精品解析：江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

南京师大附中2024-2025学年度第1学期 高二年级期末考试数学试卷 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 2. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（　　） A 2 B. 4 C. D. 0 4. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 8. 已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 10. 已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. 中不可能出现连续五项构成等比数列 D. 当时，，则的最大值为 11. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数在上单调递减 B. 对于任意实数恒成立 C. 0是函数的一个极大值点 D. 函数有无数个极大值点 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在无穷等差数列中，若，且，则___________． 13. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为___________ 14. 若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在上的值域； 16. 已知圆，圆圆心在直线上，且过点． （1）求圆标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 17. 已知数列满足：，其前项和为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 18. 已知为实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 19. 已知椭圆，点，，为坐标原点，且． （1）求椭圆方程； （2）设是椭圆上两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2024-2025学年度第1学期 高二年级期末考试数学试卷 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行公式计算求参. 【详解】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 2. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 3. 已知函数，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入运算得解. 【详解】由，则. 故选：B. 4. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 7. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D. 8. 已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. 中不可能出现连续五项构成等比数列 D. 当时，，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据“反比数列”的定义，结合数列的前n项和、前n项乘积的性质，对每个选项逐一进行分析求解. 【详解】对于A，，而，故，故A正确； 对于B， ，所以，故B正确； 对于C，如为反比数列且为等比数列，故C错误； 对于D，因为，所以，故，则， 当时，此时，此时， 当时，此时，此时， 当时，此时，此时， 综上，，故D错误. 故选：AB. 11. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数在上单调递减 B. 对于任意实数恒成立 C. 0是函数的一个极大值点 D. 函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【解析】 分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即， 如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在无穷等差数列中，若，且，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，进而求出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案：0. 13. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，当时，，可得必过第一、第三、四象限，问题转化为只需不经过第二象限，即当时，恒成立，分和讨论求解. 【详解】因为，，当时，，故必过第一、第三、四象限， 所以只需不经过第二象限， 当时，，由，可得恒成立， 当时，上式成立， 当时，取，不合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在上的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【小问1详解】 由， 因此在处的切线是. 【小问2详解】 由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为. 17. 已知数列满足：，其前项和为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【小问1详解】 由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； 【小问2详解】 对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 18. 已知为实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）函数在上单调递减，在单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【小问1详解】 由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. 【小问3详解】 由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 19. 已知椭圆，点，，为坐标原点，且． （1）求椭圆方程； （2）设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，1 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解； （2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解； （ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可. 【小问1详解】 由题， 解得，故椭圆方程：； 【小问2详解】 （i）， 当的斜率不存在时，设， 与椭圆方程联立得，， ， 所以，则， 当的斜率存在时，设， 与椭圆方程联立得， 当时，方程两根即为， 由韦达定理，， ，得， ， 点到的距离， 因此， 综上，； （ii）由题直线 由解得， 所以， 所以， 同理 由解得， 故解得， 可得， 故 利用， ， 又因为，所以，所以， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $