25.1.2概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级上册数学大单元教学分层优化练

025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 25.1.2概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P(A) 题型1 概率的意义的理解 例1．下列说法正确的是（　　） A．成语“水中捞月”是必然事件 B．“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C．“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 【变式1-1】．下列说法中，正确的是（    ） A．“大海捞针”是不可能事件 B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C．“成都某地明天降雨的概率为0.8”，表示该地明天一定降雨 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 【变式1-2】．下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【变式1-3】．下列说法不正确的是（   ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是，则买100张彩票一定有1张中奖 知识点2 概率的范围 当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0． P(A)的取值范围： ∵m≥0，n>0，∴0≤m≤n. ∴0≤ ≤1，即0≤P(A)≤1. 题型2判断几个事件的概率大小 例2．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 【变式2-1】．在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） ． 【变式2-2】．小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 ． 【变式2-3】．已知一个不透明的袋中装有11个黑球、2个红球、3个白球、4个绿球，这些球除颜色外，其他都相同．闭上眼睛，从袋中摸出一个球，则下列事件：①摸出黑球；②摸出黄球；③摸出白球；④摸出红球或绿球．按发生的可能性从小到大写出它们的序号 ． 知识点3 概率的计算 求概率的方法： 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：. 当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0 题型3根据概率公式计算概率 例3．一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【变式3-1】．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 【变式3-2】．今年五一西安被冲上热搜成为全国旅游网红城市，小红和妈妈也准备去西安旅游．去之前她们收集了自己感兴趣的景点名片，这些名片除文字外其余均相同，出发前一天她们以抽签的形式决定去哪个景点，请根据下列问题求出相应的概率． 市内景区：大雁塔、大唐芙蓉园、钟楼、明长城、曲江极地公园． 市外景区：秦岭野生动物园、朱雀国家森林公园、秦始皇兵马俑． (1)抽到去“大唐芙蓉园”的概率； (2)抽到去市内景区的概率； (3)抽到去公园的概率； 【变式3-3】．一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 题型4几何图形的概率 例4．如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【变式4-1】．如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【变式4-2】．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【变式4-3】．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 题型5根据概率作判断 例5．如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【变式5-1】．小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【变式5-2】．小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【变式5-3】．口袋里只有个球，除颜色外都相同，其中有个红球、个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值； (2)如果摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，分别求和的可能值． 题型6已知概率求数量 例6．在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率； (2)小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值． 【变式6-1】．某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 (1)从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 【变式6-2】．某文体店购进了20筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 0 1 2 筒数 9 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系应为______________； (2)从20筒羽毛球中任意选取1筒，若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，求m和n的值． 【变式6-3】．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数． (2)求任意摸出一个球是黑球的概率． (3)能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 题型7根据概率求参数 例7．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【变式7-1】．某校七二班学生学习完概率初步后，二班的“智慧小组”在一个不透明的口袋中装6个白球和10个红球，每个球除颜色外都相同． (1)从口袋中随机摸出一个球是红球，这一事件的概率是______； (2)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 【变式7-2】．（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． 从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； 小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【变式7-3】．某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 题型8概率与图形面积的综合 例8．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【变式8-1】．“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．顾客购买了元的商品，请你分析计算： (1)顾客获得童话书的概率是_______；若要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将_______个扇形涂为黄色； (2)顾客获得彩笔的概率是多少？ 【变式8-2】．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛： (1)请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： ①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为； ②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组； ③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； ④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． (2)一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？ 