第4讲二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026年广东省学考数学备考复习

第4讲　二次函数与 一元二次方程、不等式 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式． (2)一元二次不等式的一般形式是_______________或_______________．(其中a，b，c均为常数，a≠0) 一个 ax2＋bx＋c＞0 2 ax2＋bx＋c＜0 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 _______________ _______________ _____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __________ _____ _____ {x|x＜x1，或x＞x2} R {x|x1＜x＜x2} ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)不等式4－x2≤0的解集为(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|x≤－2或x≥2} C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≤－4或x≥4} 解析：不等式4－x2≤0即(x－2)(x＋2)≥0，解得x≤－2或x≥2，故不等式的解集为{x|x≤－2或x≥2}． √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)解一元二次不等式的一般步骤如下： ①化成标准式ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(a>0). ②计算对应方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式． ③求出对应方程ax2＋bx＋c＝0的解． ④画出相应二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象． ⑤由图象写出不等式的解集． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0； ②关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ≥0)，无根(Δ<0)； ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　一元二次不等式恒成立问题 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5] √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 故选A. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.若对于任意x∈R，不等式恒成立，则m的取值范围为____________________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)含参数的不等式的恒成立问题． 通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题．在f(x)的最大值与最小值存在的条件下，a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点三　一元二次不等式的应用 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解：y＝[(1＋0.75x)×12－(1＋x)×10]×(1＋0.6x)×10 000＝ －6 000x2＋2 000x＋20 000， 即y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1). ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．不等式(x2－4x－5)(x2＋1)>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<5} B．{x|x<－1，或x>5} C．{x|0<x<5} D．{x|－1<x<0} 解析：因为x2＋1≥1，所以不等式等价于x2－4x－5>0，即(x＋1)(x－5)>0，解得x>5或x<－1，所以原不等式的解集是{x|x<－1，或x>5}．故选B. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．不等式－x2＋5x＞6的解集是________________． 解析：不等式－x2＋5x＞6变形为x2－5x＋6＜0，因式分解为(x－2)(x－3)＜0，解得2＜x＜3.所以不等式－x2＋5x＞6的解集为{x|2＜x＜3}． {x|2＜x＜3} ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，则a的值是________． 3 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．已知不等式x2＋x＋k＞0恒成立，则k的取值范围为____________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．已知y＝ax2＋x－a，a∈R. (1)若a＝1，解不等式y≥1； 解：当a＝1时，不等式y≥1， 即x2＋x－1≥1， 即(x＋2)(x－1)≥0，解得x≤－2或x≥1，所以不等式的解集为{x|x≤－2，或x≥1}． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若不等式y>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ － eq \f(b,2a) 没有 实数根 {x|x≠－ eq \f(b,2a) } ∅ ∅ 1．分式不等式的解法 (1) eq \f(f（x）,g（x）) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2) eq \f(f（x）,g（x）) ≥0(≤0)⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.)) 2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.)) (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.)) 考点一　一元二次不等式的解法 (1)(2022·广东学考)不等式(x－1)·(2x－1)>0的解集是(　　) A. {x|1<x<2} B. {x|x<1或x>2} C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<1)))) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)或x>1)))) 解析：解一元二次方程(x－1)(2x－1)＝0得，两根为1和 eq \f(1,2) ，故原不等式的解集为{x|x< eq \f(1,2) 或x>1}．故选D. (2)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－ eq \f(1,2) ＜x＜2}，则下列结论不正确的是(　　) A．b＞0 B．c＞0 C．a＋b＋c＞0 D．a－b＋c＞0 解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜2)))) ，故对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0.易知2和－ eq \f(1,2) 是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，则有 eq \f(c,a) ＝－1＜0，－ eq \f(b,a) ＝ eq \f(3,2) ＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故A，B正确；由二次函数的图象可知当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故C正确，D不正确．故选D. (4)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－3<x< eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) <x<3 C．－1<x<3 D. eq \f(1,2) <x<3 解析：因为2x2－5x－3<0，所以－ eq \f(1,2) <x<3，观察四个选项发现－ eq \f(1,2) <x<3对应集合是－1<x<3对应集合的真子集，故－1<x<3是不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件．故选C. (－∞，1－ eq \r(2) ) 解析：当m＝0时，－2x－2＜0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝4－4m（m－2）＜0，)) 解得m＜1－ eq \r(2) ，故m的取值范围是(－∞，1－ eq \r(2) ). 解：上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. 所以y－20 000>0， 即－6 000x2＋2 000x>0， 所以0<x< eq \f(1,3) ， 即x的范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) . 1．不等式3x2－7x＋2<0的解集为(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<2)))) 　　　　　 B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)，或x>2)))) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))) D．{x|x>2} 解析：因为3x2－7x＋2＝(x－2)(3x－1)<0，所以 eq \f(1,3) <x<2. 解析：因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－7<x<－1)) ， 所以方程ax2＋8ax＋21＝0的两个实数根为－7和－1，所以(－7)×(－1)＝ eq \f(21,a) ，所以a＝3. ( eq \f(1,4) ，＋∞) 解析：由题意知Δ＜0，即1－4k＜0，得k＞ eq \f(1,4) ， 即k的取值范围为( eq \f(1,4) ，＋∞). 解：由题意可得(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切实数x恒成立， 当a＝－2时，显然不满足条件， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,16－4（a＋2）（a－1）<0.)) 解得a>2，所以实数a的取值范围为(2，＋∞). $