14.2.5第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的HL判定定理，通过“舞台背景的几何挑战”情景导入，已知直角相等，引导学生用ASA、AAS、SAS设计测量方案，搭建从一般三角形全等判定到直角三角形特有判定方法的学习支架。 其亮点是以现实问题驱动探究，通过画图操作和逻辑推理抽象出HL定理，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力。如“画给定斜边和直角边的直角三角形”活动让学生直观感知，提升题结合全等证明与垂直判定培养推理能力，帮助学生规范数学语言表达，教师可借分层练习系统推进教学，提升学生应用意识与逻辑思维。

人教版（2024） 八年级上册 14.2 三角形全等的判定 第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 第十四章·全等三角形 判定直角三角形全等 知识目标 1.理解并掌握“HL”定理的内容。 2.明确该定理适用于仅当其中一个角为90°的特殊情形，区分其与一般三角形全等判定条件的不同。 3.能够准确识别题目中的已知条件是否符合HL定理的应用前提。 能力目标 1.用规范的数学语言书写证明步骤，能基于HL定理进行简单的几何论证。 2.在复杂图形中提取关键信息，灵活运用HL定理解决实际问题。 素质目标 1.渗透“特殊与一般”“分类讨论”的辩证思维思想，体会数学定理的严谨性和普适性。 2.培养科学探究精神，鼓励学生通过猜想—验证—结论的研究路径自主建构知识。 教学难点 教学重点 HL定理的条件与结论 “必须包含斜边”是关键前提，例如仅知两条直角边相等时不能用HL 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：判定两个三角形全等的条件 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 舞台背景的几何挑战 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 舞台背景的几何挑战 方案2：根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角. 方案1：根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 已知两个直角相等 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 4. 两个直角三角形中，直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，已知 AC = A’C’，AB= A’B’，∠C = ∠C’=90°，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理. 我们可以通过画图试试看. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2cm 3cm 步骤: 1.画一条线段AB,使它等于2cm ; 2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺); 3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C; 4.连结BC.△ABC即为所求. A B C M 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C, ∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM′ >BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB,可知点A′与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC. （1）先画∠DC′E=90°. （2）在射线C′E上截取B′C′=BC. （3）以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′D于点A′. （4）连接A′B′. E C′ D A B C B′ A′ 是不是这样的点A′一定会与点A重合呢？ 新知探究 E C′ D B′ A′ A B C 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 新知探究 E (C′) D (B′) A (A') B C ① 设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM， 则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′， 则有AB＞BM′＞BM． M 外角的性质. M' 垂线段最短. 在点A下方时，长度<AB. 新知探究 ③ 设点N在线段CA的延长线上，连接BN， 同理可得BN>AB. 因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点 A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合． 在点A上方时，长度>AB. E (C′) D (B′) A (A') B C M M' N 新知探究 思考 通过上面的探究，你能得出什么结论？ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： AB=A′B′, BC=B′C′, 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). A B C A′ B′ C′ 新知探究 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形. 注 意 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 4.［2025黑龙江哈尔滨期末］如图，于点， ， ，连接，射线于点，点在线段 上移动， 点在射线上随着点移动，且始终保持，当 ______时，才能使与 全等. 3或6 【解析】， ， ， 当或 时，可以 根据证明与 全等.故答案为3或6. 16 提升题 5.如图，已知于点，交于点 ，且 ， .求证： （1） ； 证明： ， . 在和 中， . （2） . [答案] ， . ，， ， ， . 拓展题 6.学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”， 但下列两种情形还是成立的. （1）第一种情形（如图①）： 在和中， ，， ，则根 据______________________，得出 ，并写出推理过程； （或斜边、直角边） 解：推理过程如下： ，和 都是直角三角形. 在和 中， . （2）第二种情形（如图②）：在和中，（和均为钝角）， ， ，求证：.（提示：分别过点、点 添加一条辅助线，构造全等三角形） 证明：过点作，交的延长线于点，过点作 ，交的延长线于点 ， , .在和 中， ， . 在和 中， ， . 在和 中， . 课本练习 1. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ A B C D E 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 2. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. 【知识技能类作业】必做题： 3．如图，P是内的一点，，垂足分别为E，F，．求证：(1)；(2)平分． 证明：（1）∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴，∴平分． 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 7 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5．如图，已知平分，于E，于F，且．(1)求证：； (2)若，，求的长． 证明：（1）∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中，， ． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5．如图，已知平分，于E，于F，且．(1)求证：； (2)若，，求的长． （2）∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中，， ，， 由（1）知，， ， ∵， ． 06 作业布置 $