18.2分式的乘法与除法讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

18.2分式的乘法与除法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】分式乘除的混合运算 3 【题型2】分式的乘方 4 【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 6 【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 8 【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 11 【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 12 【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 14 【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．  ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．  ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1.（2025•河南一模）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2=a6 B．x5+x3=x8 C．（2xy2）2=2x2y4 D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、分式的乘除法法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项不符合题意； B、x5与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、（2xy2）2=4x2y4，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2.（2024秋•大祥区期末）计算（-）2•的结果是（　　） A． B．-m C． D．m 【答案】C 【分析】先算分式的乘方，再算分式的乘法即可． 【解答】解：（-）2• = =， 故选：C． 【题型1】分式乘除的混合运算 【典型例题】计算的值为（　　） A. B. C.a2     D.无法确定 【答案】A 【解析】解：原式==．故选A． 【举一反三1】计算（﹣a）2÷的结果为（　　） A.﹣1 B.1 C.﹣a2 D.a2 【答案】B 【解析】解：原式＝a2÷a• ＝a• ＝1． 故选：B． 【举一反三2】计算：﹣＝　           　． 【答案】﹣m3． 【解析】解：原式＝﹣••＝﹣m3， 故答案为：﹣m3． 【举一反三3】计算： （1）＝　               　； （2）＝　              　； （3）＝　                　； （4）＝　                　． 【答案】解：（1）原式＝﹣＝﹣， （2）原式＝x（y﹣x）＝﹣x2y， （3）原式＝＝， （4）原式＝＝， 【举一反三4】计算： （1）•（﹣）÷； （2）÷（x+3）•； （3）÷•． 【答案】解：（1）原式＝•（﹣）• ＝•＝． （2）原式＝••＝． （3）原式＝•＝． 【题型2】分式的乘方 【典型例题】下列各式（其中n为整数）中正确的有（　　） ，，，． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】解：（﹣）n＝（﹣1）n•；（﹣）n+2＝（﹣1）n+2•；（﹣）2n＝；（）2n+3＝﹣． 则正确的式子有1个． 故选：A． 【举一反三1】计算：（）2的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：原式＝， 故选：C． 【举一反三2】化简（）2的结果是（　　） A.﹣ B. C.﹣ D. 【答案】D 【解析】解：原式＝＝． 故选：D． 【举一反三3】计算：=　       ． 【答案】 【解析】解：==； 故答案为：． 【举一反三4】计算： （1）（）2；（2）（）3；（3）（）2；（4）（）3． 【答案】解：（1）（）2＝； （2）（）3＝； （3）（）2＝； （4）（）3＝（）3＝． 【举一反三5】计算： （1）（）2；（2）（﹣）5；（3）（﹣）4． 【答案】解：（1）（）2＝. （2）（﹣）5=-. （3）（﹣）4=． 【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 【典型例题】计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：原式＝﹣•＝﹣． 故选：C． 【举一反三1】化简2÷的结果是(　　) A. B. C.mn3p2 D.mn3p3 【答案】B 【解析】解：2÷＝·＝. 【举一反三2】计算：（﹣）3•（﹣）2÷（）3＝　          　． 【答案】﹣ 【解析】解：原式＝﹣••＝﹣， 故答案为：﹣ 【举一反三3】化简： ． 【答案】解：原式==． 【举一反三4】计算： （1）． （2）． 【答案】解：（1） ＝ ＝ ＝． （2） ＝ ＝ ＝． 【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 【典型例题】甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【答案】C 【解析】解：不妨设甲乙两人开始时相距千米，甲的速度为，乙的速度为， 则根据题意有a（v1+v2）=s和b（v1-v2）=s， 于是， 所以  ， 即． 甲的速度是乙的倍． 故选：C． 【举一反三1】如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料， ∴长方体的长边放置的球的数量为， 长方体的宽边放置的球的数量为， ∴听装饮料的数量为， ∴听装饮料的总体积：，纸箱容积为, ∴纸盒的空间利用率为． 故选A． 【举一反三2】如图，甲、乙两图中的阴影部分面积分别为 、 ，设 k （a＞b＞0），则有（     ） A.1 k 2 B.k 2 C.k 1 D.0 k 【答案】A 【解析】解：根据题意得： 甲图中阴影部分的面积为， 乙图中阴影部分的面积为， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【举一反三3】如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为     （结果保留）．    【答案】 【解析】解：圆形总面积为，长方形面积为， ∴长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为． 故答案为： 【举一反三4】如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．    【答案】解：设最小的长方形的长为a米，则宽为米， 则阴影部分的面积是： （平方米）； 答：阴影部分的面积是30平方米． 【举一反三5】一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度． 【答案】解：设甲乙两地的路程为S千米， ， 即货车从送货到返回原地的平均速度为千米/小时． 【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 【典型例题】下列计算正确的是（　　） A.•＝ B.•＝ C.•＝ D.a••＝ 【答案】D 【解析】解：A．•＝，故本选项不符合题意； B．＝，故本选项不符合题意； C．•＝，故本选项不符合题意； D．a＝，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三1】计算（﹣）的结果是（　　） A. B. C.﹣ D.﹣2ab 【答案】C 【解析】解：原式＝﹣ ＝﹣ab． 故选：C． 【举一反三2】•＝　                  　． 【答案】． 【解析】解：原式＝＝． 故答案为：． 【举一反三3】计算：•＝　                 　． 【答案】 【解析】解：•＝， 故答案为：． 【举一反三4】计算： （1）；（2）；（3）•；（4）•. 【答案】解： （1）原式＝﹣=； （2）原式＝﹣=； （3）原式＝＝． （4）原式＝＝． 【举一反三5】计算:.  【答案】解：原式＝. 【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 【典型例题】计算（a﹣4）•的结果是（　　） A.a+4 B.a﹣4 C.﹣a+4 D.﹣a﹣4 【答案】D 【解析】解：原式＝（a﹣4）×＝﹣（4+a）＝﹣4﹣a， 故选：D． 【举一反三1】计算的结果是（　　） A.2x+2 B.2x﹣2 C.2x2+2x D.2x2﹣2x 【答案】A 【解析】解： ＝ ＝2（x+1） ＝2x+2 故选：A． 【举一反三2】计算：＝　   　． 【答案】1． 【解析】解：原式＝ ＝1． 故答案为：1． 【举一反三3】计算：＝　       　． 【答案】﹣x2y. 【解析】解：原式＝﹣x（x﹣y）•＝﹣x2y． 故答案为：﹣x2y 【举一反三4】已知≠0，求代数式•（a﹣2b）的值． 【答案】解：原式＝ ＝； ∵≠0， ∴a＝， 把a＝代入． 【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 【典型例题】计算的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：；故选C． 【举一反三1】下列各式中，计算过程及结果都正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、原式＝＝，故本选项错误，不符合题意； B、原式＝8xy•＝2y2，故本选项错误，不符合题意； C、原式＝＝，故本选项错误，不符合题意； D、原式＝＝，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三2】计算等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：＝＝． 故选：C． 【举一反三3】﹣3x2y÷＝　       　． 【答案】﹣4y2 【解析】解：原式＝﹣3x2y•＝﹣4y2． 故答案为：﹣4y2 【举一反三4】计算：＝　                 　． 【答案】． 【解析】解：原式＝（）2×＝． 故答案为：． 【举一反三5】计算： （1）﹣÷ （2）﹣÷ （3）÷（﹣9a2b） （4）÷． 【答案】解： （1）原式＝﹣×＝﹣； （2）原式＝﹣×（）＝； （3）原式＝×（﹣）＝﹣； （4）原式＝×＝﹣． 【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 【典型例题】若分式÷的值等于5，则a的值是（　　） A.5 B.﹣5 C. D.﹣ 【答案】C 【解析】解：∵÷＝•＝， ∴＝5， ∴a＝． 故选：C． 【举一反三1】化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：原式＝× ＝． 故选：B． 【举一反三2】计算：（ab﹣b2）÷＝　          　． 【答案】Ab2． 【解析】解：原式＝b（a﹣b）•＝ab2． 故答案为：ab2． 【举一反三3】计算：＝　              　． 【答案】﹣． 【解析】解：原式＝﹣•m（m﹣7） ＝﹣． 故答案为：﹣． 【举一反三4】先化简，再求值，÷，其中m＝1． 【答案】解：÷ ＝• ＝， 当m＝1时，原式＝＝﹣． 【举一反三5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）÷（2x﹣y）． （5）； （6）（xy﹣x2）÷． 【答案】解：（1）原式＝×＝； （2）原式＝×＝； （3）原式＝×＝； （4）原式＝×＝； （5）原式＝×＝2x﹣2y； （6）原式＝x（y﹣x）×＝﹣x2y． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2分式的乘法与除法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】分式乘除的混合运算 2 【题型2】分式的乘方 3 【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 4 【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 4 【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 5 【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 6 【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 6 【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．  ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．  ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1.（2025•河南一模）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2=a6 B．x5+x3=x8 C．（2xy2）2=2x2y4 D． 2.（2024秋•大祥区期末）计算（-）2•的结果是（　　） A． B．-m C． D．m 【题型1】分式乘除的混合运算 【典型例题】计算的值为（　　） A. B. C.a2     D.无法确定 【举一反三1】计算（﹣a）2÷的结果为（　　） A.﹣1 B.1 C.﹣a2 D.a2 【举一反三2】计算：﹣＝　           　． 【举一反三3】计算： （1）＝　               　； （2）＝　              　； （3）＝　                　； （4）＝　                　． 【举一反三4】计算： （1）•（﹣）÷； （2）÷（x+3）•； （3）÷•． 【题型2】分式的乘方 【典型例题】下列各式（其中n为整数）中正确的有（　　） ，，，． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】计算：（）2的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】化简（）2的结果是（　　） A.﹣ B. C.﹣ D. 【举一反三3】计算：=　       ． 【举一反三4】计算： （1）（）2；（2）（）3；（3）（）2；（4）（）3． 【举一反三5】计算： （1）（）2；（2）（﹣）5；（3）（﹣）4． 【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 【典型例题】计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】化简2÷的结果是(　　) A. B. C.mn3p2 D.mn3p3 【举一反三2】计算：（﹣）3•（﹣）2÷（）3＝　          　． 【举一反三3】化简： ． 【举一反三4】计算： （1）． （2）． 【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 【典型例题】甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【举一反三1】如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，甲、乙两图中的阴影部分面积分别为 、 ，设 k （a＞b＞0），则有（     ） A.1 k 2 B.k 2 C.k 1 D.0 k 【举一反三3】如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为     （结果保留）．    【举一反三4】如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．    【举一反三5】一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度． 【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 【典型例题】下列计算正确的是（　　） A.•＝ B.•＝ C.•＝ D.a••＝ 【举一反三1】计算（﹣）的结果是（　　） A. B. C.﹣ D.﹣2ab 【举一反三2】•＝　                  　． 【举一反三3】计算：•＝　                 　． 【举一反三4】计算： （1）；（2）；（3）•；（4）•. 【举一反三5】计算:.  【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 【典型例题】计算（a﹣4）•的结果是（　　） A.a+4 B.a﹣4 C.﹣a+4 D.﹣a﹣4 【举一反三1】计算的结果是（　　） A.2x+2 B.2x﹣2 C.2x2+2x D.2x2﹣2x 【举一反三2】计算：＝　   　． 【举一反三3】计算：＝　       　． 【举一反三4】已知≠0，求代数式•（a﹣2b）的值． 【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 【典型例题】计算的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列各式中，计算过程及结果都正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】计算等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】﹣3x2y÷＝　       　． 【举一反三4】计算：＝　                 　． 【举一反三5】计算： （1）﹣÷ （2）﹣÷ （3）÷（﹣9a2b） （4）÷． 【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 【典型例题】若分式÷的值等于5，则a的值是（　　） A.5 B.﹣5 C. D.﹣ 【举一反三1】化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】计算：（ab﹣b2）÷＝　          　． 【举一反三3】计算：＝　              　． 【举一反三4】先化简，再求值，÷，其中m＝1． 【举一反三5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）÷（2x﹣y）． （5）； （6）（xy﹣x2）÷． 学科网（北京）股份有限公司 $