第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平面向量减法法则判断即可. 【详解】由，可得， 所以四边形一定是平行四边形. 故选：A 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的减法运算,即可求解 【详解】 故选：B 3．已知向量，，若，则（ ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量求解即得. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：B. 4．已知向量，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】在上的投影向量为 , 故选：A 5．化简向量等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加减法运算可直接求解. 【详解】. 故选：D. 6．下列等式中，正确的个数是（　　） ① ；②；③ ；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律逐个分析即可. 【详解】符合加法运算律，①正确， ，②错误， 符合零向量加法运算律，③正确， 符合相反向量运算律，④正确， 符合相反向量运算律，⑤正确. 所以正确的有个. 故选：B. 7．在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量. 【详解】由题设， 向量在向量上的投影向量为. 故选：B 8．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 9．已知非零单位向量，的夹角为，若与垂直，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量垂直和向量内积的定义，即可代入求解. 【详解】因为非零单位向量，的夹角为，且与垂直， 即， 所以 ， 所以. 故选：D. 10．设向量，，则（   ） A．是的必要条件 B．是的必要条件 C．是的充分条件 D．是的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出当时，的值，再由向量平行的坐标表示求出当时，的值，最后由充分条件和必要条件进行分析即可. 【详解】已知向量，， 若，则， 即，解得或， 所以是的充分条件，不是的必要条件，故A错误， 且是的充分条件，故C正确， 若，则，即，解得， 所以不是的必要条件， 不是的充分条件，故B、D错误. 故选：C. 11．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用向量相等与加法的几何意义判断C，从而得解. 【详解】A：当，且时，，，故A不成立； B：当，且时，，故B不成立； C：因为与方向相反，则与方向相同， 所以，故C成立； D：当，且时，，故D不成立. 故选：C. 12．在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量内积的运算律计算即得. 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为P是上一点，即三点共线， 故，即，所以， 因为， 所以. 故选：C． 13．若向量，，且，则实数x的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为向量与向量平行， 所以， 解得， 故选：D. 14．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D．19 【答案】B 【分析】根据向量内积的运算，代数求解即可. 【详解】由题干可知， ， 所以， 故选：B. 15．已知向量，，若，则=（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标表示求出即可. 【详解】由向量，，， 可得， 解得， 即， 所以， 那么. 故选:A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16． ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算性质化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 17．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 .    【答案】/-0.5 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得 的坐标，再由求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：    设，则，，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故答案为： 18．正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有 个，与的模相等且夹角为的向量共有 个． 【答案】 【分析】直接写出符合条件的向量即可得个数. 【详解】与相等的向量有，共个， 与的模相等且夹角为的向量有，共个. 故答案为：；. 19．已知是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及内积运算可求. 【详解】    因为等边三角形边长为，设， 则，，， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 20．已知为坐标原点，点，则 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算得到点坐标，然后利用数量积求夹角即可. 【详解】设点，所以，，，， 因为，所以，解得，， 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．任作一非零向量,然后作出. 【答案】见解析 【分析】根据数乘的定义作图． 【详解】解:如图.    【点睛】本题考查向量的数乘运算，仍然是一向量，且，若，则与同向，若，则，若，则与反向． 22．判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量): (1); (2); (3). 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)不共线. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件计算，再利用共向量定理直接判断作答. 【详解】（1）因，则有，所以共线. （2）因，，则，所以共线. （3）假设，则，即， 因不共线，于是得，此方程组无解，因此不存在实数，使得， 所以不共线. 23．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.    (1)写出与向量共线的向量； (2)用表示； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用共线向量的定义，结合平行四边形的性质即可得解； （2）利用平面向量线性运算的几何表示即可得解； （3）利用平行线分线段成比例得到，再利用平面向量的线性运算与基本定理即可得解. 【详解】（1）因为在平行四边形ABCD中，， 所以与向量共线的向量有. （2）因为在平行四边形ABCD中，是的中点， 又E是线段OD的中点，所以， 所以； （3）因为在平行四边形ABCD中，， 所以，则， 所以， 又，则， 故. 24．已知，，并且向量与的夹角是，求k的值． 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式、向量模的运算公式、向量夹角的运算公式即可求解. 【详解】， 又 ， 解得：， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（ ） A．5 B．2 C．3 D．4 4．已知向量，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．化简向量等于（　　） A． B． C． D． 6．下列等式中，正确的个数是（　　） ① ；②；③ ；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 7．在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．已知非零单位向量，的夹角为，若与垂直，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 10．设向量，，则（   ） A．是的必要条件 B．是的必要条件 C．是的充分条件 D．是的充分条件 11．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 12．在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 13．若向量，，且，则实数x的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 14．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D．19 15．已知向量，，若，则=（    ） A．5 B． C．6 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16． ． 17．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 .    18．正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有 个，与的模相等且夹角为的向量共有 个． 19．已知是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则 ． 20．已知为坐标原点，点，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．任作一非零向量,然后作出. 22．判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量): (1); (2); (3). 23．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.    (1)写出与向量共线的向量； (2)用表示； (3)若，求的值. 24．已知，，并且向量与的夹角是，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $