九年级数学上学期期中模拟卷01（华东师大版九上1～3章：二次根式+一元二次方程+相似三角形）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级数学上册第1~3章（二次根式+一元二次方程+相似三角形）。 第一部分（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，但不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A ． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知条件设，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 3．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 4．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算和一元二次方程根的判别式．先理解题目给出的新定义运算，根据新定义运算将展开得到一个一元二次方程，再根据一元二次根的判别式得到一个一元一次不等式，解不等式即可求出结果，此时需要考虑． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选：D． 5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 7．如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图： ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 故选：B． 8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 9．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 10．若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 11．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 12．如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中获取有效的信息，是解题的关键；观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值；根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴,即． 综上所述，． 故选：A． 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13．式子有意义的x取值范围是 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：若式子有意义， 则， 解得：． 答案为：． 14．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 15．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 【答案】 【分析】本题考查了线段比例中项的定义，如果线段是线段，的比例中项，则，据此即可求解． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项线段， ∴， ∴． 故答案为： 16．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 17．已知一元二次方程 的两根为x₁，x₂，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得，然后将所求的代数式变形为含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根为， ∴， ∴ ． 故答案为： 18．如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点、分别在边，上，点，的对应点分别为，，且点在平行四边形内部，的延长线交于点．交边于点．，，，当点为三等分点时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由折叠得，，，证明得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，， ∵将平行四边形纸片折叠，折痕为，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点G作交延长线于点P，过点D作交延长线于点T，得矩形， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式乘法，零指数幂，根据负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式乘法，零指数幂分别计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似，相似三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）延长到使，延长到使，连接即可； （2）根据相似三角形的性质求出，则求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：根据题意，得，相似比为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴与四边形面积的比， 故答案为：． 22．（10分）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（10分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明： ，，， ， 方程总有两个实数根． （2）由是方程的根， ， ， 解得． （3） ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 24．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键． （1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得与的函数表达式，再根据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围； （2）根据“每件利润日销售量日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， ∵日销售量， ∴，解得； 又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， ∴， ∴x的取值范围为， 与的函数表达式为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：售价应定为60元． 25．（10分）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 26．（12分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级数学上册第1~3章（二次根式+一元二次方程+相似三角形）。 第一部分（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 3．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 9．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 10．若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 11．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 12．如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13．式子有意义的x取值范围是 14．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ． 15．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 16．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 17．已知一元二次方程 的两根为x₁，x₂，则 ． 18．如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点、分别在边，上，点，的对应点分别为，，且点在平行四边形内部，的延长线交于点．交边于点．，，，当点为三等分点时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）解方程： (1)； (2)． 21．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 22．（10分）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 23．（10分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 24．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 25．（10分）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 26．（12分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 4 6 7 6 10 11 12 D D C B D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13.x<2 14.1+25或1-22 15.8cm 16.80 17._号 18.65-45或3102 三、解答题（本大题共8小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分)【详解】解：()2+1-5-2×5-(-2025)° =4+5-1-V5-1 =2 (8分) 20.(8分)【详解】(1)解：：6x(x-2)=4(x-2), .6x(8-2)-4(8-2)=0, .2(x-2)(3x-2)=0, .3x-2=0或x-2=0, 解得X1=号X2=2; (4分) (2)解：2x2-5x+1=0, .a=2b=-5,c=1, :△=b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17>0, “x=-c_5 2 4 解得x+平5-平 (8分) 21.(10分)【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求， 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (4分) (2)解：根据题意，得△ABC∽△AB'C,相似比为1：2， =(告)2=字， …(6分) :S△ABC=4S△ABC, 又S△ABc=S△ABC+S四边陷CCB, .S四边瓶cCB=3S△ABC, △ABC与四边形BCCB面积的比13， (10分) 故答案为：13。 22.(10分)【详解】(1)证明：：AB=2CD,点E是AB的中点， .:DC=EB 又：ABIICD, :.四边形BCDE为平行四边形. … (2分) .:ED|BC. ∴∠EDB=∠FBM. 又：∠DME=LBMF, △EDM△FBM..(4分) (2)解：：△EDM△FBM, :删=張， （6分) :F是BC的中点， .:DE-BC=2BF, ∴.DM=2BM, .DB=DM+BM=3BM, (8分) :DB=12, 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=3BD=号×12=4..（10分） 23.(10分)【详解】(1)证明：：a=1,b=2m,c=2m-1, ：△=b2-4ac =(2m)2-4(2m-1) =4m2-8m+4 =(2m-2)2≥0， ·方程总有两个实数根 …(3分) (2)由x1x2是方程x2+2mx+2m-1=0的根， ：81+x2=-2m,8182=2m-1, :(81-2)(x2-2)-X182-2(81+82)+4=2m-1-2(-2m)+4 =6m+3=10, 解得m-名.(6分) (3):x2+2mx+2m-1=0, 即(x+1)(x+2m-1)=0, ÷81=-1x2=-2m+1, :方程有一个根不小于5， .-2m+1≥5， .m≤-2. 。m的取值范围是m≤-2.…(10分) 24.(10分)【详解】(1)解：根据题意可得：y=500-(x-50)×10, 整理得：y=-10X十1000，(2分) :日销售量y20, .-10x+1000≥0，解得x≤100； 又：售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， .x250, x的取值范围为50≤X≤100，… (4分) y与x的函数表达式为：y=-10x+1000(50≤X≤100)；…(5分) 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：根据题意，得：(x-40)(-10x+1000)=8000, 解得：81=60,82=80，…(8分) :尽可能让顾客得到实惠， .x=60. 答：售价应定为60元..(10分) 25.(10分)【详解】(1)解：2≤a≤5， .a-2≥0，a-5≤0， .原式=a-2+a-5 =a-2-(a-5, =a-2-a+5 =3, .(3分) 故答案为：3： (2)解：由题意可知：|3-a+a-7=4, 当a≤3时，3-a≥0，a-7<0, .原方程化为：3-a-(a-7)=4, 解得a=3,符合题意； (4分) 当3<a<7时，3-a<0,a-7<0, .-(3-a)-(a-7)=4, .4=4,故3<a<7符合题意； 当a≥7时，3-a<0,a-7≥0， .-(3-a)+(a-7)=4, 解得a=7,符合题意；… (6分) 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； (3)解：原方程可化为：a+1+|a-5引=4y5, 当a≤-1时，a+1≤0，a-5<0, :原方程化为：-a-1-(a-5)=45, 解得a=2-2√5，符合题意；(7分) 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当-1<a<5时， .a+1>0,a-5<0, “(a+1)-(a-5)=45, 此方程无解，故-1<a<5不符合题意；…(8分) 当a≥5时，a+1>0,a-520, :原方程化为：a+1+a-5=4V5, ∴a=2V5+2,符合题意： 综上所述，a=2-2V5或a=25+2. …(10分） 26.(12分)【详解】(1)解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HIQLAD于点Q,则EP⊥QH, Q B H :四边形EBCP,HCDQ是矩形， .EP=BC=CD=HQ, 设EF交QH于点O,则∠E0H+∠QHG=90°=∠E0H+∠FEP, ·∠GHQ=FEP, 又：∠EPF=∠HQG=90, ÷△EPF≌△HQG(ASA), GH=EF=5;…（3分) 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQLAD于点Q,则EP⊥QH, D :四边形EBCP,HCDQ是矩形， 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EP=BC=2CD=2HQ, 设EF交QH于点O,则LEOH+∠QHG=90=∠E0H+∠FEP, :∠GHQ=∠FEP, 又：∠EPF=∠HQG=90°， :△EPF∽△HQG, 器最=2， .GH=EF=4;(4分) 故答案为：4； (2)证明：如图，过点C作CFLAC交AE的延长线于点F, :∠F+∠FAC=90=∠ADB+∠FAC, ∠F=∠ADB 又：∠BAD=∠ACF=90°，BA=AC, ·△ABD≌△CAF(AAS), ..AD=CF, ..ABCF, :△ABE△FCE, …(5分） 器=噩， 又：CF=AD, 铝=瞿， (6分) (3)解： 10成33 :在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,ADIBC, :∠ABE=∠CBE=∠AEB, ..AE-AB=6, (7分) 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当AF=专AE=2时，如图，点G在CD上， H BF=62+22=2√10， :∠ABF=∠DAG,∠BAF=∠ADG=90°， .△BAF∽△ADG, (8分) 部-铝=， A6=04, 当AF=号AE=4时，如图，点G在BC上， F G元：BF=V62+4-213, :∠BAF=∠GBA=90°，∠ABF=∠BGA, △BAF△GBA,.（10分) 铝器=， :AG=3V13 .（12分） 7/7 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级数学上册第1~3章（二次根式+一元二次方程+相似三角形）。 第一部分（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 3．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 9．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 10．若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 11．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 12．如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13．式子有意义的x取值范围是 14．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ． 15．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 16．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 17．已知一元二次方程 的两根为x₁，x₂，则 ． 18．如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点、分别在边，上，点，的对应点分别为，，且点在平行四边形内部，的延长线交于点．交边于点．，，，当点为三等分点时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）解方程： (1)； (2)． 21．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 22．（10分）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 23．（10分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 24．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 25．（10分）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 26．（12分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $