第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 1 考点三 椭圆的顶点及离心率 2 考点四 椭圆与直线 2 考点五 双曲线的定义及标准方程 3 考点六 双曲线的范围及对称性 3 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 3 考点八 双曲线与直线 3 考点九 抛物线的概念及标准方程 4 考点十 抛物线的范围及对称性 4 考点十一 抛物线的顶点及离心率 5 考点十二 抛物线与直线 5 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点二 椭圆的范围及对称性 3．点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．直线与椭圆的相交弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 考点三 椭圆的顶点及离心率 5．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 考点四 椭圆与直线 7．已知点，若点在直线上，且满足，则满足上述要求的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 8．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点五 双曲线的定义及标准方程 9．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 10．以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（   ） A． B． C． D． 考点六 双曲线的范围及对称性 11．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 12．我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 考点八 双曲线与直线 15．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 16．双曲线与直线交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点九 抛物线的概念及标准方程 17．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点到准线的距离和点的横坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 18．顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点十 抛物线的范围及对称性 19．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 20．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 22．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 考点十二 抛物线与直线 23．斜率为的直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两点，则等于（   ） A． B． C． D． 24．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（    ） A．16 B． C． D．8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 1 考点三 椭圆的顶点及离心率 2 考点四 椭圆与直线 3 考点五 双曲线的定义及标准方程 5 考点六 双曲线的范围及对称性 6 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 7 考点八 双曲线与直线 7 考点九 抛物线的概念及标准方程 8 考点十 抛物线的范围及对称性 10 考点十一 抛物线的顶点及离心率 11 考点十二 抛物线与直线 12 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出线段的长度，使其与距离之和进行比较，然后求解即可. 【详解】∵点到两定点和的距离之和为， ，， ， 的轨迹是以，为端点的线段. 故选：B. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行判断即可. 【详解】由题可知：方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以. 故选：B 考点二 椭圆的范围及对称性 3．点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点与椭圆位置关系求解. 【详解】因为点在椭圆的内部， 所以，解得， 故选：A． 4．直线与椭圆的相交弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及直线的对称性求解即可. 【详解】因为直线与椭圆均关于坐标原点对称， 所以它们相交弦的两个端点也关于坐标原点对称，故相交弦的中点坐标为原点. 故选：C. 考点三 椭圆的顶点及离心率 5．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，性质，结合中点坐标公式，两点间距离公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，，的周长为，所以， 因为，所以. 在椭圆中，，因为A是椭圆与y轴正半轴的交点，则设， 则，所以，解得. 因为中点，又线段的中点在直线上，所以，即， 则，解得. 故选：B.    6．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为， 所以，则，，解得. 因为，所以，解得. 故选：C. 考点四 椭圆与直线 7．已知点，若点在直线上，且满足，则满足上述要求的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义得到满足的点的轨迹，结合点在直线上，联立直线与椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，点满足， 所以点的轨迹是一个以和为焦点的椭圆， 其中，即椭圆方程为， 又点在直线上， 联立直线与椭圆方程，消除得到， ， 所以直线与椭圆有两个交点，即满足条件的点有两个. 故选：C. 8．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设弦与椭圆的交点分别为， 因为弦的中点坐标为，所以. 联立，化简整理得，. 所以，解得，所以， 经检验，此时，则椭圆的短轴长为. 故选：C. 考点五 双曲线的定义及标准方程 9．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 【答案】D 【分析】根据题意求出值，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线，则，解得， 因为，，解得（舍）或， 故选：. 10．以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出双曲线的焦点在轴上，结合渐近线方程联立方程组求出即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴上，焦点坐标为，则， 双曲线渐近线方程，则， 联立方程组，解得 所以方程为， 故选：. 考点六 双曲线的范围及对称性 11．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】由双曲线的方程可判断焦点的位置及的值，再根据双曲线的性质可得结果. 【详解】由双曲线方程，可知其焦点在轴上，， 根据双曲线的性质有：，. 故选：C 12．我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合圆锥曲线的性质分析即可求解. 【详解】对A：的图像是以为圆心，半径为2的圆， 圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对B：表示一个椭圆，其中心在原点，长轴沿x轴，短轴沿y轴， 椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对C：表示一个双曲线，其中心在原点，实轴沿x轴，虚轴沿y轴， 双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对D：表示一个抛物线，焦点在x轴，开口向右，抛物线只关于y轴对称， 不关于原点和x轴对称，所以不是“优美曲线”. 故选：D. 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定抛物线焦点坐标，从而确定抛物线方程. 【详解】由题意知抛物线的焦点为双曲线的顶点， 即为或，即或，解得或， 当时，抛物线的方程为， 当时，抛物线的方程为， 故选：D. 14．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 考点八 双曲线与直线 15．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先表示出抛物线准线方程和双曲线渐近线方程，再求出准线与渐近线的交点，最后由三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知抛物线的准线方程为， 双曲线中，， 所以渐近线方程为， 联立方程，解得， 所以准线与渐近线的交点为， 则抛物线准线与双曲线两条渐近线所围成三角形的底为， 高为抛物线准线到原点的距离为， 因为三角形的面积等于， 所以，即， 因为，所以， 故选：D.    16．双曲线与直线交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将双曲线与直线方程联立方程组，结合方程组解的个数，即可判断交点的个数. 【详解】由题意，得，消元得， 即， 因为，所以， 即方程组有唯一的解， 因此双曲线与直线有且只有一个交点. 故选：B. 考点九 抛物线的概念及标准方程 17．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点到准线的距离和点的横坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求解抛物线的准线方程并根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线的定义知，点到准线的距离等于点到焦点的距离为， 设点的横坐标为，准线方程为， 则，所以， 所以点到准线的距离和点的横坐标分别为和. 故选：B. 18．顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的焦点得到抛物线的开口方向与标准方程，从而得解. 【详解】因为抛物线顶点在原点，焦点为，焦点在轴负半轴上， 所以抛物线开口向下，其标准方程为，焦点坐标为， 因为焦点，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C. 考点十 抛物线的范围及对称性 19．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 20．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】B 【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值. 【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0， 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2， 所以当x=0时，z最小，最小值为3. 故选：B. 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】抛物线为， 所以可知抛物线图像开口向左，且， 所以，即准线方程为. 故选：D. 22．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式方程即可求解. 【详解】因为是抛物线的顶点式方程， 所以顶点坐标为. 故选：A. 考点十二 抛物线与直线 23．斜率为的直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点，准线方程，由题意可得直线的方程，代入抛物线方程，根据方程的根与系数的关系，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 直线的方程为，代入抛物线方程可得， ， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 24．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（    ） A．16 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标和准线，再根据直线斜率得到坐标，即可得到点坐标，即可求解. 【详解】由题意得，抛物线，则，解得， 所以焦点，准线， 则设，因为直线斜率为，所以， 解得，即， 因为，所以设， 代入抛物线得，即， 所以. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $