4.阶段学情调研(一)-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 同步调研卷（上） 九年级12N 4.阶段学情调研（一） 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒貿 1咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(期中·2023-2024长春朝阳区)将一元二次方程x(x-3)-(x-1)=4化为一般形式，正确的是( A.x2-4x+1=0 B.x2-4x-1=0 C.x2-4x-3=0 D.x2-4x-5=0 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当AC=BD时，它是矩形 D.当∠ABC=90时，它是正方形 B (o 第2题图 第4题图 第6题图 3.（期中·2023-2024济南市中区)在一个不透明的盒子中装有红球和白球共30个，这些球除颜色 外无其他差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀.通过大量的实验后发现 批 摸出的球是白球的频率稳定在0.4，则盒子中白球的个数可能是( A.4 B.8 C.12 D.16 4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边上的一点，P是AD的中点，若AC的垂直平分线经 过点D,DC=8,则BP=( A.8 B.6 崇 C.4 D.2 5.（月考·2023-2024深圳实验学校)若关于x的方程(m+1)x2-2x+1=0有实数解，则m的取值范围 是() 些加 H A.m<1 B.m≤0且m≠-1 C.m≤0 D.m<0 圍 6.若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C),直到摘完，则最后一 只摘到A的概率是() 1 B司 号 D. 7.（期中·2023-2024长春朝阳区)某制造厂七月份生产零件25万个，第三季度生产零件91万个.若 该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是() A.25(1+x)2=91 B.25+25(1+x)2=91 C.25+25(1+x)+25(1+2x)=91 D.25+25(1+x)+25(1+x)2=91 8.如图所示，点O为矩形ABCD对角线的交点，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停 止.延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( A.一般平行四边形→正方形→一般平行四边形→矩形 B.一般平行四边形→正方形→菱形→矩形 C.一般平行四边形→菱形→一般平行四边形→矩形 第8题图 D.一般平行四边形→菱形→正方形→矩形 9.新定义问题（月考·2022-2023华南师大附中）给出一种运算：对于函数y=x,规定y=x-1, 若函数y=x4,则有y*=4x.已知函数y=x,则方程y*=9x的解是() A.x=3 B.x=-3 C.x1=0,x2=3 D.x1=0,x2=-3 10.(期中·2023-2024西安滨河学校)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB,DF⊥CD,垂 足分别为B,D,若AB=9cm,则EF的长是( D )cm A.2√2 拒绝盗印 B.6 C.33 第10题图 D号5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.菱形ABCD的对角线AC=6cm,BD=8cm,则该菱形的面积为 cm2. 12.（期末·2023-2024广州海珠区)若a是一元二次方程x2-2x-1012=0的一个根，则4a-2a2的值 为 13.情境题4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到1件产品合 格1件产品不合格的概率是 14.(期末·2023-2024天津红桥区)已知x1,x2是关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0的两个实数根， 若x2=2x,则m的值为 15.(联考·2023-2024沈阳铁西区)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点E为直线BC上一动点， 连接AE,将△ABE沿AE翻折得到△ABE,当点B恰好落在直线CD上时，BE的长为 >B B… B E 第15题图 第16题图 16.如图，在正方形ABCD中，AB=2,点E,F分别在边BC和CD上，AE=AF,∠EAF=60°，则 CF的长是 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.（期中·2023-2024贵阳南明区)(8分) 用适当的方法解下列方程： (1)x2-1=0. (2)x2-3x+1=0. 精品图书 金星教育 18.情境题（中考·2023广州市节选）(6分)甲、乙两位同学相约打乒乓球.双方约定：两人各投掷 一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发 球.这个约定是否公平？为什么？ 19.(月考·2022-2023中国科技大学附中)(6分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AM⊥BC,垂 足为M,AN⊥DC,垂足为N,若∠BAD=∠BCD,AM=AN.求证：四边形ABCD是菱形 第19题图 20.(期末·2023-2024东北师大附中)(6分)甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们 分别在1至3层的任意一层出电梯 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 (2)请你用画树状图（或列表法）求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率. 3 2 1 车库 第20题图 烯 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数) (1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值 最 为 (2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线长？若存在， 求飞的值；若不存在，请说明理由. 图 ☒图 0咖00 製 22.探究性问题(8分)如图，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点， PG⊥AC于点G,PH⊥AB于点H (1)求证：四边形AGPH是矩形 (2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说 明理由. 精 批 金星教育 G 第22题图 巡咖 阳腳 1 23.情境题（期中·2023-2024沈阳南昌中学）(8分)某景区5月的游客人数比4月增加60%，6月的 游客人数比5月减少了10% (1)设该景区4月的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 (2)求该景区5月、6月游客人数的月平均增长率 (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出 20件.通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件.若日利润保持不变，商家 想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 24.情境题（期中·2023-2024贵阳南明区）(10分)中秋节期间，某商场销售四种不同口味的月饼， 分别是火腿、蛋黄、豆沙、五仁四种口味（分别记作A,B,C,D),商场为了了解顾客对这几种月 饼的喜爱情况，随机调查了部分顾客，要求顾客从这四种不同的月饼中选出一种自己喜欢的月 饼.现将调查结果绘制成如下统计表和统计图： 月饼种类 频数/人 频率 A b 0.3 B 80 0.4 C 40 D 20 0.1 十人数 100 80 60 % 40 0 20. A B D 月饼种类 第24题图 根据以上信息，回答下列问题： (1)a= ,参与本次调查的顾客共有 (2)补全条形统计图 (3)小明的妈妈买了3个月饼装在了一个不透明的袋中，3个月饼包含1个火腿月饼、1个蛋黄月 饼、1个豆沙月饼，若小明从袋中随机摸出2个月饼，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这 2个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率 金星教有 25.(期中·2023-2024沈阳浑南区)(12分)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD 所在的直线上，连接AE,以AE为边，作正方形AEFG(点A,E,F,G按顺时针排列) (1)如图，当点E在线段CD上时，若CE=3,连接BG ①求点G到AB的距离， ②请直接写出BG的长 (2)当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上（不与点D重合）时，求正方形AEFG的面积. B G D E D D 备用图① 备用图② 第25题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 6-人数 80 70 70 60 50 0 3 30 30 20 20 10 0 C D E类别 第25题答图① (2)54 (3)画树状图如图② 开始 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 第25题答图② 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结 果有2种， :恰好选中甲和乙两名同学的概率为后一名 4.阶段学情调研（一） 1.C 2.D【解析】A.'四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,.四 边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B.四边形ABCD 是平行四边形，AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形，故本选项不 符合题意：C.,四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,.四 边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D.,四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形，不一定 是正方形，故本选项符合题意.故选D. 3.C 4.C【解析】点D在AC的垂直平分线上，.DA=DC=8. ∠ABC=90,P是AD的中点，BP=号AD=4.故选C. 5.C【解析】当m+1=0时，即m=-1,方程化为-2x+1=0,解 得x=;当m+1≠0时，4=(-2)2-4(m+1)≥0，解得m≤0 且m≠-1，综上所述，m的取值范围为m≤0.故选C. 6.B【解析】画树状图如图，共有3种等可 开始 能的结果，其中最后一只摘到A的情况有1 种，最后一只摘到A的概率是号故选B。 A 7.D A B 8.C【解析】连接AC(图略)，：四边形 ABCD是矩形，.AB∥CD,AB=CD,B B A OA=OC,.∠OAE=∠OCF,∠AEO= 第6题答图 ∠CFO,∴.△OAE≌△OCF,.AE=CF.AE,CF分别一直 在矩形ABCD的边AB,CD上，∴.AE∥CF,.四边形AECF是 平行四边形.当AE=CE时，平行四边形AECF是菱形，当点E 运动到点B时，平行四边形AECF是矩形，∴.在整个过程中四边 形AECF的形状依次为一般平行四边形→菱形→一般平行四边 形→矩形.故选C 9.C【解析】根据题意，由y=9x,得3x2=9x,整理得3x2) 9x=0,解得x1=0,x2=3.故选C. 真题圈数学九年级12N 10.C【解析】如图，连接BD交AC D 于点O,则A0=C0,B0=DO. ,四边形ABCD是菱形，.AD A =AB,∠DAC=∠BAC= ∠DCA=∠BCA,AC⊥BD B ,∠DAB=60°，.△ABD 第10题答图 是等边三角形，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30°， BD=AB=9 cm,8 cm. 2(m4C=20A=5cm在R△Bs中，：∠CB =30°，∴.AE=2BE.根据勾股定理得BE+AB2=AE,即 BE+92=(2BE)2,解得BE=3V3cm(负值已舍去)，∴.AE= 6V3cmBE⊥AB,DF⊥CD,.∠CDF=∠ABE=90°， .△CDF≌△ABE(ASA),.AE=CF=6N3cm,.EF= AE+CF-AC =33 cm. 11.24 12.-2024【解析】：a是一元二次方程x2-2x-1012=0的一 个根，∴.a2-2a-1012=0,.2a-a2=-1012,∴.4a-2a2= -2024.故答案为-2024. 13.号【解析】把2件合格产品记为A,B,2件不合格产品记为C, D,画树状图如图，共有12种等可能的结果，抽到1件产品合 格1件产品不合格的有8种，∴.抽到1件产品合格1件产品 不合格的概率是吕=号·故答案为号 开始 B D 个 B C DA C D A B D A B C 第13题答图 14.4【解析】：x,x2是关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0 的两个实数根，杯，=3x,=空“=2x=1, 书=2，小x3=罗=2，心m=4故答案为4 15.多或10【解析】由翻折可得AB=AB=5,EB=BE:四 边形ABCD为矩形，.AD=BC=4,CD=AB=5,∠ADC =∠DCB=90°，.DB'=V52-42=3. 如图①，当点E在BC上时，CB=5-3=2,设CE=x,则EB =BE=4-x. 在Rt△ECB中，(4-x2=+2,解得x=多，BE=BC-CE -435 2-2 A B A<------D E B ① ② 第15题答图 如图②，当点E在BC的延长线上时，CB=3+5=8,设CE=y, 则EB=BE=y+4. 答案与解析 在Rt△ECB中，y44)2=y2+82,解得y=6, ∴.BE=BC+CE=4+6=10. 故答案为号或10. 16.25-2【解析】·四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD= BC=CD=2,∠B=∠D=90°.，AE=AF,.Rt△ABE≌ Rt△ADF(HL),∴.BE=DF,∴.CE=FC.令FC=x,则BE =BC-CE=2-x,.A2=AB2+B2=22+(2-x)2,EF2= CE+CF=2x2.:AE=AF,∠EAF=60°，.△AEF是等边 三角形，∴.EF=AE,即22+(2-x)2=2x2,∴.x=2√5-2（负 值已舍去)，∴.CF=2√3-2.故答案为23-2. 17.【解】(1)x2-1=0, (x-1)(x+1)=0, .x1=1,x2=-1. (2)x2-3x+1=0. a=1,b=-3,c=1, 4=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=9-4=5>0, =3455=35 2 18.【解】公平，理由如下： 画树状图如图· 开始 第一枚 正 反 7 第二枚正反正反 第18题答图 一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部 反面向上的结果有2种， :P(甲先发球)=子=， P(乙先发球)=子=方 ,P(甲先发球)=P(乙先发球)，∴这个约定公平 19.【证明】：AD∥BC, ∴.∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°. ∠BAD=∠BCD,.∠B=∠D, .四边形ABCD是平行四边形， AM⊥BC,AN⊥DC, ∴.∠AMB=∠AND=90°. ∠B=∠D 在△ABM和△ADN中，{∠AMB=∠AND=90°， AM=AN. .△ABM≌△ADN(AAS),∴.AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形. 20.【解11)号 (2)画树状图如图」 开始 甲 乙12312312 第20题答图 一共有9种等可能的情况，甲、乙在同一楼层出电梯的情况有 3种，·P(甲、乙在同一楼层出电梯)=}-号 60 21.【解】(1)，·方程的两根为菱形相邻两边长， ∴.此方程有两个相等的实数根 ∴.4=0，∴.[-2(k+1)]2-4(2+k+3)=4k-8=0,∴.k=2. (2)不存在，理由如下： 设菱形的两对角线长为a,b. ,该方程的两根是菱形的两对角线长， ∴.a+b=2(k+1),ab=2+k+3. :菱形的边长为2，且两对角线互相垂直平分， 由向定里联)图-4 ∴.b2+2ab+a2-2ab=16,(a+b)2-2ab=16, [2(k+1)]2-2(+k+3)=16, 解得k=-3±35 2 :方程x2-2(k+1)x+2+k+3=0的根的判别式4=4k-8,要 使该方程有根，则4k-8≥0，.k≥2. :k=3士35<2，“不存在满足条件的常数无 2 22.(1)【证明】AC=9,AB=12,BC=15, ∴.AC=81,AB2=144,BC2=225, .AC2+AB2 BC2, ,∴.△ABC为直角三角形，且∠A=90° 'PG⊥AC,PH⊥AB, '.∠AGP=∠AHP=90°， .四边形AGPH是矩形 (2)【解]存在.如图， 连接AP ,四边形AGPH是矩形， .GH=AP :当AP⊥BC时，AP最短， .此时GH的长度最小. D B :此时Sac=分4C·AB 第22题答图 BC.AP, ∴.9×12=15·AP, P=9, GH的长度最小值为36 23.【解1(1)1.6a1.44a (2)该景区5月、6月游客人数的月平均增长率为x, 根据题意得a(1+x)2=1.44a, 解得x,=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：该景区5月、6月游客人数的月平均增长率为20% (3)设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为(y-40)元，每 天可卖出20+2(60-y)=(140-2y)件， 根据题意得(0y-40)(140-2y)=(60-40)×20, 整理得y2-110y+3000=0, 解得y,=50,y2=60(不符合题意，舍去). 答：每件售价应定为50元. 24.【解】(1)0.2200 (2)b=200×0.3=60, 补全条形统计图如图。 人数 100 -- 80 80 60 60 40 40 20 20 0 A B D月饼种类 第24题答图 (3)列表如下： A B C A (A,B) (A,C) (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 由表可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的这2个月饼是 火腿月饼和蛋黄月饼的结果有(A,B),(B,A,共2种， ·摸出的这2个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率为名=背 25.【解】(1)①如图①，过点G作GH⊥直线AB于点H,则∠H= 90°. "四边形ABCD是边长为4的正方形，CE=3, .CD=4,DE=4-3=1,∠D=∠BAD=90° ,四边形AEFG是正方形，.AG=AE,∠EAG=90°， ..∠EAD+∠DAG=90°. .∠DAH=180°-∠BAD=90°， .∠GAH+∠DAG=90°，..∠EAD=∠GAH, ∠D=∠H=90°， 在△AED和△AGH中，{∠EAD=∠GAH, AE=AG, ∴.△AED≌△AGH(AAS), .AH=AD=4,GH=DE=1,.点G到AB的距离为1. ②BG=√65 (2)①当点F在直线BD上时，如图②，过点F作FM⊥CD,交 CD的延长线于点M,则∠M=90°. :四边形ABCD是正方形，.∠BDC=45°，∠ADE=90°， ∴.∠FDM=∠BDC=45°，∠AED+∠EAD=90°， ∴.△DFM是等腰直角三角形，∴.DM=FM ,四边形AEFG是正方形，.EF=AE,∠AEF=90°， .∠AED+∠FEM=90°，，∴.∠EAD=∠FEM ∠ADE=∠M, 在△AED和△EFM中，{∠EAD=∠FEM, AE=EF, ..△AED≌△EFM(AAS), .DE FM,AD EM,..DE DM=FM. DE+DM=EM,.2DE AD=4,.DE =2. 在Rt△ADE中，AE=AD+DE=42+22=20, ∴.正方形AEFG的面积为20. ②当点G在直线BD上时，过点G作GN⊥AD,交AD的延长 线于点N,如图③， 同理可得△AED≌△GAN(AAS), .GN=AD =4,AN=DE. ,∠ADB=∠NDG=45°，∠N=90°， .△DGN是等腰直角三角形，.DW=GW, 0 真题圈数学九年级12N .'DN=AD=4,.'AN =8. 在Rt△AGN中，AG2=ANW2+GW2=82+42=80, .正方形AEFG的面积为80 综上所述，正方形AEFG的面积为20或80. A B M .D ① ② 小 D F ③ 第25题答图 5.第四章学情调研 1C【解析：2a=3b(ab≠0)，号=多，故A选项错误，不符 合题意；C选项正确，符合题意；号=多，故B,D选项错误，不 符合题意.故选C. 2.C【解析】：AD∥BE∥CF, “怨=器，即导5DB=月 故选C. 3.C【解析△ABC∽△DEF,.∠F=∠C ∠A=30°，∠B=70°， ∴.∠C=180°-（∠A+∠B)=180°-(30°+70°）=80°， .∠F=∠C=80°， 即∠F的度数是80° 故选C 4.C【解析】：△ABCn△DE,且品=分△DEF与 △ABC的相似比为3：1.：△ABC的周长为2，∴.△DEF的 周长为2×3=6.故选C. 5.D【解析】A.两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A 不符合题意； B.两个等边三角形的形状相同，是相似图形，故选项B不符 合题意； C.两个等腰直角三角形的形状相同，是相似图形，故选项C不 符合题意； D.两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选 项D符合题意. 故选D 6.C【解析】·OA:OC=OB:OD=2,∠AOB=∠COD, .△AOB∽△COD,.AB:CD=2,AB:5=2,.AB= )10(cm.:外径为12cm,∴.10+2x=12,解得x=1(cm以.故选C.