【变式8-3】．如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）． （1）求的长和阴影部分的面积； （2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计） 题型9游戏的公平性判断 例9．某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． (1)转动转盘1次，获奖1元的概率为________． (2)转动转盘1次，获奖的可能性________付费的可能性（填“>”或“<”或“=”）． (3)计算转动参与者转盘1次的平均收益． 【变式9-1】．下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率： （1）在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（1）图，请估计钉尖朝上的概率； （2）如（2）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； （3）有一个小球在如（3）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率． 【变式9-2】．在一次晚会上，大家做投飞镖的游戏．只见靶子设计成如图的形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为l，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖． (1)分别求出三个区域的面积； (2)雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗? 为什么? 如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平． 【变式9-3】．某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖励3元；若指针指向字母“C”，则奖励1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？    例10．现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求： (1)两面涂有红色的小正方体的个数； (2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； (3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 【变式10-1】．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【变式10-2】．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 【变式10-3】．五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． (1)请你将图2的统计图补充完整． (2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ (3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 一、单选题（每小题32，共24分） 1．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片恰好是数学家华罗庚图案的概率为（　　） A． B． C． D． 3．下列实验中，概率最大的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面 B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为偶数 C．在一副洗匀的52张扑克牌（背面朝上）中任取一张，恰好为黑桃 D．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为奇数 4．如果小球在如图所示的一副七巧板拼成的正方形地面上自由滚动，并随机停留在某块方上，那么它最终停留在4号区域的概率是（    ） A． B． C． D． 5．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 6．六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 8．书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若从甲、乙、丙、丁4位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的可能性为 ． 10．如图是某公园中的植物迷宫，游客游玩迷宫时，每遇到一个岔路就随机向前或转弯继续前行（不走回头路），如果规定走进死胡同算失败，那么游客走出这个迷宫的概率为 ． 11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 12．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是 ． 13．在一个不透明的袋子中装有7个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字，0，0.5，1，2，摇匀后从中随机摸出一个小球，记小球上的数字为a，则a使得关于x的分式方程没有实数解的概率是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．袋子中装有5个黑球和16个白球，这些球除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球． (1)摸出的球可能是什么颜色的？ (2)如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？如果不一样，哪个更大？请你说明理由． 15．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 16．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 17．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 18．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图： (1)参加复选的学生总人数为______人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为_____； (2)补全条形统计图； (3)该校有500名学生，女生进入短跑复选的有多少人？ (4)求在跳高项目中男生被选中的概率． 19．某花店每天以每枝3元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为正整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），数据整理如下： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进18枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进18枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 20．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率． 第一次和第二次 学科网（北京）股份有限公司 $ 025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 25.1.2概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P(A) 题型1 概率的意义的理解 例1．下列说法正确的是（　　） A．成语“水中捞月”是必然事件 B．“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C．“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、概率的意义理解、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的意义、随机事件、概率公式等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 根据概率的意义、随机事件、概率公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、成语“水中捞月”是不可能事件，故A不符合题意； B、“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天下雨的可能性很大，故B不符合题意； C、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件，故C符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数不一定是100次，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】．下列说法中，正确的是（    ） A．“大海捞针”是不可能事件 B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C．“成都某地明天降雨的概率为0.8”，表示该地明天一定降雨 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 【答案】B 【知识点】事件的分类、概率的意义理解 【分析】本题考查概率事件的基本概念，包括不可能事件、必然事件、概率的意义以及实际试验中的频率与概率的关系． 【详解】A． “大海捞针”虽然可能性极小，但存在发生的可能，属于随机事件而非不可能事件，故A错误． B． 普通正方体骰子的点数范围为1到6，因此点数一定小于7，属于必然事件，故B正确． C． 概率0.8表示降雨的可能性较大，但并非“一定”发生，故C错误． D． 硬币质地均匀时，正面朝上的概率为0.5，但实际试验中次数有限，结果可能偏离理论值，因此“一定是25次”的结论不成立，故D错误． 故选B． 【变式1-2】．下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【答案】C 【知识点】事件的分类、概率的意义理解 【分析】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； D、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】．下列说法不正确的是（   ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是，则买100张彩票一定有1张中奖 【答案】BCD 【知识点】事件的分类、概率的意义理解 【分析】本题主要考查了概率的含义，关键是要牢记概率表示事件发生的可能性大小． 根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案． 【详解】解：A. 一年有365或366天，则367人中至少有两人生日相同，故该选项说法正确，不符合题意； B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故该选项说法错误，符合题意； C.天气预报说明天的降水概率为，则明天不一定会下雨，故该选项说法错误，符合题意； D.某种彩票中奖的概率是，则买100张彩票不一定有1张中奖，故该选项说法错误，符合题意； 故选：BCD． 知识点2 概率的范围 当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0． P(A)的取值范围： ∵m≥0，n>0，∴0≤m≤n. ∴0≤ ≤1，即0≤P(A)≤1. 题型2判断几个事件的概率大小 例2．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 【答案】 【知识点】判断几个事件概率的大小关系、根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式，求出各个事件发生的概率，再进行比较即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球， ∴摸出白球概率，摸出黄球概率，摸出红球概率， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用概率公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握事件发生的概率等于符合条件的情况数和总情况数之比． 【变式2-1】．在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） 【答案】④ 【知识点】判断几个事件概率的大小关系、根据概率公式计算概率 【分析】根据题意逐项分析判段即可求解． 【详解】解：在一副扑克牌中，有54张纸牌，有4种花色，2种颜色，“黑桃”有1个，“”有4个， 则①抽到“红桃”的概率为；②抽到“黑桃”的概率为；③抽到“”的概率是；④抽到“红色的”概率为， 则事件发生的可能性最大的是④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性大小，理解题意是解题的关键． 【变式2-2】．小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 ． 【答案】方块 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】根据题目条件，进行推理，逐一排除，即可． 【详解】∵我不知道这张牌可知：在所有牌中，这张牌为数字且不同花色的不止一张； ∴仅剩与 ， ∵我早知道你不知道可知，牌的花色为方块， ∴只能是方块， 故答案为：方块． 【点睛】本题考查了概率的知识，灵活运用排除法是解题的关键． 【变式2-3】．已知一个不透明的袋中装有11个黑球、2个红球、3个白球、4个绿球，这些球除颜色外，其他都相同．闭上眼睛，从袋中摸出一个球，则下列事件：①摸出黑球；②摸出黄球；③摸出白球；④摸出红球或绿球．按发生的可能性从小到大写出它们的序号 ． 【答案】②＜③＜④＜① 【知识点】有理数大小比较、判断事件发生的可能性的大小、判断几个事件概率的大小关系、根据概率公式计算概率 【分析】分别利用概率公式（符合条件的情况数与总数之比）求出摸出黑球，摸出黄球，摸出白球和摸出红球或绿球的概率，然后再进行比较即可． 【详解】①摸出黑球的概率为 ； ②摸出黄球的概率为； ③摸出白球的概率为； ④摸出红球或绿球的概率为 ∴发生的可能性从小到大为：②＜③＜④＜① 故答案为：②＜③＜④＜①． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率及有理数的比较，掌握随机事件概率的求法是解题的关键． 知识点3 概率的计算 求概率的方法： 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：. 当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0 题型3根据概率公式计算概率 例3．一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查条件概率的理解与应用，重点在于分析不同操作(放回、不放回并加入球)后总球数和目标球数的变化． ()放回白球后，总球数和白球数均恢复初始状态，概率直接由初始比例确定； ()不放回且加入红球后，总球数和剩余白球数发生变化，需重新计算概率． 【详解】（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为个白球和个红球，总球数为， 概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：； （2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为，红球数仍为， 加入个红球：总红球数变为， 总球数变为， 剩余白球数为，总球数为，因此概率为：． 【变式3-1】．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 【答案】(1)10 (2)元 (3) 【知识点】求中位数、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率，中位数． （1）用50减去其余项的人数即可求解； （2）利用中位数的定义即可得到结果； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数， 故中位数为元； （3）解：∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人， ∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=． 【变式3-2】．今年五一西安被冲上热搜成为全国旅游网红城市，小红和妈妈也准备去西安旅游．去之前她们收集了自己感兴趣的景点名片，这些名片除文字外其余均相同，出发前一天她们以抽签的形式决定去哪个景点，请根据下列问题求出相应的概率． 市内景区：大雁塔、大唐芙蓉园、钟楼、明长城、曲江极地公园． 市外景区：秦岭野生动物园、朱雀国家森林公园、秦始皇兵马俑． (1)抽到去“大唐芙蓉园”的概率； (2)抽到去市内景区的概率； (3)抽到去公园的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可； （3）直接由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抽到去“大唐芙蓉园”的概率为； （2）解：由题意可知，抽到去市内景区的概率为； （3）解：由题意可知，抽到去公园的概率为． 【变式3-3】．一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 【答案】(1) (2)再放入的白色卡牌的张数为4张 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）设再放入的白色卡牌张，进而得到放入红色卡牌张，根据取出两种卡牌的概率相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率为； （2）设再放入的白色卡牌张，则放入红色卡牌张，由题意，得： ， 解得：； 答：再放入的白色卡牌的张数为4张． 题型4几何图形的概率 例4．如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【答案】(1)获得200元的概率为，获得100元的概率为，获得绿色的概率为 (2) 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了几何概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用红色区域数除以20可得获得200元购物券的概率，用黄色区域数除以20可得获得100元购物券的概率，用绿色区域数除以20可得获得50元购物券的概率； （2）用三种颜色的区域数之和除以20即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，获得200元的概率为，获得100元的概率为，获得绿色的概率为； （2）解：由题意得，转动一次转盘获得购物券的概率为 【变式4-1】．如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出所以标有偶数的区域的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：转盘被分成了8等份，其中2个区域标有数字“3”， 所以指针指向数字3的概率． （2）解：因为2和4是偶数，2个区域标有数字“2”，3个区域标有数字“4”，所以标有偶数的区域有5个， 所以指针指向的数字为偶数的概率． 【变式4-2】．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键． 根据几何概率的意义可知概率比即为面积比，由圆的面积即可求出区域一、三、五的面积和，再由圆的面积减去区域一、三、五的面积和即可． 【详解】解：最大圆的面积为：． ∵小球落在区域一、三、五内的概率分别是0.04，0.2，0.36， ∴区域一、三、五的面积占大圆面积的百分比分别是． ∴区域一、三、五的面积和为． 所以白色区域的总面积为． 【变式4-3】．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、几何概率 【分析】本题考查了几何概率，根据图形求出阴影部分的面积和地板的面积，再根据概率公式计算即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，阴影区域的面积个阴影小三角形的面积块方砖的面积， 地板的面积为， ∴小猫停留在阴影区域的概率为． 题型5根据概率作判断 例5．如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】事件的分类、根据概率作判断、几何概率 【分析】本题考查了概率公式，不可能事件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不可能事件发生的概率为0进行解答即可． 【详解】（1）∵转盘被分成三个相同的扇形，转动转盘，可得到三种等可能结果， ∴转动一次转盘，得到的数恰好是0发生的概率是， 故答案为：； （2）转动一次转盘，得到的数恰好是2，是不可能事件． 【变式5-1】．小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【答案】(1) (2)选择A线路 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个）， ∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为； （2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个）， 又∵， ∴选择A线路． 【变式5-2】．小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择打开区域A中的小方格，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可； （2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可． 【详解】（1），方格中随机放置着个奖品， ， 故答案为： （2）（打开区域中的小方格）， （打开区域外的小方格）， ， ∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格． 【点睛】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键． 【变式5-3】．口袋里只有个球，除颜色外都相同，其中有个红球、个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值； (2)如果摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，分别求和的可能值． 【答案】(1) (2)，或，或，或， 【知识点】根据概率作判断 【分析】（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）根据题意得到，再根据到红球的可能性大于摸到白球的可能性，可得，依次得到答案． 【详解】（1）解：∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ∴； （2）∵摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，且， ∴， 则，或，或，或，． 【点睛】此题考查了可能性的大小及基本概率的理解，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型6已知概率求数量 例6．在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率； (2)小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：x的值为． 【变式6-1】．某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 (1)从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 【答案】(1)随机 (2)， 【知识点】事件的分类、已知概率求数量 【分析】本题考查事件的分类，已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）根据事件的分类方法，进行判断即可； （2）根据概率公式求出的值，再根据总盒数减去其它盒数求出的值即可． 【详解】（1）解：从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”可能发生也可能不发生，是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 【变式6-2】．某文体店购进了20筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 0 1 2 筒数 9 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系应为______________； (2)从20筒羽毛球中任意选取1筒，若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，求m和n的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据表格确定m，n满足的数量关系； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）文体店购进了20筒羽毛球，每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球， 由表可知，， 整理得． 故答案为：． （2）由题知，， ． ，． 【变式6-3】．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数． (2)求任意摸出一个球是黑球的概率． (3)能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 【答案】(1)7 (2) (3)能，见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了简答概率的计算，通过概率求频数等知识点，解题的关键是熟练掌握概率计算的公式． （1）通过部分概率和频数求出总数，然后利用总数可求解； （2）利用概率计算公式进行求解即可； （3）通过改变白球的频数可达到要求． 【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若千个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 故盒子中黑球的个数为； （2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为； （3）解：能．方案：将盒子中的白球拿出3个，则P（摸到红球）．（方案不唯一） 题型7根据概率求参数 例7．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【答案】(1)随机事件 (2) (3)2 【分析】本题考查简单事件的概率计算，事件的分类，理解题意是解答的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴摸出的球是白球是随机事件， 故答案为：随机事件； （2）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴任意摸出一个球是黑球的概率是； （3）根据题意得， ， 即 解得． 【变式7-1】．某校七二班学生学习完概率初步后，二班的“智慧小组”在一个不透明的口袋中装6个白球和10个红球，每个球除颜色外都相同． (1)从口袋中随机摸出一个球是红球，这一事件的概率是______； (2)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用概率公式的应用，熟练运用概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算概率即可； （2）根据口袋中有个白球和个红球，共有16个球，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵口袋中装有6个白球和10个红球，共有16个球， 从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是． 故答案为：． （2）解：由题意得：口袋中有个白球，个红球，共有16个球，随机摸出白球的概率是， 从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，解得：． 【变式7-2】．（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． 从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； 小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1）不相等，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）；5 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解决本题的关键：（1）是分别表示出“平均数的平方”与“平方的平均数”．（2）是熟练掌握概率公式． （1）设两个相邻整数分别是a、a+1，设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为，两个整数的平方的平均数为 ，即可得出二者并不相等，二者差是． （2）直接根据概率公式计算即可；先根据摸出黑球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值． 【详解】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为 两个整数的平方的平均数为 因为 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等 ． 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）①由题意可知，黑球的个数为， P（摸出的球是黑球）= ②任意摸出一个球是黑球的概率为 盒子中球的总量为：（个）， 可以将盒子中的白球取出（个） 【变式7-3】．某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据表格确定，满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， ∴用等式写出，所满足的数量关系为， 故答案为：； （2）解：∵从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为， ∴， 解得， 所以， 即，． 题型8概率与图形面积的综合 例8．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】(1)是，4，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 【变式8-1】．“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．顾客购买了元的商品，请你分析计算： (1)顾客获得童话书的概率是_______；若要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将_______个扇形涂为黄色； (2)顾客获得彩笔的概率是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：顾客获得童话书的概率是； ，； 故要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将个扇形涂为黄色； 故答案为：； （2）解：∵转盘被平均分成16份，绿色区域3份， ∴顾客获得彩笔的概率是； 【变式8-2】．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛： (1)请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： ①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为； ②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组； ③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； ④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． (2)一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的是随机事件概率的求法，熟练掌握随机事件概率的求法是解题的关键； 如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． （1）①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解； ②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解； ③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值； ④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值．然后依次标在图中即可． （2）根据题意，设口袋中有个白球和个红球，根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解； ②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解； ③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为； ④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可． 如图所示： （2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可 从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是， 解得． 【变式8-3】．如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）． （1）求的长和阴影部分的面积； （2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计） 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据弧长公式，即可求值； （2）用阴影部分面积÷正方形面积，即可求解． 【详解】解：（1）的长＝； S阴影＝2S扇形−S正方形＝； （2）豆子落在阴影区域内的概率＝2÷4＝． 【点睛】本题考查了几何概率，弧长公式，扇形面积公式，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积． 题型9游戏的公平性判断 例9．某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． (1)转动转盘1次，获奖1元的概率为________． (2)转动转盘1次，获奖的可能性________付费的可能性（填“>”或“<”或“=”）． (3)计算转动参与者转盘1次的平均收益． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何概率， （1）转动转盘1次，获奖1元，即指针指向字母“C”，即可求解； （2）转动转盘1次，获奖的可能性有4种，付费的可能性有4种，即可得出结论； （3）结合加权平均数即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘1次，获奖1元，即指针指向字母“C”， 概率为， 故答案为：． （2）指针指向字母“A”，则收费， 收费的概率为； 指针指向字母“B”，指针指向字母“C”，则获奖， 获奖的概率为； 获奖的可能性付费的可能性， 故答案为：． （3）， 转动参与者转盘1次的平均收益为元． 【变式9-1】．下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率： （1）在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（1）图，请估计钉尖朝上的概率； （2）如（2）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； （3）有一个小球在如（3）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用频率估计概率即可得到结论； （2）根据概率公式求出概率即可； （3）利用概率公式求出概率即可． 【详解】解：（1）如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为0.4． （2）如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为． （3）如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【变式9-2】．在一次晚会上，大家做投飞镖的游戏．只见靶子设计成如图的形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为l，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖． (1)分别求出三个区域的面积； (2)雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗? 为什么? 如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平． 【答案】（1）5π；（2）这个游戏不公平，见解析；修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了. 【分析】（1）从面积比得到概率；（2）通过概率大小进行判定，只要概率相等就公平. 【详解】（1）SA=π•12=π，SB=π•22-π•12=3π，SC=π•32-π•22=5π； （2）P（A）=，P（B）=，P（C）= P（雨薇得分）=×1+×1=，P（方冉得分）=×1= ∵P（雨薇得分）≠P（方冉得分） ∴这个游戏不公平． 修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了． 【点睛】考核知识点：求几何概率.理解概率意义和公式是关键. 【变式9-3】．某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖励3元；若指针指向字母“C”，则奖励1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？    【答案】商人盈利的可能性大，理由见解析． 【分析】根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：商人盈利的可能性大，理由如下， 商人收费：80××2＝80(元)， 商人奖励：80××3＋80××1＝60(元)， 因为80＞60，所以商人盈利的可能性大． 例10．现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求： (1)两面涂有红色的小正方体的个数； (2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； (3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 【答案】(1)96 (2) (3) 【分析】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）一条棱上有去掉左右两个，共12条棱，即可求解； （2）无色的小正方体的个数为；除以所有正方体的个数即可； （3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可． 【详解】（1）解：一条棱上有去掉左右两个，因为这两个会出现三面涂有红色，共计12条棱， ∴块； （2）解：共有符合条件的小正方体个，而总的小正方体为个 ∴； （3）解：每个面有个，6个面有． 【变式10-1】．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键． （1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解； （2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 【变式10-2】．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 【答案】(1)元 (2)①  ②万元 【分析】（1）根据加权平均数计算解题即可； （2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出第二辆车为事故车的概率； ②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可． 【详解】（1）解：元， 答：在第四年续保时的平均费用约为元； （2）①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆， ∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为； ②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【变式10-3】．五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． (1)请你将图2的统计图补充完整． (2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ (3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 【答案】(1)见解析 (2)D (3) 【分析】(1)先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到C型轿车的销售量，再补全条形图； (2)分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可； (3)利用概率公式计算即可． 【详解】（1）C型号轿车的销售量为1000×20%×50%=100（辆），补全统计图如图所示， （2）解：A型号的轿车销售成交率为； B型号的轿车销售成交率为； D型号的轿车销售成交率为； C型号的轿车销售成交率为； ∴D型号的轿车销售情况最好； （3）抽到A型号的轿车发票的概率 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信息是解题的关键． 一、单选题（每小题32，共24分） 1．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，从四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，共有种结果，其中选中“巴蜀文化”的结果只有种， ∴选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：． 2．数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片恰好是数学家华罗庚图案的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式，用概率公式直接求解即可． 【详解】解：共有4种等可能结果，其中小涵抽到的1张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的结果有1种， ∴小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚图案的概率为， 故选：B． 3．下列实验中，概率最大的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面 B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为偶数 C．在一副洗匀的52张扑克牌（背面朝上）中任取一张，恰好为黑桃 D．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为奇数 【答案】D 【知识点】判断几个事件概率的大小关系、根据概率公式计算概率 【分析】此题考查概率公式，解题关键在于利用公式进行计算． 分别计算出4个选项中的概率，再比较其大小即可． 【详解】A、抛掷一枚质地均匀的硬币,出现反面的概率是； B、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6)，掷出的点数为偶数的概率是； C、在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为黑桃的概率是 ； D、三张同样的纸片，分别写有数字1、3、4，和匀后背面向上，任取一张恰好为奇数的概率为． ∵． 故选：D． 4．如果小球在如图所示的一副七巧板拼成的正方形地面上自由滚动，并随机停留在某块方上，那么它最终停留在4号区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查随机事件的概率． 求4号区域的面积占总面积的比即可． 【详解】解：设4号区域的面积为，正方形的面积为， 根据题意和图形可得， ∴它最终停留在4号区域的概率是． 故选：D． 5．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 6．六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，概率公式，掌握相关知识点是解题关键． 先逐一判断每个图形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A，B，C，D，E，F”， 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A B C D E F A B C D E F 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， ∴概率为， 故选A． 7．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、求其他不规则图形的面积、几何概率 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 8．书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所以有可能得结果，概率等于所求情况数与总情况数之比，据此即可得出答案． 【详解】解：设篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体分别用A、B、C、D、E表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D E A A，A B，A C，A D，A E，A B A，B B，B C，B D，B E，B C A，C B，C C，C D，C E，C D A，D B，D C，D D，D E，D E A，E B，E C，E D，E E，E 由表格可知，共有25种等可能的结果，其中小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的情况有1种， 小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若从甲、乙、丙、丁4位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的可能性为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，准确计算是解题的关键． 先确定所有可能的结果总数，再确定甲被选到的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】根据题意可知，选1位志愿者的所有等可能结果为4种，选到甲的概率为； 故答案是． 10．如图是某公园中的植物迷宫，游客游玩迷宫时，每遇到一个岔路就随机向前或转弯继续前行（不走回头路），如果规定走进死胡同算失败，那么游客走出这个迷宫的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：入口向左走，共有2条路线，均是死胡同，不能走出迷宫，而入口向右，共有2条路线，其中有1条可以走出迷宫， 所以共有4条路线，只有1条路线可以走出迷宫，因此游客走出这个迷宫的概率为． 故答案为：． 11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率的求法．掌握几何概率的求法是解题的关键． 根据几何概率的求法：飞镖落在空白部分的概率就是空白部分的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为， 其中阴影部分的面积为， 则空白部分的面积为， ∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是； 故答案为：． 12．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是 ． 【答案】 【知识点】折线统计图、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 先求出天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量均为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率为． 故答案为：． 13．在一个不透明的袋子中装有7个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字，0，0.5，1，2，摇匀后从中随机摸出一个小球，记小球上的数字为a，则a使得关于x的分式方程没有实数解的概率是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据概率公式计算概率 【分析】先将分式方程为整式方程，讨论整式方程无解及产生增根的情况，确定使方程无实数解的a值，用使方程无实数解的a值个数除以所有可能的a值总个数即可求出概率． 【详解】方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 即． 进行分类讨论： ①当时，，无解，故符合题意． ②当时，解得：，因为原方程无解，所以是原方程的增根，所以当时，， 两边同时乘以得：，解得：，． 综上所述，或或时，方程没有实数解， 符合条件的a值有3个，所有可能的a值有7个，所以概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的计算和分式方程实数解的条件，正确掌握分式方程无实数解的条件是解题的关键． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．袋子中装有5个黑球和16个白球，这些球除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球． (1)摸出的球可能是什么颜色的？ (2)如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？如果不一样，哪个更大？请你说明理由． 【答案】(1)这个球可能是白球也可能是黑球 (2)不一样大．摸出白球的可能性更大．理由见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． （1）由随机事件的概念即可得出的结论； （2）求出取到黑球和取到白球的概率，再比较大小即可． 【详解】（1）解：这个球可能是白球也可能是黑球． （2）解：不一样大，摸出白球的可能性更大． 理由：对于每一个球来说，被摸出的可能性都是均等的， 又∵取到黑球的概率为，取到白球的概率为， ∵， 不一样大，摸出白球的可能性比摸出黑球的可能性更大． 15．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 【答案】(1) (2) (3)8个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式求数量，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可； （3）设还要争取甲类名额x个，根据抽到甲类的概率要达到，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是． （2）解：该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是． （3）解：设还要争取甲类名额x个， 根据题意，得， 解得， 答：还要争取甲类名额8个． 16．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 【答案】(1)10 (2)元 (3) 【知识点】求中位数、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率，中位数． （1）用50减去其余项的人数即可求解； （2）利用中位数的定义即可得到结果； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数， 故中位数为元； （3）解：∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人， ∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=． 17．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【知识点】事件的分类、判断实验所得结果是否是等可能的、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【详解】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 18．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图： (1)参加复选的学生总人数为______人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为_____； (2)补全条形统计图； (3)该校有500名学生，女生进入短跑复选的有多少人？ (4)求在跳高项目中男生被选中的概率． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)40人 (4) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键： （1）用跳远的总人数除以所占的比例求出参加复选的学生总人数，用360度乘以短跑项目人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出长跑项目中男生的人数和跳高项目中女生的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）； ； 故答案为：； （2）解：长跑项目的男生人数为， 跳高项目的女生人数为，补全条形图如图： （3）解：（人）； 答：女生进入短跑复选的有40人． （4）∵复选中的跳高总人数为9人，跳高项目中的男生共有4人， ∴跳高项目中男生被选中的概率； 故答案为：． 19．某花店每天以每枝3元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为正整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），数据整理如下： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进18枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进18枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 【答案】(1) (2)①78.16元② 【知识点】求一次函数解析式、求一组数据的平均数、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查算术平均数，概率公式，掌握算术平均数的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）①求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数即可； ②计算日利润超过75元的天数占总天数的百分比即可． 【详解】（1）解：当时，18枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为元， 所以利润为元； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝3元， 所以利润为元； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； （2）解：①当时，元，共10天总利润为元； 当时，元，共20天总利润为元； 当时，元，共16天总利润为元； 当时，元，共16天总利润为元； 当时，元，天数共天，总利润为元； 这100天的总利润为元，则日利润的平均数为元； ②当时，，频数为16， 当时，，频数为， 所以，利润不少于75元的天数为（天）， 因为以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 所以当天的利润不少于75元的概率为． 20．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率． 第一次和第二次 【答案】(1) (2)，补全表格见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、综合运用公式法分解因式、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查用概率公式求概率，整式加法，因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先将a，b的值代入三个代数式求值，再根据概率公式计算值为正数的概率； （2）通过分别计算两次抽取卡片上代数式相加的结果补全表格，然后根据概率公式计算和可以分解因式的概率． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 从三张卡片中随机抽取一张，总共有3种等可能的抽取情况，而其中代数式的值为正数的只有这1种情况． ∴取出的卡片上代数式的值为正数的概率为． （2）解：当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 补全表格如下： 第一次和第二次 对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于不能分解因式， 对于和，可分解因式为； 对于和，可分解因式为； 对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于和，可分解因式为， ∴可以分解因式的情况有5种．两次抽取卡片上代数式之和共有9种等可能的结果． ∴可得和可以分解因式的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $