专题07 位似的概念与相关性质（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题07 位似的概念与相关性质 考点01 位似图形的识别 1 考点02 判断位似中心 3 考点03 位似图形相关概念辨析 4 考点04 求两个位似图形的相似比 5 考点05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 6 考点06 求位似图形的对应坐标 7 考点07 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 8 考点08 在坐标系中画位似图形 9 考点09 在坐标系中画位似中心 11 考点10 相似三角形的综合问题 12 考点11 坐标与图形综合 13 考点01 位似图形的识别 考点02 判断位似中心 考点03 位似图形相关概念辨析 考点04 求两个位似图形的相似比 考点05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 考点06 求位似图形的对应坐标 考点07 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 考点08 在坐标系中画位似图形 考点09 在坐标系中画位似中心 考点10 相似三角形的综合问题 考点11 坐标与图形综合 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）对应点连线的交点P即为所求的旋转中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P的坐标为 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中，与的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形． (1)在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与位似的，使与的位似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了位似图形、找位似中心，熟练掌握位似图形的画法是解题关键． （1）根据位似中心是每一组对应点所连直线的交点解答即可； （2）先分别画出对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． ． （2）解：如图，即为所求． ． 7．（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； (3)直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了网格平移作图，位似图形作图，位似图形的性质，相似三角形的性质； （1）按平移的要求作图，即可求解； （2）按位似图形的作法作图，即可求解； （3）由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质即可求解； 能熟练在网格中平移作图及作位似图形，并能由位似图形的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：由（2）得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【答案】(1)①②； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【详解】（1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，    是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，位似图形的性质，由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形与四边形关于点位似，， ∴四边形与四边形的相似比， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为3， ∴四边形的面积为12 故选：C． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 【答案】点的对应点的横坐标为 【分析】设点的横坐标为，然后表示出点和点间的水平距离，再根据位似比例式计算即可得解. 【详解】解：设点的横坐标为． 由题意，得点间的水平距离为，点间的水平距离为， 把放大到原来的2倍得到， ，解得， 即点的对应点的横坐标为． 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的性质，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比例列方程是解题的关键. 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①② 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 14．（21-22九年级上·海南海口·期中）在如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折，在图中画出翻折后的，并写出的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格图中画出，并直接写出的坐标和的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析；； 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，轴对称变换，勾股定理． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可，然后根据网格图写出的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到，然后根据网格图写出的坐标； （3）延长到使，延长到使，然后描点即可得到，根据网格图可写出的坐标，再由勾股定理可求的三边长，从而得到的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图，即为所求，， 的周长 ． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）图、图、图均是的正方形方格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的方格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中以点为位似中心，把缩小为原来的，嘉琪的想法是可以找到的中点和的中点，连接，即所求，他利用矩形的中心为对角线的中点很快便找到了点，请仿照嘉琪的作法作的中点，连接，并直接写出的值． (2)在图中，作的高线． (3)在图中，嘉琪在边上按如图所示的方式作点，求线段的长． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】（）利用矩形的对角线互相平分即可作出点，再根据即可得到的值； （）根据网格的特点作图即可求解； （）利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质可求出 的长； 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点即所求， ∵， ∴， 即的值为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由网格得，， ∵， ∴， ， ， ． 16．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C．若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，黄金分割比，位似图形，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、任意两个菱形对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，故该选项不符合题意； B、两边对应成比例的两个直角三角形，运用勾股定理算出第三边， 故三边都成比例的直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、若线段，点C是线段的黄金分割点且， 则，即， 解得，故该选项不符合题意； D、∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，且， ∴点的对应点的坐标为或，即点A的对应点的坐标是或， 故该选项符合题意； 故选：D 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)不能画出来，，，或，， 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似图形的性质解答即可； 本题考查了作轴对称图形，位似图形的性质，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：不能画出来．当和在原点同侧时，，，，即，，； 当和在原点异侧时，，，，即，，； 综上，，，或，，． 18．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，构建相似三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴于，轴于，构造相似三角形求出点的坐标，再利用位似变换的性质求出点的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 将沿翻折得到， ，，， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 解得， ，， ， 放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 20．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）解：如图，即为所求， ． 21．（22-23九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形有如下定义，若在图形上找到任意一点，使得在线段延长线上存在点，使得，所有点所组成的图形，称点关于图形进行了一次倍变换，则图形是点关于图形的倍变换图形．图形上所有点都关于图形再进行一次倍变换组成图形，称为点关于图形的双倍变换图形． (1)若图形N为线段，，，则，，，中哪些点在原点关于图形N的双1倍变换图形上？ (2)图形N为半径为1的圆，若点在原点关于图形N的双1倍变换图形上，直接写出m的取值范围； (3)若图形N是圆心为，半径为1的圆，求在原点关于图形N的双2倍变换图形的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，线段的长度为2，经过一次倍变长为，双1倍变换图形的长为，画出图形，即可求解． （2）图形为圆心，半径为1的圆，是半径为2的圆，是半径为4的圆，且圆心都在上，根据相切时求得的值，进而即可求解． （3）根据定义，可知为半径为4的圆，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段的长度为2，经过一次倍变长为，双1倍变换图形的长为， ∴，，在原点关于图形N的双1倍变换图形上， （2）解：根据定义可知，图形为圆心，半径为1的圆，是半径为2的圆，是半径为4的圆，且圆心都在上 当外切时， ∴ 当内切时， 解得： ∴ 当时，如图，根据对称性可得， 综上所述，或； （3）解：如图，的面积为． 【点睛】本题考查了位似变换，圆与圆的位置关系，掌握位似变换与新定义是解题的关键． 22．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见解析 (3)旋转中心的坐标为； (4)图见解析 【分析】本题主要考查位似、平移及旋转的性质，熟练掌握位似、平移及旋转的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点，然后问题可求解； （2）由（1）及中心对称图形的性质可进行作图； （3）由旋转的性质直接进行求解即可； （4）根据位似图形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示； （2）解：所作如图所示； （3）解：连接，相交于点P，如图所示， 由旋转的性质可知：点P即为旋转中心，即， ∵， ∴根据中点坐标公式可得，即； ∴旋转中心的坐标为； （4）解：所作如图所示． 23．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求， ∴点的坐标为． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析，． 【分析】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解决本题的关键是按要求做出图形． 根据网格结构找出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，并写出的坐标； 利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形，并写出的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、得到， 即为所求． 由图可知，的坐标为； （2）解：如图所示，连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接点、、得到， 即为所求， 由图可知，点的坐标为． 25．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解，点坐标为 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：和是位似图形，点为所求位似中心，如图点即为所求． 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并在网格点上， ∴点坐标为． 26．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 27．（20-21九年级上·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且他们的顶点均在格点上，则点P的坐标为 ； （2）将△ABC绕点A逆时针方向旋转135°， ①画出旋转后的△AB2C2； ②用线段AB旋转到线段AB2，所扫过的图形面积做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面圆半径．（保留精确值） 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）作直线C1C，B1B,两直线交点即为点P位置，即可写出点P的坐标； （2）①根据题意画出图形即可； ②根据勾股定理求出AB，再求出AB的扫过的扇形的弧长，最后根据扇形的弧长等于所围成的底面圆的周长即可求出半径． 【详解】解：（1）如图，作直线C1C，B1B,两直线交点即为点P位置，∴点P坐标为（5，6）， 故答案为：（5，6）    (2) ①  如图所示： ② 根据勾股定理得 AB2=32+32=18，       ∴ AB=， ∴AB所扫过的扇形的弧长L= = ，       ∴圆锥底面圆周长为， ∴圆锥底面圆半径R= ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，位似变换，圆锥侧面展开图等知识，熟知相关知识，并理解网格的特点是解题关键． 28．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的； (2)分别写出三个点的坐标； (3)设与的面积分别为求的值 【答案】(1)图见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接原点与各个顶点，并将各连线延长倍后，得到，，，连接各端点即可得到． （2）令各个顶点横纵横坐标分别乘，即可得到的三个顶点坐标． （3）根据位似比的平方是面积比，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴的三个点的坐标分别为，，， （3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴与的位似比是， ∴与的面积比为． 29．（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】（）根据已知条件证明，则对应变成比例，的函数解析式；设将 和 代入即可求得的解析式； （）按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可； （）函数图象可得自变量的取值范围，由（）所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小； 本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设， 将和代入可得：，解得： 则， 综上所述：，； （2）经过的点有：，，，，经过的点有：，， 描点、连线，画出函数，图象如下： 如图， 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由（）中图象可知，，图象交点为，， 当或时，图象在图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或． 30．（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 31．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， 则点， ∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 32．