第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A 2．下列说法正确的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面 B．和同一条直线异面的两直线一定共面 C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行 D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交 【答案】C 【分析】ABD均可举出反例，C选项，先假设AC∥BD，推导出矛盾，从而证明出原命题成立. 【详解】两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误； 如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误； 如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确； 如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误． 　　 故选：C 3．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（    ） ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得， ，故，所以，，，四点共面； 所以①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形； EF与GH必相交，设交点为M. 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点. 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上. 所以④正确，③错误； 故选：B. 4．能使两个不同平面与平行的条件是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定与性质逐项判断即可. 【详解】内有无数条直线与平行，则平面与相交或平行，故A错误， ，垂直于同一个平面，则平面与相交或平行，故B错误， ，平行于同一条直线，则平面与相交或平行，故C错误， ，垂直于同一条直线，则平面与平行，故D正确， 故选：D. 5．平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（    ） ①直线；②直线；③直线；④直线. A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】若，当平面平面时，有，可判断①；若，会超过，故存在，可判断②；，始终为锐角可判断③④． 【详解】如图．      对于①，若，当平面平面时，平面平面， 平面，所以平面，平面，则，故①正确； 对于②，若，则在翻折过程中，会超过，故存在， ∵，故直线与直线有可能垂直，故②正确； 对于③，在中，∵，∴为锐角，即为锐角，故直线与直线不可能垂直，故③错误； 对于④，∵，∴中，，∴始终为锐角，故直线不可能与直线垂直，故④错误． 故选：A. 6．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确. 【详解】A选项，缺条件，结论不成立； B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立； C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确 D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立. 故选：C 7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是 （    ） A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l//m，则 m⊥α C．若l//α，m⊂α，则l//m D．若l//α，m//α，则l//m 【答案】B 【分析】根据线面关系判断线线关系和线面关系. 【详解】A选项中，若l⊥m，m⊂α，l有可能在平面α内，故不一定l⊥α，故错误. B选项中，若l⊥α，则l是平面α的垂线，而l//m，则m也是平面α的垂线，则 m⊥α，故正确. C选项中，若l//α，m⊂α，则l与m有可能异面，则不一定l//m，故错误. D选项中，若l//α，m//α，则l与m有可能相交，有可能是异面，不一定平行，故错误. 故选：B. 8．设表示两条不同的直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若， ，则 B．若， ，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用线面与面面的位置关系，结合举反例逐个分析即可得解. 【详解】对于A，若， ，则可能相交，异面或平行，故A错误， 对于B，根据线面垂直的性质可得，若， ，则，故B正确， 对于C，若，，则，可能平行或相交，故C错误， 对于D，若，，则，可能，也可能在内，故D错误， 故选：B. 9．已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】由平面与直线的位置关系，直线与直线的位置关系，面面平行的性质及判断逐项判断即可得解. 【详解】选项，若，则或，故错误. 选项，若，则或直线异面，故错误. 选项，若，则，故正确. 选项，若，只有相交，才有，故错误. 故选：. 10．如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得为与平面所成角，再利用勾股定理即可得解. 【详解】取中点，连接，如图， 在正三棱柱中，是正三角形，， 底面底面，， 又平面，平面， 为与平面所成角， 平面平面，， 由题意，， 在中，. 故选：A. 11．如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点，且，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的概念结合勾股定理即可求解. 【详解】取棱的中点G，连接． 因为分别为棱的中点，所以，， 又，，所以， 所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即， 所以直线与直线所成的角为． 故选：D. 12．已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合正六边形的性质，线面平行和垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】因为六棱锥的底面是正六边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故选项A正确，不符合题意； 因为在正六边形中，， 又平面，平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面，故选项B正确，不符合题意； 因为在正六边形中，， 又平面，平面， 所以平面，故选项C正确，不符合题意； 假设平面，则垂直平面内的所有直线， 所以，又与的夹角为，不垂直， 故与平面不垂直，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 13．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（ ） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【答案】D 【分析】根据直线、平面平行的性质分析求解. 【详解】如图，这两个平面有可能平行或相交. 故选：D. 14．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（ ） ①，则            ②，则 ③，则            ④，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线，线面，面面位置关系的判定定理及性质定理，即可判断. 【详解】若，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，则，故①正确； 若，则，m与n相交或异面都有可能，故②错误； 若，又是两个不同的平面，则，故③正确； 若，由线面垂直和线面平行的性质可得，故④正确. 故选：C. 15．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，在四棱锥中连接，构造直角三角形，将与平面所成的角转化到直角三角形中即可求解. 【详解】四棱锥中，点为侧棱的中点，如图所示，连接， 四棱锥中，底面是边长为的正方形，所以； 又平面,平面，平面，所以，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 则与平面所成角为，三角形为直角三角形，且， 又，，点为的中点，所以， 在中，，，，所以， 即则与平面所成角的正切值为. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在正方体中，与面平行的面是 ． 【答案】面 【分析】利用正方体的性质即可求解. 【详解】在正方体中， 根据正方体的性质，对面互相平行 所以与面平行的面是 故答案为：面 17．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 18．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝，且BD⊥CD，若点A在平面BCD内的投影恰好为点D，则此三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】11π 【详解】解：∵点A在平面BCD内的投影恰好为点D，∴AD⊥平面BCD， 故AD＝，且知AD，BD，CD两两垂直， 故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别为，，的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球． 易得外接球半径为，故外接球表面积为11π． 故答案为：11π 19．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】由线面平行的判定即可求解. 【详解】 因为D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，所以, 又平面ABC, 平面ABC,所以平面ABC, 平面ABC, 因为平面DEF, ，所以平面DEF平行平面ABC. 故答案为：平行. 20．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为，则二面角的平面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据二面角的概念作出二面角解三角形即可求解. 【详解】过点作的垂线，设垂足为，即，连接，如图所示， 因为，，所以，， 所以为直角三角形， 由，，平面，所以平面， 因为平面，所以，由， 所以就是锐二面角的平面角， 在中，，， 所以，因此， 即二面角的平面角的大小是. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．    (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二面角的定义求即可； （2）根据线面角的定义构造垂直解三角形即可. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以, 又因为平面，平面， 所以， 平面，所以平面， 又平面，所以， 易知二面角即二面角， 因为，，所以即其平面角， 由题意易知， 故二面角的大小为； （2）如图所示，过作交于点，连接， 根据已知平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 由直线与平面的夹角的定义可知直线与平面所成角为， 矩形中，易知，又易知， 所以， 所以直线与平面所成角大小为.    22．如图（1），将梯形的腰放在平面内，不在平面内，写出所在直线与平面的位置关系；如图（2），将梯形的底边放在平面内，不在平面内，写出所在直线与平面的位置关系. 【答案】（1）与相交；（2）. 【解析】（1）先由题意，得到与不平行，记与交点为，根据点线面位置关系，即可得出结果； （2）根据线面平行的判定定理，即可判断出结果. 【详解】（1）由题意，梯形中，两腰与不平行， 因此与必有交点，记作；则且， 因为，所以，又不在平面内， 所以与相交； （2）由题意，， 因为，， 因此. 【点睛】本题主要考查判断直线与平面的位置关系，熟记点线面位置关系，以及线面平行的判定定理即可，属于常考题型. 23． 已知正方体中，E，F分别为棱和棱的中点，求异面直线AC和EF所成的角． 【答案】 【分析】首先找到异面直线AC和EF所成的角，再在三角形中求解即可. 【详解】连接，如图所示． E，F分别为棱和棱的中点，可得， 根据正方体的结构特征，， 所以为平行四边形，可得 则即为异面直线AC和EF所成的角（或其补角）． ∵， ∴为等边三角形，故，即异面直线AC和EF所成的角为． 24．如图 1，在直角梯形 中，，，，．将 沿 折起，使平面平面，得到几何体 ，如图 2 所示． (1)求证：平面； (2)求几何体 的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）解法一：首先由勾股定理证明，结合平面平面，由面面垂直证明线面垂直； 解法二：证得，由面面垂直证明线面垂直； （2）计算，进而计算三棱锥 的体积. 【详解】（1）解法一： 在图 1 中，由题意知，， 所以 ， 所以 ． 取 中点 ，连接 ， 则 ， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以 ， 又 ，，平面 所以 平面. 解法二： 在图 1 中，由题意，得 ， 所以 ， 所以 ． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知， 为三棱锥 的高，且 ，， 所以三棱锥 的体积为：， 因此几何体 的体积为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列说法正确的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面 B．和同一条直线异面的两直线一定共面 C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行 D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交 3．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（    ） ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．能使两个不同平面与平行的条件是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线 5．平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（    ） ①直线；②直线；③直线；④直线. A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 6．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是 （    ） A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l//m，则 m⊥α C．若l//α，m⊂α，则l//m D．若l//α，m//α，则l//m 8．设表示两条不同的直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若， ，则 B．若， ，则 C．若，，则 D．若，，则 9．已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 10．如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点，且，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 12．已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 13．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（ ） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 14．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（ ） ①，则            ②，则 ③，则            ④，则 A． B． C． D． 15．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在正方体中，与面平行的面是 ． 17．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 18．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝，且BD⊥CD，若点A在平面BCD内的投影恰好为点D，则此三棱锥外接球的表面积为 . 19．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 . 20．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为，则二面角的平面角的大小为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．    (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小． 22．如图（1），将梯形的腰放在平面内，不在平面内，写出所在直线与平面的位置关系；如图（2），将梯形的底边放在平面内，不在平面内，写出所在直线与平面的位置关系. 23． 已知正方体中，E，F分别为棱和棱的中点，求异面直线AC和EF所成的角． 24．如图 1，在直角梯形 中，，，，．将 沿 折起，使平面平面，得到几何体 ，如图 2 所示． (1)求证：平面； (2)求几何体 的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $