专题11 锐角三角函数的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题11 锐角三角函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 类型六、同角（互余）两角的三角函数关系 压轴专练 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.先找直角三角形：确定要求的角在哪一个直角三角形里。如果是在斜三角形中，通常需要通过作高来构造出直角三角形。 2.再定三边关系：明确这个角的对边、邻边和斜边。这是计算的基础，千万不能搞混。 3.最后用定义计算：直接套用公式。正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。计算时注意化简成最简分数或带根号的形式。 例1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 1.确定边角关系：首先明确已知角和已知边的关系。判断已知边是这个角的对边、邻边，还是斜边。 2.选择正确公式：根据第一步的判断，选择对应的三角函数公式。 - 已知斜边，求对边用正弦 - 已知斜边，求邻边用余弦 - 已知邻边，求对边用正切 3.列方程求解：把已知的数值代入公式，列出方程求解。这是最关键的一步，把几何问题转化为代数计算。 例2．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 1. 准确代入特殊值：这是最基础的一步。先把  sin30° 、 cos45°  这些符号，换成我们熟知的数值。比如  sin30°  等于  1/2 ， tan45°  等于  1 。 2. 遵循运算顺序：代入数值后，这就变成了一道普通的代数计算题。 - 先算乘方、开方 - 再算乘除 - 最后算加减 - 有括号的要先算括号里面的 3. 分母有理化：计算结果中如果分母带有根号，一定要进行化简。 例3．（2025九年级·山东济南·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3-2】（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【详解】（1）解： ； （2） 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.由值求角：利用特殊角的三角函数值，反推出角的度数。 - 比如sinA = 1/2，那么角A就是30°  -  tanB = 1 ，那么角B就是  45°  2.计算第三个角：利用三角形内角和等于  180° ，求出第三个角的度数。 3.判断形状：根据三个角的度数来判断三角形类型。 - 三个角都是锐角，就是锐角三角形 - 有一个角是 90°，就是直角三角形 - 有一个角是 120°等大于90°的角，就是钝角三角形 例4．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式4-1】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【变式4-2】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 1.理解新定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新定义，搞清楚它的运算规则。 比如题目定义  a*b = sin²a + cosb ，那你就必须用这个公式来计算。 2.套用公式计算：把已知的角或数值代入新定义的公式中。 把新定义运算转化成我们熟悉的三角函数运算，然后算出具体数值。 3.结合原有知识：如果题目还有后续要求，比如化简或求值，就继续计算。 这一步要用到我们之前学过的三角函数知识，完成最终解答。 例5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 【变式5-3】（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、余弦的定义，解决本题的关键是作辅助线得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到边之间的关系． 类型六、同角（互余）两角的三角函数关系 1. 识别关系，选择公式：首先观察题目中的角。判断它们是同一个角还是互余的角。 - 同一个角，用平方关系： sin²A + cos²A = 1  - 互余的角，用诱导关系： sinA = cos(90°-A) ， cosA = sin(90°-A)  2. 代入公式，进行转换：把需要计算的三角函数，用上面的公式替换掉。 例如，看到  cos(90°-A)  就换成  sinA ，这样能统一表达式。 3. 化简计算，得出结果：替换完成后，表达式会变得更简单。 有时可以直接抵消，有时需要代入已知数值，最终算出结果。 例6．（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 【变式6-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值，度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 4．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 5．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，分别考虑在之间时和在的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【详解】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， ∴， 由翻折的性质知：， ∵沿直线l翻折至所在直线， ∴， ∴， ∴， 过F作的垂线交于点E， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，， 同理知：， 过点F作的垂线交于E， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 8．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形的内角和定理，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（2025九年级·四川成都·专题练习）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点A，，都在格点上，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形. 延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故答案为：． 10．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整数指数幂，绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根，代入特殊角三角函数值并计算乘法，最后再进行加减计算； （2）代入特殊角的三角函数值，并化简绝对值，最后进行加减计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 12．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（忽略图中D点） (1)在边上取点F，使得； (2)作的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图、腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）过点B作的垂线，在垂线上寻找一个点使得它到点B的距离等于的一半，连接这个点与点A交于点F，点F即为所求； (4)由（3）所画图可知，，则只需找到点B往上移动长度的点，即往上移动2长度，再往上移动长度的点，再连接这个点和F点交于点G即可，利用等腰三角形的性质可知，即即为所求作的高； 【详解】（1）解：如图，点F即为所求． 由网格可知：，， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵， ∴，即，解得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴，即即为所求作的高． 14．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可； ②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可． 【详解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，， 垂直平分， ， ． ， ． ， ∽， ， ； ②设，则． 点，关于对称， 垂直平分， ． 点为的中点， ， ， ． 在中， ， ， 解得：． 的长为； （2）过点作于点，如图， 为的中点， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 16．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，根据边长成比例即可求解； （2）过点作即可转化为和（1）完全相同的问题； （3）延长交于点．由，可得，设，则．证明，再证，得到比例，即；由（2）可知即可得到答案． 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键． 【详解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11锐角三角函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 类型六、同角（互余）两角的三角函数关系 压轴专练 典例详解 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.先找直角三角形：确定要求的角在哪一个直角三角形里。如果是在斜三角形中，通常需要通过作高来 构造出直角三角形。 2.再定三边关系：明确这个角的对边、邻边和斜边。这是计算的基础，千万不能搞混。 3.最后用定义计算：直接套用公式。正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。计算 时注意化简成最简分数或带根号的形式。 例1.(24-25九年级上，广东中山期末)已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=6,那么下列各 式中，正确的是(). 4mB号 B.cosB=2 cam8-号 D.不确定 【变式1-1】(25-26九年级上·山东泰安阶段练习)如图，A,B,C是小正方形的顶点，每个小正方形的边 长为l,则sin∠ACB的值为() 4.V10 c.3v10 5 D. 【变式1-2】(25-26九年级上重庆·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，CD=6, BD=9,则cosA的值为() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 D.23 13 B.4 13 【变式1-3】(25-26九年级上山东淄博阶段练习)如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分 别在边BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的 值是() N D B A.2 B.√2 C.5 D.5 类型二、由正弦、余弦、正切值求边长 1.确定边角关系：首先明确已知角和己知边的关系。判断己知边是这个角的对边、邻边，还是斜边。 2.选择正确公式：根据第一步的判断，选择对应的三角函数公式。 已知斜边，求对边用正弦 已知斜边，求邻边用余弦 已知邻边，求对边用正切 3.列方程求解：把已知的数值代入公式，列出方程求解。这是最关键的一步，把几何问题转化为代数计 算。 例2.(25-26九年级上山东东营开学考试)在A8C中，若∠C=0,8C=2smA=子，则B的长为() 4.为 B.2 C.8 D.10 【变式2-1】(24-25九年级上陕西西安阶段练习)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=2,AC=6, 则BC等于() A.3 B.6 C.12 D.16 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 【变式2-2】(2425九年级上甘肃兰州期末)如图，在Rt△4BC中，∠C=90,B=6,cosB=行则BC的 长为() B A.4.5 B.5 C.4 D.3V5 【变式2-3】(2425九年级下·重庆大足期末)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,过A 作AGLBE于点G,延长4G交BC的延长线于点F.若4B=6,an∠ABE-子，则CF等于（) D G A.2 B. 3 D. 3 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 1.准确代入特殊值：这是最基础的一步。先把sn30°、cos45°这些符号，换成我们熟知的数值。比 如sn30°等于1/2，tam45° 等于1。 2.遵循运算顺序：代入数值后，这就变成了一道普通的代数计算题。 先算乘方、开方 - 再算乘除 最后算加减 有括号的要先算括号里面的 3.分母有理化：计算结果中如果分母带有根号，一定要进行化简。 例3.(2025九年级山东济南·专题练习)计算：（π-2025）°+2cos30° -tan60°-3+8 【变式3-1】(25-26九年级上山东淄博阶段练习)计算： 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)cos30°.tan60°-4sin30°+tan45°； (2)3tan30°+tan245°-2sin60°. 【变式3-2】(2024广东·模拟预测)计算 (1)2sin60°-tan45°+二cos30°+tan30° (2)1-2024π)°+V12+2sin60°-(-3) 【变式3-3】(25-26九年级上全国期中)(1)计算：(3tan30°+tan45)(2sin60°-1). (2)已知a是锐角，且sima= ,求3cos2a+sin(a-15)tan(a+15)-V3cos(a-15)的值. 2 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.由值求角：利用特殊角的三角函数值，反推出角的度数。 比如sn4=1/2,那么角A就是30 tamB=1,那么角B就是45° 2.计算第三个角：利用三角形内角和等于180°，求出第三个角的度数。 3.判断形状：根据三个角的度数来判断三角形类型。 - 三个角都是锐角，就是锐角三角形 有一个角是90°，就是直角三角形 有一个角是120°等大于90°的角，就是钝角三角形 例4.(2025九年级下全国：专题练习)在ABC中，L4、∠B满足：(2sinA-V5+2cosB-1=0,则 ABC的形状为 【变式41】(2024江苏准安一模)在4BC中，若c0s4- 2 +(1-tanB)=0,∠A,∠B都是锐角，则 ABC是 三角形 【变式4-2】(23-24九年级上山东威海阶段练习)在ABC中， sin A- 2 2 ∠B都是锐角，则ABC的形状是」 【变式43】(25-26九年级上全国课后作业)已知ABC中的∠A与∠B满足1-an+SinB-5=0. 2 (I)试判断ABC的形状. 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 1.理解新定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新定义，搞清楚它的运算规则。 比如题目定义ab=sna+cosb,那你就必须用这个公式来计算。 2.套用公式计算：把已知的角或数值代入新定义的公式中。 把新定义运算转化成我们熟悉的三角函数运算，然后算出具体数值。 3.结合原有知识：如果题目还有后续要求，比如化简或求值，就继续计算。 这一步要用到我们之前学过的三角函数知识，完成最终解答。 例5.(2025四川攀枝花中考真题)如图，已知Rt△ABC中，LC=90°，LA、LB、∠C的对边分别为a、b、 C. B (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1; (②者sn4行·求0A的值。 【变式5-1】(24-25九年级上·上海闵行阶段练习)新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每 个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5×5的网格图形中，ABC的顶点A、B、C都在格点上.请 按要求完成下列问题： (1)S,8C =sin ZABC =_ 2请仅用无刻度的直尺在线段B上求作一点P,使5c=Sc(不要求写作法，但保留作图痕迹，写出 结论) 【变式5-2】(24-25九年级上·全国随堂练习)阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： sin30°=1， =2,c0s30= 5，则sin30+c0s30 _；① 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin 45 2 c0s45= ,则sin245°+cos245°= ② 2 sin60°=V ,c0s60° 2,则sin60°+c0s260°=；③ 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A,都有sin2A+cos2A=·④ B (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. (2)已知∠A为锐角，且snA-},求c0s4的信。 【变式5-3】(2025广西南宁，三模)【定义】有一个内角是36°的等腰三角形是黄金三角形，图1和图2是黄 金三角形的两种分类， 【判定】(1)如图3，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AB=BD,AD=CD,请写出图中存在 的黄金三角形并说明理由； 【性质】(2)在(1)的条件下，若BC=1,求AB的长度； 【应用】(3)如图4，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=36°，求cos36°. 36 B36 36° B AB=AC,∠A=36°AB=AC,∠B=36 图1 图2 图3 图4 类型六、同角（互余）两角的三角函数关系 1.识别关系，选择公式：首先观察题目中的角。判断它们是同一个角还是互余的角。 同一个角，用平方关系：SnA+cos2A=1 ·互余的角，用诱导关系：sin4=cos(90°A),cos4=sn(90°-A) 2.代入公式，进行转换：把需要计算的三角函数，用上面的公式替换掉。 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例如，看到cos(90°4)就换成sn4,这样能统一表达式。 3.化简计算，得出结果：替换完成后，表达式会变得更简单。 有时可以直接抵消，有时需要代入己知数值，最终算出结果。 例6.(25-26九年级上·全国课后作业)(1)【归纳推理】填空： sin230°+c0s230°=. ，sin230°+sin260°= sin245°+cos245°=，sin245°+sin245°=； sin260°+cos260°=_，sin260°+sin230°=； (2)【发现总结】sin2a+cos2a=sin2a+sin2()= (3)【灵活运用】求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值. 【变式6-1】(25-26九年级上全国·课后作业)先完成填空，再按要求解答问题， (I)如图，在RtAABC中，∠C=90°，a,b,c分别表示RtAABC中∠A,∠B,∠C的对边. B C 请补充下列求tanA,tanB及tanA·tanB的过程： :在RIAABC中∠C=90°， :tanA=）,anB=, b a :tanA:tanB=2.）=1 b a 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为 即tana.tan90°-a)= (2)已知tana=2,则an(90°-a)=一· 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上山东淄博·开学考试)若∠a的余角是30°，则cosa的值是() 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4. B. 3 2 C.② 2 D.5 2.(24-25九年级下.贵州贵阳-阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,sinB= 则C的长是() A.2 B.3 C.4 D.6 3.(2025·吉林长春模拟预测)如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰ABC,AB=AC,其中斜坡 AB与水平地面BC所成夹角∠ABC=25°，当BC=4米时，土堆顶端A到地面的距离AD为() 125 D A.4tan25°米B. 2 an250米 C.2tan25°米 D.2sin25°米 4.(2025江苏常州一模)如图所示为一张矩形纸片ABCD,E为AD的中点，点F在边BC上，把该纸片 EF折叠，点A,B的对应点分别为G,瓜，GE与BC交于点0，G的延长线过点℃若，则 sin∠BCH的值是() D O G H A. B. 5 c D.2 4 5.(2025·河北模拟预测)在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线1翻折至AB所在直线， 对应点分别为C,D,若AC:AB:BC=I:3:7,则cos/ABC的值为() 4我月 C号或 D. 二、填空题 6.(2025山东青岛模拟预测)计算：tan60°×cos30°= 7.(2025广东东莞模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，A=25,am∠ABC=5,则AC的长 3 为一 8/11 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 5九年级上上海专恩练习在4BC中，若税角∠4，乙B满足Ic0s1士1Si血B-2上 2 ∠C的度数是 9.(2025九年级·四川成都专题练习)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2， LABD=I20°，其中点A,B,C都在格点上，则tan∠BCD的值为 B 10.(2025河南·模拟预测)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,D在直线BC上，且CD=2, 连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接CE.则sin ZECD的值为 三、解答题 11.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)(1)计算： +2sin45°-(2-1)°-27 (2)计算：cos60°-sin245°+三tan230°+sin30-1-1-tan60 12.(24-25九年级上河南濮阳阶段练习)已知ABC中，∠4与∠B满足1-amn4'+cosB- =0 2 (1)试判断.ABC的形状： (2)求(1+sin42-2-(3+tanB)°的值. 13.(25-26九年级上·江苏泰州阶段练习)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点 叫做格点，ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程 用虚线表示，画图结果用实线表示.（忽略图中D点） 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ()在BC边上取点E,使得an∠BAF= (2)作△ABF的高FG. 14.(2024广东二模)已知：如图，在ABC中，AB=13,AC=8,cos∠BAC=5 ，BD14C,垂足为 点D,E是BD的中点，连结AE并延长，交边BC于点F. D B (I)求∠EAD的余弦值； 2求 CF的值. 15.(2025江苏南通模拟预测)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,E,F分别为AD,BC上两个 动点，连接EF,将矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为H,G. B2----- Bl==------ 图1 图2 (I)如图1，当点G落在DC边上时，连接BG. ①求 的值； BG ②若点G为DC的中点，求CF的长. B=2,求sinLGBC的值. ②)如图2，若E为AD的中点，CF=1 16.(2023浙江宁波模拟预测)【基础巩固】 (I)如图1，等腰△ABP,BA=BP,AC⊥BP,垂足为点C,点E为AC上一点，ED⊥AD,延长DE恰好 10/11