第六章 直线与圆的方程 （B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章直线与圆的方程的单元测试卷，主要考查两点间距离公式和中点坐标公式、直线的倾斜角和斜率以及方程、两直线位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系等考点。 第六章 直线与圆的方程 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知两点 A (2, -3) 和 B (-1, 5)，则线段 AB 的长度为（ ）​ A. 5 B. C. D. 10 【答案】C 【分析】本题考查两点间距离公式的直接应用​． 【详解】根据两点间距离公式​d=，代入 A (2, -3) 和 B (-1, 5) 得： d=​=​. 故选：C 2. 直线​y=−​x+1的倾斜角为（ ）​ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°​ 【答案】C 【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的关系 【详解】直线斜率​k=−​，设倾斜角为​θ，则​tanθ=−​.​因为​0°≤θ<180°，所以​θ=120°. 故选：C 3. 过点 (2, -1) 且斜率为​​的直线方程是（ ）​ A. ​x−2y−4=0 B. ​x+2y=0 C. ​2x−y−5=0 D. ​2x+y−3=0 【答案】A 【分析】本题考查直线的点斜式方程及转化为一般式的能力. 【详解】由点斜式方程​y−​=k(x−​)得：​y−(−1)=​(x−2)，​ 整理得：​y+1=​x−1，即​x−2y−4=0.故选：A 4. 若线段 AB 的中点坐标为 (3, 4)，其中 A 点坐标为 (-1, 2)，则 B 点坐标为（ ）​ A. (2, 6) B. (7, 6) C. (2, 2) D. (7, 2) 【答案】B 【分析】本题考查线段中点坐标公式的逆用. 【详解】设 B 点坐标为​(x,y)，根据中点坐标公式​(,) 得：​=3，​​=4，解得​x=7，​y=6. 故选：B 5. 以点 (2, -3) 为圆心，半径为 5 的圆的标准方程为（ ） A.  +=25 B.  +=25 C. +=5 D.  +=5 【答案】A 【分析】圆的标准方程：+=，其中 (a,b) 为圆心，r 为半径 【详解】圆心 (2, -3)，半径 5，所以方程为 +=25. 故选：A 6. 直线​l1​:2x+y−1=0与直线​l2​:4x+2y+3=0的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 垂直 【答案】A 【分析】本题考查两条直线平行的判定条件 【详解】将两直线方程化为斜截式：​l1​:y=−2x+1，​l2​:y=−2x−23​。​ 因为斜率相等（​k1​=k2​=−2）且截距不相等（​b1​ b2​），所以两直线平行. 故选：A 7. 圆​x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是（ ）​ A. (2, -3)， B. (-2, 3)， C. (2, -3)，13 D. (-2, 3)，13 【答案】A 【分析】本题考查圆的一般方程转化为标准方程的能力 【详解】将圆方程配方：​x2−4x+y2+6y=(x−2)2−4+(y+3)2−9=0，即​ (x−2)2+(y+3)2=13，​所以圆心为 (2, -3)，半径​r=​. 故选：A 8. 过点 (0, 1) 且与圆​x2+y2=1相切的直线方程是（ ）​ A. ​y=1 B. ​x=1 C. ​y=x+1 D. ​y=−x+1 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相切的性质及切线方程的求法 【详解】点 (0,1) 在圆上，圆的圆心为 (0,0)，半径为 1。​ 过该点的半径所在直线斜率不存在（竖直线），所以切线斜率为 0，​切线方程为​y=1. 故选：A 9. 已知直线​y=x+1与圆​(x−1)2+y2=4的位置关系是（ ）​ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆位置关系的判定方法 【详解】圆心为 (1,0)，半径​r=2。圆心到直线的距离：​d=​=<2，所以直线与圆相交。​将圆心 (1,0) 代入直线方程：​0=1+1不成立，故不过圆心. 故选：D 10. 若直线​ax+2y+1=0与直线​x+y−2=0互相垂直，则 a 的值为（ ）​ A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】A 【分析】本题考查两条直线垂直的斜率关系 【详解】两直线斜率分别为​k1​=−2a​，​k2​=−1。​ 因为两直线垂直，所以​k1​ ⋅k2​=−1，即​(−​) (−1)=−1，​解得​a=−2. 故选：A 11. 已知点 A (1, 2)，B (3, 4)，则线段 AB 的垂直平分线方程是（ ）​ A. ​x+y−5=0 B. ​x−y+1=0 C. ​x+y+5=0 D. ​x−y−1=0 【答案】A 【分析】本题综合考查中点坐标公式和直线方程的求法. 【详解】AB 中点坐标为​(2,3)，AB 的斜率为​=1，​ 所以垂直平分线的斜率为​−1，由点斜式得：​y−3=−1(x−2)，​整理得​x+y−5=0​. 故选：A 12. 圆心在 y 轴上，半径为 2，且过点 (1, 2) 的圆的方程是（ ）​ A. ​x2+(y−2)2=4 B. ​x2+(y+2)2=4 ​C. ​(x−2)2+y2=4 D. ​(x+2)2+y2=4 【答案】A 【分析】本题考查圆的标准方程的求法. 【详解】设圆心坐标为 (0, b)，则圆方程为​x2+(y−b)2=4。​ 将点 (1,2) 代入得：​1+(2−b)2=4，解得​b=2，​所以圆方程为​x2+(y−2)2=4. 故选：A 13. 两条平行线​3x−4y+1=0与​3x−4y−4=0之间的距离是（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】本题考查两条平行线间距离公式的应用. 【详解】根据平行线距离公式​d=​得：​d=​=​=1. 故选：A 14. 若直线​y=kx+1与圆​x2+y2=1相交于 A、B 两点，且​∣AB∣=，则 k 的值为（ ）​ A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相交时弦长的计算方法. 【详解】圆心到直线的距离​d=​，半径​r=1。​ 由弦长公式​∣AB∣=2​得：​=2​​，​解得​k=±1. 故选：A 15. 已知点 P (x, y) 在圆​(x−2)2+(y−3)2=1上，则​x+y的最大值是（ ）​ A. 5+ B. 5- C. 6 D. 4 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用. 【详解】设​x+y=m，则直线​x+y−m=0与圆有公共点，​圆心 (2,3) 到直线的距离​ d=​1，​解得​5−​m5+​，所以最大值为​5+. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知点 M (3, -2)，N (-5, -1)，则线段 MN 的中点坐标是______． 【答案】(-1, -1.5) 【分析】本题考查中点坐标公式的直接应用 【详解】根据中点坐标公式得：​(,)=(−1,−)，即 (-1, -1.5) 17. 直线​y=2x+3关于 x 轴对称的直线方程是______ 【答案】y=−2x−3 【分析】本题考查直线关于坐标轴对称的性质 【详解】关于 x 轴对称的直线，横坐标不变，纵坐标变为相反数，​ 所以对称直线方程为​−y=2x+3，即​y=−2x−3 18. 圆​x2+y2=10与直线​x+y=2的位置关系是______（填 “相交”、“相切” 或 “相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆位置关系的判定 【详解】圆心 (0,0) 到直线的距离​d=​=​<​，所以直线与圆相交 19. 过点 (1, 2) 且与圆​x2+y2=5相切的直线方程是______ 【答案】​x+2y−5=0 【分析】本题考查圆的切线方程的求法 【详解】点 (1,2) 在圆上，切线方程为​1⋅x+2⋅y=5，即​x+2y−5=0 20. 已知点 A (2, 0)，B (0, 2)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是______ 【答案】​​(x−1)2+(y−1)2=2 【分析】本题综合考查中点坐标公式和圆的标准方程 【详解】圆心为 AB 中点 (1,1)，半径为​​∣AB∣=​​=​，​ 所以圆方程为​(x−1)2+(y−1)2=2 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知直线 l 经过点 P (2, 3)，且倾斜角为 60°。​ （1）求直线 l 的方程；​ （2）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积 【答案】（1）​y=​x+3−2；（2）​ 【分析】本题考查直线的点斜式方程及三角形面积计算 【详解】（1）直线斜率​k=tan60°=​，由点斜式得：​y−3=​(x−2)，整理得​y=​x+3−2​。（5 分）​ （2）直线与 x 轴交点：令​y=0，得​x=2−​=2−​；​与 y 轴交点：令​x=0，得​y=3−2​。​ 三角形面积​S=​∣2−3​∣⋅∣3−2​∣==​。（5 分）. 22．已知圆 C 的圆心在直线​x−y−1=0上，且经过点 A (1, 1) 和 B (2, -2)。​ （1）求圆 C 的方程；​ （2）求过点 P (3, 2) 且与圆 C 相切的直线方程。​ 【答案】（1）​(x+3)2+(y+4)2=25；（2）​y=2和​4x+3y−18=0 【分析】本题考查圆的方程求法及切线方程的综合应用 【详解】（1）设圆心坐标为 (a, a-1)，则​(a−1)2+(a−1−1)2=(a−2)2+(a−1+2)2，​ 解得​a=−3，圆心为 (-3, -4)，半径​r=5，​圆方程为​(x+3)2+(y+4)2=25。（5 分）​ （2）当直线斜率不存在时，直线​x=3与圆不相切；​当斜率存在时，设切线方程为​y−2=k(x−3)，即​kx−y−3k+2=0，​圆心到直线距离​d=​=5，解得​k=0或​k=−​，​ 切线方程为​y=2和​4x+3y−18=0。（5 分）. 23．已知直线​l1​:3x+4y−5=0与直线​l2​:2x−3y+8=0相交于点 P。​ （1）求点 P 的坐标；​ （2）求过点 P 且与直线​l3​:2x+y+1=0平行的直线方程 【答案】（1）(-1, 2)；（2）​2x+y=0 【分析】本题考查两条直线的交点求解及平行直线方程的求法. 【详解】（1）解方程组​，​ 由第一个方程得​3x=5−4y，​x=​ 代入第二个方程：​2−3y+8=0，解得​y=2，则​x=−1，所以 P (-1, 2)。（5 分）​ （2）设所求直线方程为​2x+y+m=0，将 P (-1, 2) 代入得：​−2+2+m=0，​m=0，所以直线方程为​2x+y=0。（5 分）. 24．某公园有一个圆形花坛，其方程为x2+y2=16。现在要在花坛内修建一个矩形的亭子，亭子的四个顶点都在花坛的圆周上。求这个矩形亭子的最大面积 【答案】32 【分析】圆内接矩形中，面积最大的是正方形 【详解】设矩形长为2a，宽为2b，则顶点坐标满足a2+b2=42=16。 面积 S = (2a)(2b) = 4ab。 由不等式，ab≤​=8，当 a=b 时取等号。 所以最大面积 Smax = 4×8 = 32。 因此，矩形亭子的最大面积为 32. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章直线与圆的方程的单元测试卷，主要考查两点间距离公式和中点坐标公式、直线的倾斜角和斜率以及方程、两直线位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系等考点。 第六章 直线与圆的方程 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知两点 A (2, -3) 和 B (-1, 5)，则线段 AB 的长度为（ ）​ A. 5 B. C. D. 10 2. 直线​y=−​x+1的倾斜角为（ ）​ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°​ 3. 过点 (2, -1) 且斜率为​​的直线方程是（ ）​ A. ​x−2y−4=0 B. ​x+2y=0 C. ​2x−y−5=0 D. ​2x+y−3=0 4. 若线段 AB 的中点坐标为 (3, 4)，其中 A 点坐标为 (-1, 2)，则 B 点坐标为（ ）​ A. (2, 6) B. (7, 6) C. (2, 2) D. (7, 2) 5. 以点 (2, -3) 为圆心，半径为 5 的圆的标准方程为（ ） A.  +=25 B.  +=25 C. +=5 D.  +=5 6. 直线​l1​:2x+y−1=0与直线​l2​:4x+2y+3=0的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 垂直 7. 圆​x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是（ ）​ A. (2, -3)， B. (-2, 3)， C. (2, -3)，13 D. (-2, 3)，13 8. 过点 (0, 1) 且与圆​x2+y2=1相切的直线方程是（ ）​ A. ​y=1 B. ​x=1 C. ​y=x+1 D. ​y=−x+1 9. 已知直线​y=x+1与圆​(x−1)2+y2=4的位置关系是（ ）​ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 10. 若直线​ax+2y+1=0与直线​x+y−2=0互相垂直，则 a 的值为（ ）​ A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 11. 已知点 A (1, 2)，B (3, 4)，则线段 AB 的垂直平分线方程是（ ）​ A. ​x+y−5=0 B. ​x−y+1=0 C. ​x+y+5=0 D. ​x−y−1=0 12. 圆心在 y 轴上，半径为 2，且过点 (1, 2) 的圆的方程是（ ）​ A. ​x2+(y−2)2=4 B. ​x2+(y+2)2=4 ​C. ​(x−2)2+y2=4 D. ​(x+2)2+y2=4 13. 两条平行线​3x−4y+1=0与​3x−4y−4=0之间的距离是（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 若直线​y=kx+1与圆​x2+y2=1相交于 A、B 两点，且​∣AB∣=，则 k 的值为（ ）​ A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0 15. 已知点 P (x, y) 在圆​(x−2)2+(y−3)2=1上，则​x+y的最大值是（ ）​ A. 5+ B. 5- C. 6 D. 4 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知点 M (3, -2)，N (-5, -1)，则线段 MN 的中点坐标是______． 17. 直线​y=2x+3关于 x 轴对称的直线方程是______ 18. 圆​x2+y2=10与直线​x+y=2的位置关系是______（填 “相交”、“相切” 或 “相离”） 19. 过点 (1, 2) 且与圆​x2+y2=5相切的直线方程是______ 20. 已知点 A (2, 0)，B (0, 2)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是______ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知直线 l 经过点 P (2, 3)，且倾斜角为 60°。​ （1）求直线 l 的方程；​ （2）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积 22．已知圆 C 的圆心在直线​x−y−1=0上，且经过点 A (1, 1) 和 B (2, -2)。​ （1）求圆 C 的方程；​ （2）求过点 P (3, 2) 且与圆 C 相切的直线方程。​ 23．已知直线​l1​:3x+4y−5=0与直线​l2​:2x−3y+8=0相交于点 P。​ （1）求点 P 的坐标；​ （2）求过点 P 且与直线​l3​:2x+y+1=0平行的直线方程 24．某公园有一个圆形花坛，其方程为x2+y2=16。现在要在花坛内修建一个矩形的亭子，亭子的四个顶点都在花坛的圆周上。求这个矩形亭子的最大面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $