空间向量与立体几何单元测试A卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

单元测试A卷 空间向量与立体几何 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 2．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ） ①∥平面；    ②平面平面； ③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 10．已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ） A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．． 13．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是 . 14．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 16．（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，． （Ⅰ）求面与面所成二面角的大小； （Ⅱ）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学单元测试A卷 空间向量与立体几何 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若，，共面，则存在实数使得，即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确； 选项B，因为，所以，，共面，所以B错误； 选项C，因为，所以，，共面，所以C错误； 选项D，因为，所以，，共面，所以D错误. 故选：A. 3．如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形法则结合重心的性质得出，再由求解. 【详解】取的中点为，连接，由重心的性质可知，，且三点共线. 因为 所以 ． 故选：B．    4．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出，再由模长的坐标运算求结果. 【详解】因为，所以，解得，所以， 又，所以，解得，所以， 故，则. 故选：C 5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而得出，再根据向量的数量积运算，即可求出的值. 【详解】解：，，， ，，， 由图可知，， ， 所以的值为. 故选：B. 6．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 7．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】由题意知，， 取AC的中点O，则， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点C到直线的距离为：. 故选：D 8．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ） ①∥平面；    ②平面平面； ③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为， ， 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为， ，因为，所以，而平面， 因此∥平面，故①对； 设平面的法向量为，，， 所以有， 同理可求出平面的法向量， 因为，所以，因此平面平面，故②正确； 因为，， 所以， 因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确； 设直线与平面所成的角为， 因为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成的角不是，因此④错误， 一共有个结论正确， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 10．已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值. 【详解】依题意，， ，， ，故A正确； ，故B错误； ， 则，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 11．如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 【答案】ABD 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确；    对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．． 【答案】 【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果. 【详解】，， ， 三点共线，存在实数，使得，即， ，解得：． 故答案为：. 13．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是 . 【答案】 【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可 【详解】由题，，故在上的投影向量的模 故答案为：. 14．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 16．（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 【答案】（1）①，；②；（2）①；② 【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解， （2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解， 【详解】（1）①向量， ，， ②，即 ，， （2）因为向量， ， ①， ，解得， ②， ，解得. 17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，． （Ⅰ）求面与面所成二面角的大小； （Ⅱ）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 【答案】（Ⅰ）45°．（Ⅱ）90°．（Ⅲ）． 【分析】(Ⅰ)由题意建立空间直角坐标系，然后利用两个半平面的法向量即可求得二面角的大小； (Ⅱ)分别求得向量，的坐标表示，然后求解其夹角即可； (Ⅲ)由题意结合空间向量的结论，利用点面距离公式即可求得点D到平面SBC的距离． 【详解】解：（Ⅰ）∵底面，是正方形， ∴，，， 又， ∴平面，平面， 又在中，． 所以，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，． 设平面的法向量为，则，， ∵，，∴， ∴可取 ∵平面， ∴平面的法向量． ∴， ∴面与面所成二面角的大小为45°． （Ⅱ）∵，∴，， 又∵， ∴， ∴异面直线与所成角的大小为90°． （Ⅲ）由（Ⅰ）平面的法向量为， ∵， ∴，即点到平面的距离为. 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标； ②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $