高二数学上学期期中模拟卷02（苏教版，举一反三）【测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章～第3章】

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（5分）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 4．（5分）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 10．（6分）已知，则下列说法正确的有（    ） A．若在内，则； B．当时，与共有两条公切线； C．当时，与的公共弦所在直线方程为； D．，使得与公共弦的斜率为. 11．（6分）已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 13．（5分）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 14．（5分）已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 16．（15分）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 17．（15分）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 18．（17分）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 19．（17分）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最小值； (3)过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【解答过程】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 2．（5分）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 3．（5分）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【解答过程】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 4．（5分）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【解答过程】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C. 5．（5分）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【解答过程】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：A. 6．（5分）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7．（5分）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解答过程】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 8．（5分）过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由切线长及勾股定理可得，可得点轨迹方程为一个圆，结合点在直线上，进而可得此圆与直线相交，由列式求解即可. 【解答过程】如图所示， 由题意知，的圆心，半径，设， 因为，， 所以点轨迹方程为， 又因为点在直线上，且使得切线长的点有两个， 所以与相交， 又因为圆心到直线距离为， 所以，即，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 【答案】ACD 【解题思路】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；将直线化为，即可得定点判断C；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及换元法、基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断D. 【解答过程】A：由题意，，则，对； B：由题意，，则，错； C：直线可化为，联立，直线恒过点，对； D：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，易知， 所以直线和负半轴构成的三角形面积， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对. 故选：ACD. 10．（6分）已知，则下列说法正确的有（    ） A．若在内，则； B．当时，与共有两条公切线； C．当时，与的公共弦所在直线方程为； D．，使得与公共弦的斜率为. 【答案】ABC 【解题思路】A.易知圆的标准方程为，再由求解判断；B.判断两圆是否相交即可；C.两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；D.根据公共弦斜率与两圆圆心连线垂直列式求解判断. 【解答过程】因为， 所以：， 则，，则， 由在内，可得，即，A正确； 当时，，所以， 所以两圆相交，共两条公切线，B正确； 当时，，，所以， 所以两圆相交，， 两圆方程相减得，即，C正确； 若两圆相交，则公共弦所在直线与垂直，所以，无解， 故不存在，使得与公共弦的斜率为，所以D错误. 故选：ABC. 11．（6分）已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 【答案】AC 【解题思路】对于A，用离心率的计算公式即可求解；对于B，联立直线方程和双曲线方程，由判别式等于0可求出斜率，进而可知直线的方程；对于C，由双曲线的光学性质可知,平分，进而垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求解；对于D，求出的坐标，，结合不等式即可求解面积的最小值. 【解答过程】对于A，,故A正确； 对于B，设直线的方程为, 联立方程组,消去y整理得： ， ,化简整理得， 又因为，代入上式并化简得：， 因为 所以方程有两个相等的实根，解得， 所以直线的方程为,即，故B错误； 对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E， 则垂直平分,即为的中点，又是中点, 所以，故C正确; 对于D，由直线的方程为，令,得,则， ， 当且仅当,即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【解题思路】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【解答过程】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 13．（5分）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 【答案】 【解题思路】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程． 【解答过程】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为：. 14．（5分）已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围． 【解答过程】直线恒过点. 由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.    当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ， 根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得， 当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点， 综上得，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【解答过程】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 16．（15分）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】(1)或者. (2) 【解题思路】（1）由弦长得到圆心到直线的距离为1，即可求解； （2）求得圆，再结合四点在以为直径的圆上，即可求解. 【解答过程】（1） 易知知直线斜率存在，设的方程为：， 因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为， 所以，解得或者， 所以的方程为或者. （2）因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点， 所以，，与点共线，则，得， 则圆半径为，圆方程为，           又，与圆相切，所以四点在以为直径的圆上， 圆的方程为，即，   直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由， 两式相减得直线的方程为. 17．（15分）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【解答过程】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    18．（17分）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 19．（17分）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最小值； (3)过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点，理由见解析 【解题思路】（1）依题列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先判断点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直线的方程，求出的坐标，利用基本不等式，即可求得面积的最小值； （3）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简，得到或，回代入直线的方程，检验后即得直线经过的定点. 【解答过程】（1）依题意，，解得， 则椭圆的标准方程为； （2） 如图，设，连接,则, 即点在以为直径的圆上，取的中点为，， 则圆，即， 将其与作差整理，可得直线的方程为：， 令，则；令，则，则得， 故，因点在椭圆上，故， 由可得，当且仅当时，等号成立， 此时， 即当点为这四个点时，面积取得最小值； （3） 如图，当直线的斜率为0时，直线与关于轴对称，此时不符合题意； 故可设直线的方程为：，代入中， 整理得：， 由，可得 设，则（*） 依题， ， 化简整理得：， 将（*）代入，可得， 即得， 整理得：，则有或. 当时，经过点,不合题意，舍去； 当时， ，经过定点. 故直线经过定点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $