24.3 方法技巧专题 构造圆周角的方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 构造圆周角的方法 题型① 利用圆内接四边形的性质解题 4.如下图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上 1.一题多解法如右图，AD是 点，⊙O经过点A,C,D,交BC于点E,过 ⊙O的直径，B,C是⊙O上 点D作DF∥BC,交⊙O于点F,连接AF, 两点，连接OB,BC,CD.若 EF,CF.求证： ∠BCD=105°，求∠AOB的度数. (1)四边形DBCF是平行四边形. (2)AF=EF. 题型② 通过辅助线构造同弧或等弧所对的 圆周角 2.如右图，已知AB是⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点 E,G是AD上一点，AG, CD的延长线相交于点 题型③利用直径所对的圆周角为直角解题 F.求证：∠FGD=∠AGC 5.已知点A,B,C,D均在⊙O上，连接AC, BD相交于点E,连接BC (1)如图①，若AC=BD,求证：AE=DE. (2)如图②，若AC⊥BD,连接OC,OD,CD, 求证：∠OCD=∠ACB. 3.如下图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC, .0 垂足为D,AB=AF,BF与AD,AO分别交于 C 点E,G.证明：AE=BE. 图① 图② 下册第24罩 25△ 6.如下图，以△ABC的边AB为直径作⊙O, (2)如图②，P为BC上一点，连接DP交直 交AC于点D,且D为AC的中点.作直径 径AB于点F,连接CF,OC,PB.若OC∥ EF⊥AD,垂足为H,连接DE,DF, PB,求证：∠CFP=∠B. (1)求证：BC=2OA. (2)若DF∥AB,CD=6,求 BC的长， 8.如下图，四边形ABCD内接于⊙O,AB= BC,对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外 一点，AB平分∠DAE,AD=AE,连接 CE,BE. (1)求∠AEB的度数， (2)求证：2BE2+AE2=CE 7.已知：AB为⊙O的直径，E为OA上一点， 过点E作CD⊥AB,交⊙O于点C,D. 图① 图② (1)如图①，若AE=2,OE=3,求CD的长. 26 九年级数学HK版第2课时圆内接四边形 1.B 2.D 变式题20°【解析】：四边形ABCD为半圆O的内 接四边形，∴.∠ADC+∠ABC=180°.∴.∠ABC=180 一110°=70°.，AB为半圆0的直径，.∠ACB=90°， ,∴.∠BAC=90°-70°=20. 3.B4.D5.72°变式题B6.120 7.证明：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠BCE. :∠ABC=2∠E,∠ABC=∠E+∠BCE, ∴.∠BCE=∠E, ∴∠A=∠E, ..DA=DE. 即△ADE是等腰三角形， 8.C 9.B【解析】如图，连接AE.,AB是 ⊙O的直径，∴.∠AEB=90, ∠BEC=18°，.∠AEC=90°- 18=72°.四边形AECD内接于 ⊙O,.∠ADC=180°-∠AEC= 180°-72°=108°. 10.C【解析】如图，连接CE.B为孤 AC的中点，∠AEB=30,∴.∠BEC =∠AEB=3D°，∴.∠AEC=∠BEC 十∠AEB=60°.，四边形ABCE内 接于⊙O,.∠ABC+∠AEC=180°. .∠ABC=120 11.160°【解析】如图，连接AE.AB 所对圆心角的度数为40°，.∠BEA 0 =20°.点A,B,C,D,E都在⊙O 上，.四边形DCAE为⊙O的内接四 边形..∠DEA+∠C=180°，.∠DEB+∠C=180 -20°=160. 12.72°【解析】如图，延长ED到点H」 四边形ABCD内接于⊙O, ..∠ABC+∠ADC=∠BAD+ ∠BD=180.又：∠EAB.∠FBC,i ∠GCD的度数之比为1：2：4，∴∠EAB,∠FBC, ∠GCD,∠CDH的度数之比为1：2：4：3. :∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH=360°， 3 六∠CDH=360×1+2+4+3-108, .∠ADC=180-108°=72°. 13.解：(1)：BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90 ∠DBE=25..∠E=90-25°=65. ,四边形BEDC是⊙O的内接四边形， .∠C+∠E=180°..∠C=115°， 12 九年级数学HK版 (2),四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BCD+∠BAD=180 :∠BCD=2∠BAD,.∠BAD=60 BE是⊙O的直径， ∠BAE=90°，.∠DAE=90°-60°=30°. 由圆周角定理，得∠DOE=2∠DAE=60°. 14.解：(1)证明：：DE=CD..∠DCE=∠E. ,∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD的外角， ∴∠DCE=∠A. :OA=OD,∴∠ADO=∠A,.∠ADO=∠E ,.OD∥BE. .OD AD AO 1 (2)OD/BE.BE-AE-AB ..BE=20D=AB=12.AE=2AD=8,DE=AD =4. :四边形ABCD内接于⊙O, .∠EDC=∠B,∴.△DCE∽△BAE, 4 CE 8 CE CE 2 “元E-CE 28 3 方法技巧专题构造圆周角的方法 1.解：如图，连接AB,则四边形ABCD 内接于⊙O, .∠BAD+∠BCD=180 :∠BCD=105°，∴∠BAD=180° 105°=75. ,OB=OA..∠ABO=∠BAD=75°， .∠AOB=180°-2∠BAD=30. 》一题多解法《 如图，在AD下方⊙O上取一 点E,连接BE,DE, 则四边形BCDE内接于⊙O. :∠BCD=105°，.∠E=1801 -∠BCD=75°. .∠BOD=2∠E=150°，∴.∠AOB=180° ∠BOD=30°. 2.证明：如图，连接AC :四边形ACDG是圆内接四 边形， ∴∠FGD=∠ACD. :弦CD⊥AB于点E,AC =AD. ∴∠AGC=∠ACD,∴∠FGD=∠AGC. 3.证明：如图，连接CF,AC,AB. AB=AF. ∴.∠BCA=∠ACF=∠ABF. ~BC是半圆O的直径， ∴∠BAC=90°，∴.∠ABC+∠ACB =90°， 又'AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠ACB, ∠ABF=∠BAD,∴.AE=BE. 4.证明：(1)AC=BC, ∠BAC=∠B. DF∥BC, ∴∠ADF=∠B,∴∠BAC=∠ADF, ∠BAC=∠CFD, .∠ADF=∠CFD, .BD∥CF, ∴.四边形DBCF是平行四边形. (2)如图，连接AE. ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF, ∠AEF=∠B. :四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF=180°. BD∥CF, .∠ECF+∠B=180°， ∴.∠EAF=∠B=∠AEF. ∴AF=EF 5.证明：(1)：AC=BD,AC=BD, :.AC-CB=BD-CB.AB=CD. ∴∠ACB=∠DBC,EB=EC,∴.AE=DE. (2)如图，延长CO交⊙O于点F,连接 DF,则CF为⊙O的直径， ∴∠CDF=90°，∴.∠OCD+∠F=90° :AC⊥BD,∴.∠ACB+∠B=90 由圆周角定理，得∠B=∠F, ,∴.∠OCD=∠ACB. 6.解：(1)证明：如图，连接BD. :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，即BD⊥AC于 点D. 又D为AC的中点， ∴BD垂直平分AC,AB=BC AB=20A. ∴.BC=2OA. (2)如图，连接OD. DF∥AB, ∴.∠AOF=∠DFO. OA=OD,OH⊥AD. ∠AOF=∠DOF, .∠DOF=∠DFO, ..DF=OD=OF. ∴.△ODF为等边三角形， ∴.∠DOF=60°=∠AOF, .∠A=30. AB=BC. ∴.∠C=30. 在R1△BDC中，∠BDC=90°， ÷oC-记C CD6_3 ..BC=4. 7.解：(1)如图①，连接OC AB为⊙O的直径，CD⊥AB, 1 :CE-DE-7CD. D ,AE=2,OE=3, 图① ..OC=0A=AE+OE=5. ..CE=OC-0ET=4, ∴.CD=8. (2)证明：如图②，连接AP. :AB为⊙O的直径， ∠APB=90°， .BP⊥AP. OC∥PB, ∴.OC⊥AP,∠B=∠AOC, 图② .AC=PC. ∴.∠AOC=2∠D=∠B. CD⊥AB.CE=DE, ,.AB垂直平分CD, ∴.CF=DF, ∴.∠D=∠DCF, ∴.∠CFP=∠D+∠DCF=2∠D, ∴.∠CFP=∠B 8.解：(1)连接BD,如图. AB平分∠DAE, ∴.∠EAB=∠DAB ·AE=AD,AB=AB. ·△ABE≌△ABD(SAS), ∠AEB=∠ADB, :∠ADB=∠ACB, ∴，∠AEB=∠ACB. AC为⊙O的直径， ∴.∠ABC=90 .AB=BC. ∴∠ACB=45. .∠AEB=∠ACB=45° (2)证明：延长EA交⊙O于点F,连接BF,CF,如图. ,AC是⊙O的直径， .∠AFC=90°， 下册参考答案 13△ ..EF+CF=CE'. :∠AEB=45°.∠BFE=∠ACB=45°， ∴.BE=BF,∠EBF=90°， ∴△BFE为等腰直角三角形，∴.EF=2BE, △ABD≌△ABE,∴BD=BE .BD=BF,.BD=BF,..AF=CD. .AD=CF...CF=AD=AE. ∴.2BE十AE2=CE 24.4直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 1.B2.A 3.A【解析】，直线1与⊙O有2个公共点，.直线1与 ⊙O相交.⊙O的半径为5，∴点O到直线1的距离 小于5. 4.相切或相交5.相切 6.9【解析】当直线1与⊙O相切时，d=R,∴.关于x 的方程x2一6x十m=0有两个相等的实数根，∴.△=b 一4ac=36一4m=0,解得n=9. 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, ∴BC=√AB-AC=√-3=4. BC>3.5,即点B到圆心C的距离大于⊙C的半径， .点B在⊙C外， (2)过点C作CD⊥AB于点D,如图， :AC·BC=2AB·CD, .CD-AC-BC-3X4-2.4. AB 5 ∴当⊙C与直线AB相切时，r=2.4. 8.解：如图，过点O作OE⊥AB于 点E, 四边形ABCD是菱形，∠DAB =60°， .∠OAB=30°，∠AOB=90 义AB=16 0B=7AB=8,0A- AB=85 Sm=0A·0B=0E·AB, ∴OE= OA·0B_8E×8=45. AB 16 故以点O为圆心，半径为45时所作的圆才能与菱形 ABCD的四条边都相切 9.D【解析】，'⊙O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB =2cm,点A到圆心O的距离大于圆的半径.点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点 B在⊙O上∴.直线AB与⊙O的位置关系为相交或 相切. 14 九年级数学HK版 10.相交【解析】直线OP与 ⊙A相交，理由如下： 如图，过点A作AC⊥OP, 垂足为C 由题意，得AP=PB一AB 0 =12-4=8,OB=3, ∴.OP=√2+3=15 ∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB, △McOa0Pg篇品S高 ∴.AC= 24 53 <2.∴直线OP与⊙A相交， 11.解：不会.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB,垂足 为D 由题意可知，∠A=30°，∠B =45°， ∴.∠BCD=∠B=45°，∴.CD=BD: 设CD=xkm,则BD=xkm. 由∠A=30°，得AD=5CD=5xkm, ∴5x十x=2,解得x=-1, 即CD=3-1≈0.732(km).0.732km>0.7km, “修建的这条公路不会穿过公园。 12.解：①当⊙O与AC边有一个公共点时， 若⊙O与AC相切，过点O作OD⊥AC于点D,如图 ①.则∠AD0=90°，OD=1. △ABC为等边三角形，∠A=60°，OA= OD sin60 25 3 若⊙O与AC相交且只有一个公共点，则0≤OA<1. 于是当0≤OA<1或OA= 5时，00与AC边有 3 一个公共点 ②当⊙O与AC边有两个公共点时， 当点A恰为一个公共点时，设另一个公共点为E,连 接OE,如图②.则OA=AE=OE=1. 于是当1≤OA< 2时，©0与AC边有两个公 共点 ⑦当00与4C边无公共点时，5 <OA≤4. 综上，当⊙O与AC边有一个公共点时，0≤OA<1或 0A-25,当00与4C边有两个公共点时.1≤O4 23 3 :当⊙O与AC边无公共点时， <OA≤4.