1.2 第1课时 二次函数y=ax²(a＞0)的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

1.2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 要点提园 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 当x>0时，y随x的增大 当x=0时，y有 y=ar 向上 (0,0) (a>0) y轴 而增大：当x<0时，y随x 最小值，最小值 的增大而减小 为0 课内基础练 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知点（一2，y1),(1,y2),(3,y)都在函数 知识点① 二次函数y=ax2(a>0)的图象 y=2x2的图象上，则 1.二次函数y=5.x2的图象大致是 A.y<y<y3 B.y2<y<ys 平头卡布 C.y<y<y D.y:<y3<y 7.二次函数y=2026x2的图象的顶点坐标是 ,对称轴是 ,图象在 B 对称轴左侧的部分，y随x的增大而 2.二次函数y=√2x2的图象经过 (填“增大”或“减小”). A第一、二象限 B.第一、四象限 8.在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次 C.第二、三象限 D.第二、四象限 3 函数y一2x的图象，并回答下列问题： 3.若二次函数y=ax2的图象经过点P(一2， 4),则该图象必经过点 (1)当x取何值时，y有最小值？最小值是 A.(2,4) B.(-2,-4) 多少？ C.(-4,2) D.(4,-2) (2)当x>0时，y随x的增大怎样变化？当 x<0时呢？ 变式题若二次函数y=a.x2(a>0)的图象 经过点(m,n),则该图象必经过点( A.(m,-n) B.(-m,n) C.(-m,-n) D.(n,m) 4.赋值法二次函数y1= mx2,y2=n.x2的图象如 图所示，则m n(填“>”或“<”). 第4题图 知识点②二次函数y=ax2(a>0)的性质 5关于抛物线y=ry=y=2x的共 1 同性质有以下结论：①都是开口向上：②都 以(0,0)为顶点；③都以y轴为对称轴；①都 关于x轴对称.其中正确的有 下册第1章 3△ B的横坐标与纵坐标之和等于6，求对角线 易错点对函数的性质把握不准导致错误 AC的长 9.已知二次函数y=(2一k)x-,在对称 轴的右侧部分，函数值y随自变量x的 增大而增大，则及= 已课外拓展练 10.已知二次函数y=a.x2的图象如图所示，则 下面各点有可能在反比例函数y=“的图 象上的是 A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(2,-3) 核心素养练 15.几何直观如下图，二次函数y=a.x2与一 次函数y=kx的图象在第一象限内交于点 02￥ A(2,4). 第10题图 第13题图 (1)求二次函数的表达式 11.已知抛物线y=x2,当一3≤x≤一1时，y (2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP 的取值范围是 为等腰三角形？若存在，请你求出点P的 A.-1≤y≤9 B.0≤y9 坐标；若不存在，请说明理由。 C.-1≤y≤3 D.1≤y≤9 变式题已知二次函数y=x2,当1≤y≤9 时，自变量x的取值范围是 12.已知二次函数y=(a一1)x2,当x>0时，y 随x的增大而增大，则实数a的取值范围 是 13.已知二次函数y=2x的图象如图所示， 线段AB∥x轴，交二次函数的图象于A,B 两点.已知点A的横坐标为2，则AB的长 为 14.如下图，正方形OABC的顶点B位于第一 象限且在二次函数y=x2的图象上.若点 金4 九年级数学X版参考答案 第1章二次函数 故当销售价格定为50元/件时，该公司每天获取的利 润是7000元. (3)当S=12000时，-10x2+1600x-48000= 1.1二次函数 12000. 1.C2.y=2x+4x-11 解得x1=60,x:=100 3.解：一定是y关于x的二次函数的是①④：一定不是y 经检验均符合题意。 关于x的二次函数的是②：有可能是y关于x的二次 故当该公司每天获取的利润是12000元时，销售价格 函数的是③，当a≠0，a,b,c为常数时，③一定是y关 为60元/件或100元/件. 于x的二次函数. 1.2二次函数的图象与性质 4.m≠2变式题(1)±2(2)一3 5.C【解析】已知这个苗网园垂直于墙的一边长为xm, 第1课时二次函数y=ax(a>0)的图象与性质 则苗回园与墙平行的一边长为(40一2x)m.依题意，得 1.A2.A3.A变式题B y=x(40-2x). 4.>【解析】当x=1时，y1=my:=n.由图可知，当x 6.16x一元x20<x<4【解析】：半径为4cm的圆的面 =1时y1>y:即m>n. 积为16xcm,半径为xcm的圆的面积为rx2cm, 5.C6.B y与x的函数表达式为y=16x-xx2,且0<x<4. 7.(0,0)y轴减小 7.A【解析】：∠ACB=90°，CA=CB=10. ∴△ACB是等腰直角三角形， 8,解：函数y=子的图象如图所示。 .∴.∠B=45°. :PQ⊥BC,.△PBQ是等腰直角三角形. 'CP=x,.PB=10-x, ∴.BQ=√瓦PB=-√2x+10√2 y=一厄x十10瓦，y与x满足一次函数关系。 5=2P8=210-ar-2-10x+50. ∴.S与x满足二次函数关系. 8.一1【解析】由题意，得 m-1≠0， m*+1=2. 解得m=一1. (1)当x=0时，y有最小值，最小值是0. 9.y=28.5(1+x)2 (2)当x>0时，y随x的增大而增大：当x<0时，y随 10.解：根据题意，得a一2a-1=2,解得a1=3,a:= x的增大而减小. -1. 9.-510.C 又：a*+a≠0，.a≠0且a≠-1， 11.D .a=3,∴.a+a=12,∴y=12x2-3x,二次项系 变式题-3≤x≤-1或1≤x≤3【解析】：y=x, 数、一次项系数和常数项分别为12，一3和0. 该函数图象开口向上，对称轴为直线x=0.当x> 11.解：根据题意，得y关于x的函数表达式为y=(40一 0时，y随x的增大而增大：当x<0时，y随x的增大 2x)(26-x)=2x2-92x+1040. 而减小.当y=1时，x=士1：当y=9时，x=士3. 40-2x>0, 故当1≤y≤9时，自变量x的取值范围是一3≤x≤ ,26-x>0 -1或1≤x≤3. x>0. 12.a>1 .自变量x的取值范围是0<x<20。 13.4【解析】，点A的横坐标为2，线段AB∥x轴， 12.解：(1)S=y(x-40)=(-10.x+1200)(x-40)= ,根据抛物线的对称性可知，点B的横坐标为一2， -10x2+1600x-48000 ∴.AB=2-(-2)=2+2=4. (2)当x=50时，S=-10×50*+1600×50-48000 14.解：连接OB,如图. =7000. 设点B的横坐标为a,则点B的纵坐标为6一a. 下田参考答案 :点B位于第一象限且在二次函数 ,两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面 y=x的图象上， ∴6-a=a2,解得a1=-3(不合题 积为2×2厄×2=2E. 意，名去)a:=2, 14.解：(1)将A(2,-)代入抛物线y=ax2,得4a=-4, ∴.6-a=4, 解得a=一1.故抛物线的函数表达式为y=一x.当 .点B的坐标为(2,4) y=一4时，一x=一4，解得x=士2，则点B的坐标 :OB=√2+4=25. 为(-2，-4). :四边形OABC是正方形， (2)如图，设AB与y轴交于点D,连接OA,OB, .AC=OB=25. 15.解：(1)将A(2.4)代入y=ax,得4=4a, ∴.a=1, 二次函数的表达式为y=x (2)存在.设点P的坐标为(m,0). 由题意知，OA=√2+下=2√5. 当OA=OP时，OP=25, .P(25,0)或P(-25,0) 当OA=AP时，(m-2)+4=(25)2, 5Sam=7AB:0D=2×4X4=8, 解得m1=0(不合题意，舍去)，m:=4,六P(4,0). (3)存在.：AB=4,设以AB为底边的△ABC的高 当OP=AP时，m2=(m-2)2+42, 解得m=5,.P(5,0). 为五，则子AB·h=4,即号×h=4,解得h=2。 综上，当点P的坐标为(25,0)或（一25,0）或(4， .点C的纵坐标为一4-2=-6或-4+2=一2.当 0)或(5,0)时，△AOP为等腰三角形. 一x2=一6时，x=士√6：当-x2=-2时，x=士√2 第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 故点C的坐标为(6，一6)或(-6，-6)或（厄，一2） 1.C2.D3.A4.-45.(-2,-20)6.C7.A 或(-√2，-2). 8.8 第3课时二次函数y=a(x一h)户的图象与性质 9.(1)-1<0(2)1>0 1.A变式题y=2(x十3)°2.D3.D 10.解：(1)由题意，得a-2<0, 4.D【解析】A.由a=-2<0可知，函数图象开口向下， 解得a<2 故此选项说法错误：B.函数图象的对称轴为直线x (2)由题意，得2a-3<0. 一3，故此选项说法错误：C函数图象的顶点坐标为 郁得ac是 (一3,0)，故此选项说法错误：D.当x>一3时，y随x 的增大而减小，故此选项说法正确. (3)由题意，得1a+1=-引 5.解：函数y=(x一1)产的图象如图所示. 2 4 解得a=一3或-3 11.A变式题D 12.D【解析】，ab>0,∴a,b同号.当a>0时，b>0,抛 物线y=ax开口向上，过原点，直线y=ax十b过第 一、二，三象限，当a<0时，b<0,抛物线y=ax开口 向下，过原点，直线y=ax十b过第二、三、四象限.故 只有D选项符合题意. 13.解：(1)把(1.b)代入y=2x一3，得b=-1.再把(1，-1) (1)由图象可知，当一2≤x≤一1时，y的取值范围是4 代人y=a.x2,得a=-l. ≤y≤9. (2)由(1)知，二次函数的表达式为y=一x2 (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y -1<x<3.当x=0时，y=0.当x=3时，y=-9, ≤4. .当-1<x<3时，-9<y≤0. 6.D (3)当y=-2时，-x2=-2,.x=±√2。 7.C【解析】代人法：A(-4.4y,)和B(-3.3,y:)是 .两个交点的坐标分别为（一√2，一2），（√2，-2）， 抛物线y=一(x+1)2上的两点， 九年级数学X划版