第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列为等差数列，前项和记为．若，，则下列数值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由知，又，则，即可判断. 【详解】在等差数列中，由，知，， 由，所以，则， 又，所以，则， 所以等差数列前6项为正，第6项之后的项都为负， 所以数值最大的为. 故选：B. 2．已知数列满足，若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系证得该数列是等比数列并可求公比，再由等比数列性质与已知即可求得答案. 【详解】由题可知，，则，所以数列是以为公比的等比数列， 则，所以. 故选：D 【点睛】本题考查由递推关系求等比数列的公比，还考查了由等比数列性质求值，属于基础题. 3．等比数列中，则（    ）. A．或 B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】由等比数列的性质解得，结合得到，从而进行取舍. 【详解】已知等比数列中，设公比为， 则由等比中项可得，解得或， 由于，则，即， 故选：C. 4．若数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，分类讨论，当时，，当时，利用计算结果，验证后可得结论. 【详解】由题意，当时，， 当时，，满足上式，所以. 故选：B. 5．设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 6．如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造等比数列，利用等比数列前项和公式求和即可得解. 【详解】设正方形的面积为，则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的前项和，随着的无限增大，无限接近于0， 所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于2． 故选：B 7．在等比数列中，，，则（   ） A．160 B．70 C．210 D．130 【答案】D 【分析】利用等比数列的求和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为， ①当时，由题意可得 ，方程组无解； ②当时，由题意可得 ，解得， 所以. 故选：D 8．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质确定的值，再由椭圆与双曲线的标准方程确定离心率即可. 【详解】已知实数构成一个等比数列， 所以可得，即， 当时，的方程为为椭圆方程， 则，此时离心率， 当时，的方程为， 此时为双曲线方程，其中， 即，可得此时离心率为. 故选：C. 9．已知数列的通项公式，则取得最小值时等于（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据数列的通项公式，求出公差和首项，求出前项和，再利用二次函数求解即可. 【详解】由题意知，，，， ∵,，∴当时，取得最小值. 故选：C. 10．各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（    ）． A． B．30或 C．30 D．40 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由题意易知，则为等比数列，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意易知， 则为等比数列， 可得， ， 解得或（舍）， 故. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的性质，考查运算求解能力.属于较易题. 11．已知等比数列中，则（    ） A．10 B．14 C．18 D．54 【答案】D 【分析】首先分析题意，利用等比数列性质进行解答. 【详解】. 故选：D． 12．已知等比数列的前3项和为168，且，则（   ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求出的值，代入通项公式即可得解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，显然公比比等1， 由题意可得， 解得，所以， 故选：. 13．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式得到关于的方程，解后再求得其前三项，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，， 即， 即，则，解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A. 14．数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意推得为等比数列，根据等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】因为，且对任意正整数，，都有. 令，则，则. 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. 所以，则. 因为恒成立，所以. 所以实数的最小值为. 故选：A. 15．数列满足，对任意，都有，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用累加法求出，从而有，再根裂项相消法可求结果. 【详解】对任意，都有，即， 当时，则 ， 也符合上式，所以， 即， 得到． 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 【答案】 【分析】分析每年支出的费用为等差数列，计算前年的支出费用和总收入，得到前年的纯利润，令即可求解. 【详解】由题意知，每年支出的费用成首项为，公差为的等差数列， 前年的总支出为（万元），(且)， 所以前年的纯利润， 要开始盈利，则，即， 可化为，解得， 因为正整数，所以从第年开始盈利. 故答案为：. 17．在等差数列中，已知公差为，且，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求出的值，结合公差求出首项，即可求出通项公式，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】在等差数列中，，解得， 公差为，则，所以等差数列的通项公式为， 所以， 则， 故答案为：. 18．在等比数列中，若前项和，前项和，则它的前项和 . 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式求出，然后求出，最后求 【详解】由题意得， ， ， ， . 故答案为：. 19．已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】12 【分析】设，，进而根据等差数列的性质可得成等差数列，进而求解即可. 【详解】设，则， 因为也成等差数列，所以， 即，即， 所以. 故答案为：12. 20．已知数列中，，，则 ；设数列的前项的和为，则= . 【答案】 【解析】根据题中条件，得到，，则列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以，，则； 即数列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列， 则当为奇数时，； 当为偶数时，； 因此； 则 . 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合题中条件得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结果得到，证得是等比数列，再利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可得，， 则，， 所以数列是的等比数列， 所以数列的前n项和. 22．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法即可得解； （2）利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，得， 当时，， 两式相减得：，则， 检验：满足上式，故； （2）由（1）知， 则， 故， 两式相减可得： ， 故． 23．已知数列的通项公式为，求数列的前项和. 【答案】2156 【分析】数列拆分为等差数列和等比数列，然后利用等比数列和等差数列的前项和公式求解. 【详解】 . 24．已知数列的前项和，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据时，求出数列的通项公式，再将其代入解出即可. （2）由，用等比数列的前项和公式结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由， 当时，， 时，对上式也成立， ，又，即 ，所以. （2）由（1）可知，， 则， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列为等差数列，前项和记为．若，，则下列数值最大的是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，若，则 A． B． C． D． 3．等比数列中，则（    ）. A．或 B． C． D．不确定 4．若数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 5．设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 7．在等比数列中，，，则（   ） A．160 B．70 C．210 D．130 8．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 9．已知数列的通项公式，则取得最小值时等于（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 10．各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（    ）． A． B．30或 C．30 D．40 11．已知等比数列中，则（    ） A．10 B．14 C．18 D．54 12．已知等比数列的前3项和为168，且，则（   ） A．14 B．12 C．6 D．3 13．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 14．数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．数列满足，对任意，都有，则（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 17．在等差数列中，已知公差为，且，则 . 18．在等比数列中，若前项和，前项和，则它的前项和 . 19．已知等差数列的前项和为，若，则 . 20．已知数列中，，，则 ；设数列的前项的和为，则= . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 22．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 23． 已知数列的通项公式为，求数列的前项和. 24．已知数列的前项和，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $