第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据随机变量的分布列的概率之和为即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 2．某一批种子的发芽率为．从中随机选择4颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】由题意可知，恰有2颗种子发芽的概率为：. 故选：B. 3．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【答案】D 【分析】根据随机变量的定义可得答案. 【详解】由随机变量的定义知，由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量. 故选：D. 4．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果． 【详解】因为随机变量， 所以， 解得或（舍） ， 所以， 所以. 故选：D． 5．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可解得. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选：D． 6．下列结论正确的个数（    ） ①若随机变量，则 ②已知随机变量满足，若，则， ③有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望为2.5 ④对于二项式，存在，使展开式中有常数项 ⑤数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判断①正确；由期望的性质，可判定②不正确；由超几何分布的概率计算公式，可判定③正确，由二项展开式的通项公式，可判定④正确；由百分位数的计算方法，可判定⑤不正确. 【详解】对于①中，正态分布的均值为1，可得正态分布曲线关于对称， 所以，所以①正确； 对于②中，由，， 则，， 所以，所以②不正确； 对于③中，根据题意，男生人数服从超几何分布，所以，所以③正确； 对于④中，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即当时，展开式中存在常数项，所以④正确． 对于⑤中，数据从小到大排序得到，因为， 所以分位数是，所以⑤错误. 故选：B. 7．某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（    ）附：. A．26 B．52 C．456 D．13 【答案】A 【分析】由题意可得正态分布中的，根据正态分布的对称性结合题中数据求，即可求出答案． 【详解】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则， ， 所以可进入决赛的人数大约为人. 故选：A． 8．设随机变量的分布列如下表，则（    ） 1 2 3 4 P a A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，解可得 ，结合分布列计算，即可得答案. 【详解】根据题意，，解得，则， 结合分布列： . 故选：C 9．下表是随机变量的分布列，则（    ） ξ 0 1 2 0.5 0.3 A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据分布列的性质求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 故选：D. 10．若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（    ） A．事件A与B互斥不对立 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立 【答案】C 【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可 【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； ，所以，又，故成立， 故事件A与B相互独立，故C正确，D错误. 故选：C. 11．设随机变量的概率分布列为，则的值为（    ）. 1 2 3 A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的期望公式即可求解. 【详解】由随机变量的概率分布列得 ， 故选：D. 12．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以， 即图象的对称轴为， 又由，则， 则. 故选：D． 13．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ） 附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974． A．14 B．16 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，所以，，得到，进而计算可得答案. 【详解】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以， ，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为 故选：B 14．已知离散型随机变量的分布列如下表所示.若随机变量，则（   ） 0 1 2 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质即可得解. 【详解】因为随机变量， 由离散型随机变量的分布列可知， 则. 故选：B. 15．据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（    ） （参考数据：若，则，，．） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，，利用原则可求得的值. 【详解】由已知可得，，则，， 所以， . 因此，一般人群中智商优秀所占的比例约为. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则 . 【答案】9.9. 【分析】根据题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，再由二项分布的方差公式即可得出答案. 【详解】由题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，即 由二项分布的方差公式可得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求二项分布的方差，属于基础题. 17．设 ，求 . 【答案】 【分析】根据标准正态分布的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 故答案为： 18．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 10 25 30 20 10 由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则 .若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为 . 参考数据：若则，，. 【答案】 73； 1587 【分析】①直接通过公式计算均值即可；②结合正态分布的对称性及参考数据，先求出高于85.9的概率，再结合古典概型计算人数. 【详解】；，，成绩高于85.9的人数为. 故答案为：73；1587. 19．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则 ， . 【答案】 1 / 【分析】根据概率之和为1求出，再根据期望和方程公式即可得解. 【详解】解：因为，， 所以， 所以， . 故答案为：1； 20．已知为正常数，离散型随机变量的分布列如表： 0 1 若随机变量的数学期望，则 ， . 【答案】 【分析】根据由求解. 【详解】由题意知， 解得 所以. 故答案为：，. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．《全民健身计划》(以下简称《计划》)每五年一规划，就今后一个时期深化体育改革､发展群众体育﹑倡导全民健身新时尚，推进健康中国建设作出部署.《计划》要求，各地要加强对全民健身事业的组织领导，建立完善实施全民健身计划的组织领导协调机制，要把全民健身公共服务体系建设摆在重要位置，纳入当地国民经济和社会发展规划及基本公共服务发展规划，把相关重点工作纳入政府年度民生实事并加以推进和考核.某单位响应《计划》精神﹐为缓解员工的精神压力与身体压力､提升工作效率，在办公楼内设置了专业的员工健身房，要求员工每周在健身房锻炼分钟以上，并规定周锻炼时长不少于分钟为“优秀健康工作者”，给予奖励.该单位分为两个员工数相等的部门，现从两部门中各随机抽取名员工，统计得到员工在健身房的周锻炼时长(单位：分钟)，得到如下茎叶图. （1）计算这两组数的平均数﹐比较哪个部门的平均健身时间更长？ （2）用这名员工的周锻炼时长估计总体，将频率视为概率﹐从该单位员工中随机抽取人，记其中“优秀健康工作者”的人数为，求的数学期望及方差. 【答案】（1）(分钟)，(分钟)，部门的平均健身时间更长；（2），. 【分析】（1）直接利用平均数公式求解即可； （2）由茎叶图可得单位随机抽取人是“优秀健康工作者”的频率为，则其概率为，所以，然后利用二项分布的期望和方差公式求解即可 【详解】解：两部门名员工的周锻炼时长平均数分别为 (分钟)， (分钟)， 故部门的平均健身时间更长. 由茎叶图，知名员工中共有人为“优秀健康工作者”， 将频率视为概率，从单位随机抽取人是“优秀健康工作者”的概率为. 则 所以， 22．质检部门从甲乙两个不同的车间各随机抽取了100件某种产品，检测其某项质量指标，得到如下的频数分布表： 质量指标值 甲车间产品的频数 4 20 50 20 6 乙车间产品的频数 3 24 46 22 5 规定：产品的等级与该项质量指标值间的关系如下表： 质量指标值 等级 一般 良好 优秀 以下利用频率来估计概率： (1)试分别估计甲、乙两车间生产出来的一件产品为优秀的概率； (2)从甲乙两个车间各抽取一件产品，求一件为优秀且另外一件为良好的概率． 【答案】(1)0.26，0.27． (2) 【分析】（1）根据频数计算频率，进而由频率可得概率， （2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）由表格可得，甲车间生产出来的一件产品为优秀的频数为26，故频率为，甲车间生产出来的一件产品为优秀的概率为0.26，                      乙车间生产出来的一件产品为优秀的频数为27，故频率为，乙车间生产出来的一件产品为优秀的概率为0.27． （2）设A，B分别表示甲车间的一件产品为良好和优秀，C，D分别表示乙车间的一件产品为良好和优秀，从甲乙两个车间各抽取一件产品，一件为优秀且另外一件为良好为事件E， 则，且A与D相互独立，B与C相互独立，                     所以 ． 23．2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； (2)求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案； （2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则 ， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为. （2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10， ， ， ， ， ， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望. 24．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）根据随机变量不同的取值求出分布列即可解得. （2）根据第（1）问的分布列进行计算即可解得. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，所以 ，，，， 所以分布列为： （2）由（1）得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 2．某一批种子的发芽率为．从中随机选择4颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 3．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 4．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A． B． C． D． 6．下列结论正确的个数（    ） ①若随机变量，则 ②已知随机变量满足，若，则， ③有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望为2.5 ④对于二项式，存在，使展开式中有常数项 ⑤数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5 A．2 B．3 C．4 D．5 7．某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（    ）附：. A．26 B．52 C．456 D．13 8．设随机变量的分布列如下表，则（    ） 1 2 3 4 P a A． B． C． D． 9．下表是随机变量的分布列，则（    ） ξ 0 1 2 0.5 0.3 A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 10．若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（    ） A．事件A与B互斥不对立 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立 11．设随机变量的概率分布列为，则的值为（    ）. 1 2 3 A． B．9 C． D． 12．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 13．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ） 附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974． A．14 B．16 C．30 D．32 14．已知离散型随机变量的分布列如下表所示.若随机变量，则（   ） 0 1 2 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 15．据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（    ） （参考数据：若，则，，．） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则 . 17．设 ，求 . 18．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 10 25 30 20 10 由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则 .若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为 . 参考数据：若则，，. 19．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则 ， . 20．已知为正常数，离散型随机变量的分布列如表： 0 1 若随机变量的数学期望，则 ， . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．《全民健身计划》(以下简称《计划》)每五年一规划，就今后一个时期深化体育改革､发展群众体育﹑倡导全民健身新时尚，推进健康中国建设作出部署.《计划》要求，各地要加强对全民健身事业的组织领导，建立完善实施全民健身计划的组织领导协调机制，要把全民健身公共服务体系建设摆在重要位置，纳入当地国民经济和社会发展规划及基本公共服务发展规划，把相关重点工作纳入政府年度民生实事并加以推进和考核.某单位响应《计划》精神﹐为缓解员工的精神压力与身体压力､提升工作效率，在办公楼内设置了专业的员工健身房，要求员工每周在健身房锻炼分钟以上，并规定周锻炼时长不少于分钟为“优秀健康工作者”，给予奖励.该单位分为两个员工数相等的部门，现从两部门中各随机抽取名员工，统计得到员工在健身房的周锻炼时长(单位：分钟)，得到如下茎叶图. （1）计算这两组数的平均数﹐比较哪个部门的平均健身时间更长？ （2）用这名员工的周锻炼时长估计总体，将频率视为概率﹐从该单位员工中随机抽取人，记其中“优秀健康工作者”的人数为，求的数学期望及方差. 22．质检部门从甲乙两个不同的车间各随机抽取了100件某种产品，检测其某项质量指标，得到如下的频数分布表： 质量指标值 甲车间产品的频数 4 20 50 20 6 乙车间产品的频数 3 24 46 22 5 规定：产品的等级与该项质量指标值间的关系如下表： 质量指标值 等级 一般 良好 优秀 以下利用频率来估计概率： (1)试分别估计甲、乙两车间生产出来的一件产品为优秀的概率； (2)从甲乙两个车间各抽取一件产品，求一件为优秀且另外一件为良好的概率．   23．2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； (2)求离散型随机变量的分布列与期望. 24．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $