第二章 有理数及其运算（复习课件）数学鲁教版五四制2024六年级上册

该初中数学课件系统梳理了有理数的概念、运算及科学记数法等核心内容，通过单元知识图谱串联有理数的认识、概念、运算及应用，考点串讲按逻辑分块，构建完整知识网络，体现知识点内在联系。 其亮点在于采用“题型剖析+针对训练”模式，每种题型配例题、解题技巧及变式训练，如数轴问题结合几何直观培养抽象能力，有理数混合运算强化运算能力，针对训练分层设计，助力学生巩固提升，教师可高效开展复习教学。

单元复习课件 第二章 有理数及其运算 鲁教版·六年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解有理数的概念、掌握相反数、绝对值的意义、熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，会用科学记数法表示较大的数、能使用计算器进行有理数的复杂运算。 3.绝对值的几何与代数意义、运算律的灵活运用。 2.有理数的基本概念、有理数的四则运算、乘方与科学记数法。 单元学习目标 定义与分类 有理数及其运算 绝对值 数轴三要素 几何意义 交换律 有理数 的认识 数的认识与大小比较 倒数与相反数 实际表示 和应用 结合律 有理数 的概念 有理数 的运算 科学记数法 近似数 计算器 的使用 正数与负数 代数意义 加减乘除及其混合 运算律 乘方 分配律 单元知识图谱 考点一、 有理数的基本概念 1.正数和负数和0 2.___既不是正数，也不是负数；0不仅可以表示没有，还可表示特定的意义。 正数 概i不 概念 分类 正数 负数 像3，1，2.这样大于0的数叫_____. 像-3，-1，-2.这样小于0的数叫_____. 负数 正数 整数 0 负数 0 考点串讲 考点一、 有理数的基本概念 有理数 ​ 3.有理数的有关概念和分类 概 念 有理数的分类 整数 分数 按定义分类 按符合分类 正整数、0和负正数统称为整数 正分数和负分数统称为分数 整数和分数称为有理数 有理数 整数 分数 正分数 负分数 有理数： ______________________ 正有理数、 负有理数 0 考点串讲 规定了 ________、________ 和 ________ 的直线叫做数轴。 只有符号不同的两个数，叫做互为 ________。 在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的 ________。 绝对值具有 ________ 性，即 |a| ________ 0。 原点 ​ 考点二、 有理数的基本概念 正方向​ 单位长度​ 相反数​ 绝对值​ 非负​ ≥​ 考点串讲 考点二、有理数的运算 1.有理数加减法法则： 同号两数相加，取 ________ 的符号，并把绝对值 ________。 异号两数相加，绝对值相等时和为 ________；绝对值不等时，取绝对值 ________ 的数的符号，并用 ________ 的绝对值减去 ________ 的绝对值。 2. 有理数的减法可以转化为 ________ 来进行，法则为：减去一个数， 等于加上这个数的 ________。 相同​ 相加 0 较大 较大 较小 加法 相反数 考点串讲 考点二、有理数的运算 2.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得 ________，异号得 ________，并把绝对值 ________。 任何数同0相乘，都得 ________。 乘积是 ________ 的两个数互为倒数。 正 负 相乘 0 相反数 3.有理数除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ________。 两数相除，同号得 ________，异号得 ________，并把绝对值 ________。 0除以任何一个不等于0的数，都得 ________。 倒数 正 负 相除 0 考点串讲 考点二、有理数的运算 1.有理数加减法法则： 同号两数相加，取 ________ 的符号，并把绝对值 ________。 异号两数相加，绝对值相等时和为 ________；绝对值不等时，取绝对值 ________ 的数的符号，并用 ________ 的绝对值减去 ________ 的绝对值。 2. 有理数的减法可以转化为 ________ 来进行，法则为：减去一个数， 等于加上这个数的 ________。 相同​ 相加 0 较大 较大 较小 加法 相反数 考点串讲 考点二、有理数的运算 1.有理数加减法法则： 同号两数相加，取 ________ 的符号，并把绝对值 ________。 异号两数相加，绝对值相等时和为 ________；绝对值不等时，取绝对值 ________ 的数的符号，并用 ________ 的绝对值减去 ________ 的绝对值。 2. 有理数的减法可以转化为 ________ 来进行，法则为：减去一个数， 等于加上这个数的 ________。 相同​ 相加 0 较大 较大 较小 加法 相反数 考点串讲 考点二、有理数的运算 3.有理数乘方： 求 n 个 ________ 的因数的积的运算叫做乘方， 乘方的结果叫做 ________。 4. 负数的奇次幂是 ________ 数，负数的偶次幂是 ________ 数。 正数的任何次幂都是 ________ 数，0的任何正整数次幂都是 ________。 相同​ 幂 负 正 正 0 考点串讲 考点三、运算律与混合运算 1.有理数运算： 加法交换律：a + b = ________ 加法结合律：(a + b) + c = ________ 乘法交换律：ab = ________ 乘法结合律：(ab)c = ________ 乘法对加法的分配律：a(b + c) = ________ b + a a + (b + c)​ ba a(bc) ab + ac 考点串讲 考点三、运算律与混合运算 2.有理数混合运算的顺序 1. 先 ________，再 ________，最后 ________； 2. 同级运算，从 ________ 到 ________ 进行； 3. 如有括号，先算 ________ 括号内的，再算 ________ 括号， 最后算 ________ 括号。 乘方 乘除 小 中 大 加减 左 右 考点串讲 考点四、科学记数法与近似数 1.把一个大于10的数表示成 ________ 的形式 （其中 1 ≤ a < 10，n是正整数）， 这种记数方法叫做____________________。 2. 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 一半​ 科学记数法 考点串讲 例1：  题型一、算术运算 D 解析：根据题意,得可以换得的粝米为3×10÷50×30=18(升). 故选D. 　 《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五 十,粝米三十……”其意为“50单位的粟,可换得30单位的粝 米……”.问题:现有3斗粟(1斗=10升),若按照此“粟米之 法”,则可以换得的粝米为 (　    ) A.6升　　　    B.8升　　　    C.16升　　　    D.18升 题型剖析 题型一、算术运算 算术运算技巧 第一步： 审题，提取关键信息 第二步：根据题意解答 题型剖析 变式： 题型一、算术运算    解析：当每天口服这种药物120 mg,分2次服用时,一次服用这种药物的剂量最多,为60 mg;当每天口服这种药物60 mg,分3次服用时,一次服用这种药物的剂量最少,为20 mg.故一次服用这种药物的剂量所在的范围是20~60 mg. 某种药品的说明书上,贴有如图所示的标签,一次服用这种药品的剂量范围是　　　　    mg. 20~60 题型剖析 题型二、正数和负数 例2： 解析： 火星表面某些地区白天的气温可达零上20 ℃,记作+20 ℃,夜晚的气温可低至零下129 ℃,应记作 (        ) A.+129 ℃　　　    B.-129 ℃ C.+149 ℃　　　    D.-149 ℃ 零上为正,则零下为负,故选B.   B 题型剖析 题型二、正数和负数 正数和负数的解题技巧 1.数轴法（最直观）：右边的数永远比左边的大。 2. 法则法： 正数 > 0 > 负数 口诀： 遇零先判断，符号是关键。 题型剖析 题型二、正数和负数 变式：    解析:“向东”与“向西”相对,若向东走60米记作+60米, 则向西走80米可记作-80米.故选A. 　  A 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米,则向西走80米可记作 (　    ) A.-80米　　　    B.0米　　　    C.80米　　　    D.140米 题型剖析 题型三、数轴 例3： 如图,未标出原点的数轴上有A,B,C,D,E,F六个点,若相邻两点之间的距离相等,则点C所表示的数是 (　    )   A.7　　　    B.10　　　    C.13　　　    D.15 解析 ： 由题意得AF=22+3=25,∵AF=AB+BC+CD+DE+EF, AB=BC=CD=DE=EF,∴AC= AF=10,∴点C所表示的数是7, 故选A.   A 题型剖析 题型三、数轴 数轴的解题技巧 准确识别或画出数轴的“三要素”： 1. 原点 (0点)：基准点。 2. 正方向：通常是向右的箭头。 3. 单位长度：每个小格代表多少。单位长度必须统一。 口诀：先找原点，再看方向，数清单位长度是关键。 题型剖析 变式：数轴上两点M,N表示的数分别为2,n,若MN=3,则n= (　    ) A.-1或5　　　      B.1或-5 C.-1　　　     D.1 题型三、数轴 解析 ：当点N在点M的左侧时,n=-1,当点N在点M的右侧时, n=5.故选A. A 题型剖析 题型四、绝对值和相反数 例4：|x-2|+3的最小值是 (　    ) A.0　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.5 解析：根据绝对值的性质得|x-2|≥0,所以|x-2|+3≥3, 所以|x-2|+3的最小值是3,故选C.    C 题型剖析 绝对值和相反数口诀 相反数，看符号， 一正一负是对着； 绝对值，看距离， 永远非负没关系。” 题型四、绝对值和相反数 题型剖析 变式： 题型四、绝对值和相反数 若|a-2|+|b-1|=0,求2 025-(a-b)的值. 解析　∵|a-2|+|b-1|=0,|a-2|≥0,|b-1|≥0, ∴a-2=0,b-1=0, 解得a=2,b=1, ∴2 025-(a-b)=2 025-(2-1)=2 024. 题型剖析 例5： 题型五、有理数的加减运算 把(-5)-(-3)+(+1)-(-6)写成省略加号和括号的和的形式是 (　    ) A.-5-3+1-6　　　    B.5+3+1+6 C.-5+3+1+6　　　    D.5-3+1-6   C 解析:  (-5)-(-3)+(+1)-(-6)=(-5)+(+3)+(+1)+(+6)=-5+3+1+6. 故选C.   题型剖析 题型五、有理数的加减运算 核心技巧四步法 第一步：统一成加法： 减法转化为加法。 第二步：省略加号与括号 第三步：同号结合，凑整优先 第四步：异号相加看绝对值 题型剖析 题型五、有理数的加减运算 变式： 计算: (1)56+(-18)+37; (2)12-(-18)+(-7)-15; (3)(-2)+3+19-11; (4)0-(+4)+(-6)-(-8); (5)-9+5-(+11)-(-16). 题型剖析 题型五、有理数的加减运算 变式：  (1)56+(-18)+37 =56-18+37 =75. (2)12-(-18)+(-7)-15 =12+18-7-15 =8. (3)(-2)+3+19-11 =-2+3+19-11 =9. (4)0-(+4)+(-6)-(-8) =0-4-6+8 =-2. (5)-9+5-(+11)-(-16) =-9+5-11+16 =1. 题型剖析 题型六、有理数的乘除运算 例6： 解析：  ×12 = ×12+ ×12- ×12-1×1 =3+2-6-12 =5-18 =-13. 计算:  ×12=　    . -13 题型剖析 题型六、有理数的乘除运算 有理数的乘除运算核心法则 1.除法运算核心技巧：转化为乘法 2.先定符号，再算数值 3. 同号得正，异号得负。 4.积的符号由负因数的个数决定： 题型剖析 题型六、有理数的乘除运算 变式：在学习有理数的乘法时,李老师和同学们做了这样一个游戏:将2023这个数说给第一名同学,第一名同学将它减去它的  的结果告诉第二名同学,第二名同学再将听到的结果减去它的  的结果告诉第三名同学,第三名同学再将听到的结果减去它的  的结果告诉第四名同学,……,照这样的方法直到全班40名同学全部传完,最后一名同学将听到的结果告诉李老师.你知道最后的结果吗? 解析： 最后的结果为2023× × × ×…×  =2 023× ×  ×  ×…×  =  . 题型剖析 题型七、有理数的乘方 例7： 解析：　=3×3×3=27 =2×2×2×2 =16 计算 题型剖析 题型七、有理数的乘方 有理数的乘方的步骤 1.认底数 ：首先圈出底数，明确谁的几次方 2. 定符号 ：奇负偶正，先确定结果的符号。 3. 算数值：计算底数绝对值的乘方。 4. 得结果：将符号和数值结合起来，写出最终答案。 题型剖析 变式： 题型七、有理数的乘方 已知-34的底数为m,指数为n,(-1)50的底数为x,幂为y, 求(m-n)y-x的值.   解析：　由题意,得m=3,n=4,x=-1,y=1, ∴(m-n)y-x=(3-4)1-(-1)=1. 题型剖析 题型八、科学记数法 例8： 解析：  20.3亿年=2 030 000 000年=2.03×109年.故选B. 国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究,精确测定了月球的年龄是20.3亿年,数据20.3亿年用科学记数法表示为 (　    ) A.2.03×108年　　　    B.2.03×109年 C.2.03×1010年　　　    D.20.3×109年 B 题型剖析 题型八、科学记数法 1.科学记数法 解题技巧四步法 确定系数 确定指数 写出完整形式 检查验证 检查系数 𝑎 是否满足 1≤∣𝑎∣<10 2.科学记数法的还原技巧 若 𝑛>0： 将 𝑎 的小数点向右移动 𝑛 位。位数不够时补0。 若 𝑛<0： 将 𝑎的小数点向左移动 ∣𝑛∣ 位。 位数不够时补0，并在整数部分写0。 题型剖析 题型八、科学记数法 变式： 解析：1.012×108=101 200 000=1.012亿.故选B. B 绿水青山就是金山银山”,某地积极响应党中央号召,大力推进农村厕所革命,已经累计投资1.012×108元.数据1.012×108表示的数为 (　    ) A.10.12亿　　　    B.1.012亿　　　    C.101.2亿　　　    D.1 012亿 题型剖析 题型九 有理数的混合运算 例9： 解析：甲:9-42÷8=9-16÷8=9-2=7,故甲的做法不正确;乙:24-4×32=24-4×9=24-36=-12,故乙的做法不正确;丙:(36-12)÷ =36× -12× =16,故丙的做法正确;丁:(-3)2÷ ×3=9×3×3=81,故丁的做法不正确.故选C. c 在数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题, 甲:9-42÷8=1÷8=  ; 乙:24-4×32=24-4×6=0; 丙:(36-12)÷  =36×  -12×  =16; 丁:(-3)2÷  ×3=9÷1=9. 其中做对的同学是 (　    ) A.甲　　　    B.乙　　　    C.丙　　　    D.丁 题型剖析 题型九 有理数的混合运算 运算顺序口诀 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右； 括号优先，从里到外。 运算级别从高到低详解： 1. 括号： { } → [ ] → ( ) 2. 乘方： 3. 乘、除： ×, ÷ (同级) 4. 加、减： +, - (同级) 题型剖析 题型九 有理数的混合运算 变式： 解析：当x=-1时,-1×4-(-1)=-3>-5,当x=-3时,-3×4-(-1)=-11<-5, 故选C. C 如图所示的是一个简单的数值运算程序,若开始输入x=-1,则最后输出的结果是 (　    )   A.-3　　　    B.-5　　　    C.-11　　　    D.-19 题型剖析 题型十 用计算器进行计算 例10： B 1.用计算器计算230,按键顺序正确的是 (　    ) A.  B.  C.  D.  解析　根据用计算器求数的整数指数幂的方法进行计算. 题型剖析 题型十 用计算器进行计算 通用解题技巧四步法 第一步：脑估 先用人脑进行粗略估算 第二步：式译 完整的数学算式“翻译”成计算器的按键序列 第三步：执行 第四步：核对 计算器结果与第一步的“脑估”结果进行对比 题型剖析 题型十 用计算器进行计算 某同学在用计算器计算若干个有理数加减运算时,得到的 运算结果为365.5,但后来他发现把算式中的-12错误输入为+ 12,那么正确的结果应为_________ . 341.5 解析:　把-12错误输入为+12,得到的结果比原结果多24, 所以正确的结果是365.5-24=341.5. 变式： 题型剖析 1． 解析  90× ÷ =120. 甲数的 与乙数的 相等,已知甲数为90,则乙数为________. 120 针对训练 2． 解析： 高于标准为正,则低于标准为负,2.00-1.75=0.25(m),故小亮跳了1.75 m,应记作-0.25 m.故选B.     B 在体育课的立定跳远测试中,以2.00 m为标准,若小明跳了2.3 5 m,可记作+0.35 m,若小亮跳了1.75 m,则应记作 (　    ) A.+0.25 m　　　    B.-0.25 m C.+0.35 m　　　    D.-0.35 m 针对训练 3. 解析　  D 如图,圆的周长为4个单位长度,在该圆的4等分点处分别标上0,1,2,3,先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合,再将圆沿着数轴向右做无滑动的滚动,则圆周上与数轴上表示2 022的点重合的点所表示的数字为(　   ) A.0　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.3 : 圆转一周为4个单位长度,2 022+1=505×4+3,当圆滚动505周时,圆周上表示0的点与数轴上表示2 019的点重合,再往右滚动3个单位长度,圆周上表示3的点与数轴上表示2 022的点重合,故选D. 针对训练 4． 解析：　 若a为有理数,且满足|a|=-a,则(　    ) A.a>0　　　    B.a≥0 C.a<0　　　    D.a≤0 ∵|a|=-a,负数和零的绝对值等于它的相反数, ∴a一定是负数或零.故选D. D 针对训练 5． 解析： 如图所示的是根据幻方改编的“幻圆”游戏,将-3,2,-1,0,1,-2,3,-4分别填入图中的圆圈内,使横行、竖行以及内圈、外圈上的4个数字之和都相等.已知图中△,☉分别表示一个数,则△+☉的值为 (　    )   A.-4　     B.1　     C.-2或3　     D.-2 将-3,2,-1,0,1,-2,3,-4分别填入图中的圆圈内,共有2种填法, 所以△+☉的值为-2或3,故选C.   C 针对训练 6． C 已知16.47×24=395.28,那么16.47×34的得数比395.28多(　    ) A.16.47　　　    B.395.28　　　    C.164.7　　　    D.559.98 解析:因为16.47×34-16.47×24=16.47×(34-24)=16.47×10=164.7, 所以16.47×34的得数比395.28多164.7,故选C. 针对训练 7．  已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示,下列结论: ①  <0; ②ab>0;③a-b<0;④-a<-b;⑤a<b.其中正确的有 (　    )   解析:　 D A.3个　　　    B.4个　　　    C.5个　　　    D.2个 根据数轴,得b<0<a,∴a、b异号,∴ <0,ab<0,故结论①正确,结论②不正确; ∵b<0<a,∴a-b>0,故结论③不正确;∵b<0<a,∴-a<0<-b,即-a<-b,故结论④ 正确;a>b,故结论⑤不正确,综上所述,正确的结论有2个.故选D. 针对训练 8． 《孙子算经》中记载:“凡大数之法,万万曰亿,万亿曰兆”,说明了大数之间的关系:1亿=1万×1万,1兆=1万×1万×1万.将1兆用科学记数法表示为 (　    ) A.1×1012　　　    B.10×1015　　　     C.1×1016　　　    D.0.1×1017 解析:   1兆=1万×1万×1万=10 000×10 000×10 000=1×1012.故选A. A 针对训练 9． 如图所示,将-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7这10个数分别填写在五角星每两条线的交点处(每个交点处只填写一个数),将每条线上的四个数相加,共得5个数,设为a1,a2,a3,a4,a5,求 (a1+a2+a3+a4+a5)的值;交换其中任何两数的位置后, (a1+a2+a3+a4+a5)的值是否改变?说明理由.   解析:   (a1+a2+a3+a4+a5)=-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25. 交换其中任何两数的位置后, (a1+a2+a3+a4+a5)的值不变. 理由:因为a1+a2+a3+a4+a5的值是交点处的这十个数的和的2倍,所以  (a1+a2+a3+a4+a5)的值等于这十个数的和. 针对训练 10． 数学课上老师出了一道题,计算:1+21+22+23+24+25+26+27+28+29, 老师在教室巡视了一圈,发现同学们都做不出来,于是给出答案: 解:令s=1+2+22+23+24+25+26+27+28+29,① 则2s=2+22+23+24+25+26+27+28+29+210,② ②-①得s=210-1. 根据以上方法计算下列问题,要求写出过程,结果用幂表示. (1)1+2+22+23+…+22 023;(2)1+3+32+33+…+32 023. 针对训练 10． 解析    (1)设s=1+2+22+23+…+22 023①, 则2s=2+22+23+…+22 023+22 024②, ②-①,得s=22 024-1,即1+2+22+23+…+22 023=22 024-1. (2)设s=1+3+32+33+…+32 023①, 则3s=3+32+33+…+32 023+32 024②, ②-①,得2s=32 024-1,∴s= , ∴1+3+32+33+…+32 023=   . 针对训练 11． 观察下列等式:  =1-  ,  = -  , =  -  , 将以上三个等式两边分别相加得  + + =1- + - + - =1- = . (1)猜想并写出: =　　　    ; (2)直接写出下列各式的计算结果: ① + + +…+ =　　　　　　　　　; ② + + +…+ =　　　　　　　　　  ; (3)探究并计算: + + +…+ . 针对训练 11． 解析    (1) -  . (2)①  . ②  . (3) + + +…+  = ×  = ×  = × = . 针对训练 ✅ 知识构建：有理数及其运算 概念→分类→有理数的加减乘数→有理数的乘方 →有理数的混合运算→科学记数法→用计算器计算 ✅ 思想方法： 转化与化归思想、数系扩充思想、程序化思想、分类讨论、 建模思想、符号思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $