直观如下图，抛物线y=a(x+1)2的顶 线y=a.x2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y 点为A,与y轴负半轴交于点B,OB=OA. =a(.x十1)2上的是 (1)求抛物线的表达式. A.(m,n+1) B.(m+1,n) (2)连接AB,若C为抛物线上任意一点，且 C.(m,n-1) D.(m-1,n) △ABC为直角三角形，求点C的坐标. 7.一题多解法已知抛物线y=一(x十1)2上 的两点A(一4.4，y1),B(-3.3,y2)那么 下列结论一定成立的是 A.0<y2<y B.0<y<y2 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0 易错点对图象形状相同理解不清导致出 现错误 8.一条抛物线与二次函数y=3x2的图象形 状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标 为（一2,0），则此抛物线的函数表达式为 9.已知抛物线y=a(x一h)2向左平移3个单 位后再沿x轴翻折得到抛物线y=一2(x 1)2,则a= ,h= 10.对于二次函数y=a(x一k)2的图象，三名 同学分别说出了它的一些特点， 甲：开口向上 乙：对称轴是直线x=2. 丙：与y轴的交点到原点的距离为2 求满足上述全部特点的二次函数的表达式 九年级数学X版