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【答案】(1)， (2)①；②，或， 【分析】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解； （2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“k值关联点”， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵点是点的“k值关联点”， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即； ②由①可得， ∵， ∴点在直线上， 如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧）， ∵， ∴，此时满足条件， 由可得，， 解得：（此时、不在的同侧，舍去）或， ∴； 如图，当点在点下方时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 33．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查了新定义：与的“度量”，一元一次不等式组的拓展；理解新定义，能根据具体情况进行分类讨论，会解含有绝对值的不等式组是解题的关键； （1）由与的“度量”的定义，即可求解； （2）由线上与点的“度量”为2得，求出，即可求解；设直线上存在与点的“度量”为2的点为，由新定义得，可得，由即可求解； （3）由新定义可求、、、，进行分类讨论①，②，③④分别解出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：2； （2）解：由题意得： ， 过点作平行于轴的直线， 可设直线上点的坐标为， 直线上与点的“度量”为2， ， 整理得：， 解得：， 直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或； 设直线上存在与点的“度量”为2的点为， ， 整理得：， ， ， 解得：， 故的取值范围； （3）解：由题意得： ， 同理可求：， ， ， ， ①， 解得：或， ②， 解得：， ③ 解得：， ④ 解得：， 综上所述：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 位似的概念与相关性质 考点01 位似图形的识别 1 考点02 判断位似中心 3 考点03 位似图形相关概念辨析 4 考点04 求两个位似图形的相似比 5 考点05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 6 考点06 求位似图形的对应坐标 7 考点07 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 8 考点08 在坐标系中画位似图形 9 考点09 在坐标系中画位似中心 11 考点10 相似三角形的综合问题 12 考点11 坐标与图形综合 13 考点01 位似图形的识别 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 考点02 判断位似中心 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中，与的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形． (1)在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与位似的，使与的位似比为． 考点03 位似图形相关概念辨析 7．（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； (3)直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 9．（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 考点04 求两个位似图形的相似比 10．（2025·浙江温州·三模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    考点05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 13．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 14．（21-22九年级上·海南海口·期中）在如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折，在图中画出翻折后的，并写出的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格图中画出，并直接写出的坐标和的周长． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）图、图、图均是的正方形方格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的方格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中以点为位似中心，把缩小为原来的，嘉琪的想法是可以找到的中点和的中点，连接，即所求，他利用矩形的中心为对角线的中点很快便找到了点，请仿照嘉琪的作法作的中点，连接，并直接写出的值． (2)在图中，作的高线． (3)在图中，嘉琪在边上按如图所示的方式作点，求线段的长． 考点06 求位似图形的对应坐标 16．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C．若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 18．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 考点07 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 19．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 20．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 21．（22-23九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形有如下定义，若在图形上找到任意一点，使得在线段延长线上存在点，使得，所有点所组成的图形，称点关于图形进行了一次倍变换，则图形是点关于图形的倍变换图形．图形上所有点都关于图形再进行一次倍变换组成图形，称为点关于图形的双倍变换图形． (1)若图形N为线段，，，则，，，中哪些点在原点关于图形N的双1倍变换图形上？ (2)图形N为半径为1的圆，若点在原点关于图形N的双1倍变换图形上，直接写出m的取值范围； (3)若图形N是圆心为，半径为1的圆，求在原点关于图形N的双2倍变换图形的面积． 考点08 在坐标系中画位似图形 22．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 23．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 考点09 在坐标系中画位似中心 25．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 26．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 27．（20-21九年级上·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且他们的顶点均在格点上，则点P的坐标为 ； （2）将△ABC绕点A逆时针方向旋转135°， ①画出旋转后的△AB2C2； ②用线段AB旋转到线段AB2，所扫过的图形面积做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面圆半径．（保留精确值） 考点10 相似三角形的综合问题 28．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的； (2)分别写出三个点的坐标； (3)设与的面积分别为求的值 29．（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 30．（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 考点11 坐标与图形综合 31．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 32．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 33．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $