第五章 指数函数与对数函数 （B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查指数函数与对数函数的基本概念、根式与分数指数幂的互化及运算、指数函数的图象与性质、对数的运算性质、对数函数的图象与性质、指数函数与对数函数的简单应用等考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列各式中，正确的是（ ）​ A.​=​ B. ​​=​ C. = D. ​​= 【答案】B 【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化​． 【详解】根据根式与分数指数幂的互化规则，​=，所以​​=​. 故选：B 2. 计算​×的结果是（ ）​ A. ​ B. C. ​2 D. ​​ 【答案】C 【分析】本题考查指数幂的运算性质 【详解】根据指数幂运算性质​×=，可得​×===2. 故选：C 3. 下列函数中，是指数函数的是（ ）​ A. ​y= B. ​y= C. ​y= D. ​y= 【答案】C 【分析】本题考查指数函数的概念 【详解】指数函数的一般形式为​y=（​a>0且​a=1）。选项 A 是二次函数，选项 B 是指数型函数，选项 D 中底数为负数不符合定义，只有选项 C 符合指数函数定义.故选：C 4. 下列函数中，在​R上单调递增的是（ ）​ A. ​y= B. ​y= C. ​y= D. ​y= 【答案】C 【分析】本题考查指数函数的单调性 【详解】指数函数​y=，当​a>1时在​R上单调递增，当​0<a<1时在​R上单调递减。选项 A、B、D 的底数均小于 1，为减函数，只有选项 C 的底数大于 1，为增函数. 故选：C 5. 函数​y=的图像必经过点（ ）​ A. ​(0,1) B. ​(1,2) C. ​(0,2) D. ​(−1,0) 【答案】C 【分析】本题考查指数函数的图像性质 【详解】当​x=0时，​y===2，所以函数图像必经过点​(0,2). 故选：C 6. 计算​的值是（ ）​ A. 2 B. 3 C. 4 D. ​21 【答案】B 【分析】本题考查对数的基本概念 【详解】因为​=8，根据对数定义​=c即​=b，可得=3. 故选：B 7. 下列等式中，正确的是（ ）​ A. ​loga​(M+N)=loga​M+loga​N B. ​loga​(MN)=loga​M⋅loga​N C. ​loga​(MN)=loga​M+loga​N D. ​loga​= 【答案】C 【分析】本题考查对数的运算性质 【详解】根据对数运算性质，​loga​(MN)=loga​M+loga​N，​loga​Mn=nloga​M，可知选项 C 正确，其他选项均为错误的运算形式. 故选：C 8. 函数​y=log2​(x−1)的定义域是（ ）​ A. ​x>0 B. ​x>1 C. ​x≥1 D. ​x<1 【答案】C 【分析】本题考查对数函数的定义域 【详解】对数函数​y=loga​x的定义域为​x>0，所以对于函数​y=log2​(x−1)，需满足​x−1>0，即​ x>1. 故选：C 9. 函数​y=在定义域内是（ ）​ A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 【答案】B 【分析】本题考查对数函数的单调性 【详解】对数函数​y=loga​x，当​a>1时在​(0,+∞)上单调递增，当​0<a<1时在​(0,+∞)上单调递减。本题中底数​​满足​0<​<1，所以函数为减函数. 故选：B 10. 比较大小：​，，​log2​0.3，则（ ）​ A. >>log2​0.3 B. >>log2​0.3 ​C. ​log2​0.3>> D. ​>log2​0.3> 【答案】A 【分析】本题考查指数函数与对数函数值的大小比较 【详解】>=1，​0<=0.09<1，​log2​0.3<log2​1=0，所以​>>log2​0.3. 故选：A 11. 计算的值是（ ）​ A. B. ​​ C. 2 D. 3​ 【答案】B 【分析】本题考查换底公式的应用. 【详解】根据换底公式​loga​b=logc​alogc​b​，可得=log​=​. 故选：B 12. 方程−5×+4=0的解是（ ）​ A. ​x=0或​x=2 B. ​x=1或​x=4 C. ​x=0或​x=1 D. ​x=2或​x=4 【答案】A 【分析】本题考查指数方程的求解. 【详解】设​t=(t>0)，则原方程可化为​−5t+4=0，解得​t=1或​t=4。当​t=1时，=1，即​ x=0；当​t=4时，=4，即​x=2。故方程的解为​x=0或​x=2. 故选：A 13. 方程​log3​(x+1)+log3​(x−1)=1的解是（ ）​ A. ​x=2 B. ​x=−2 C. ​x=​ D. ​x=− 【答案】A 【分析】本题考查对数方程的求解. 【详解】首先确定定义域：​ ​，即​x>1。原方程可化为​log3​[(x+1)(x−1)]=1，即​(x+1)(x−1)==3，整理得−1=3，​=4，解得​x=2或​x=−2。结合定义域​x>1，舍去​x=−2，故方程的解为​x=2. 故选：A 14. 若​a=，​b=，​c=，则​a，​b，​c的大小关系是（ ）​ A. ​a>b>c B. ​b>a>c C. ​c>a>b D. ​a>c>b 【答案】A 【分析】本题考查指数函数与对数函数的综合比较. 【详解】a=>=1，​b==​，​c==−=−2，所以​a>b>c. 故选：A 15. 某公司投资 100 万元，年利率为 5%，按复利计算，则 5 年后的本息和为（ ）​ A. ​100× B. ​100×5%×5 C. ​100×(1+5%×5) D. ​100× 【答案】A 【分析】本题考查指数函数在复利计算中的应用. 【详解】复利计算的公式为​A=P，其中​P为本金，​r为年利率，​n为年数，​A为本息和。根据公式，5 年后的本息和为​100×. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．计算=________． 【答案】 【分析】本题考查分数指数幂的运算 【详解】​=​=​​=​ 17. 计算​+=________ 【答案】2 【分析】本题考查对数的运算 【详解】=2（因为​=25），=0（因为任何数的 0 次方都为 1），所以+=2+0=2 18. 若函数​y=在​R上单调递减，则​a的取值范围是________ 【答案】0<a<1 【分析】本题考查指数函数的性质 【详解】指数函数​y=，当​0<a<1时在​R上单调递减，当​a>1时在​R上单调递增，所以​ a的取值范围是​0<a<1 19. 函数​f(x)=lg​的定义域是________ 【答案】​x<−1或​x>1 【分析】本题考查对数函数的定义域 【详解】对于函数​f(x)=lg​，需满足>0，即​(x−1)(x+1)>0，解得​x<−1或​x>1。注意不能错误地将其拆分为​lg(x−1)−lg(x+1)后求解 20. 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，以此类推，那么经过​x次分裂后，细胞的个数​y与分裂次数​x的函数关系是________ 【答案】​y= 【分析】本题考查指数函数的简单应用 【详解】初始细胞数为 1 个，经过 1 次分裂后为 2 个，经过 2 次分裂后为 4 个，经过 3 次分裂后为 8 个，以此类推，经过​x次分裂后细胞个数为​个，所以函数关系是​y= 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算下列各式：​ （1）​(​×​)6（5 分）​ （2）−（5 分） 【答案】（1）32；（2）2 【分析】本题考查指数与对数的混合运算 【详解】（1）​(​×​)6=(​×)6====32 ​（2）−=​==2. 22．解方程：−=18. 【答案】x=2 【分析】本题考查指数方程的求解 【详解】原方程可变形为：​−=3×−=(3−1)×=2× ​即​2×=18，两边同时除以 2 得​=9，所以​x=2. 23．解方程：​log2​(x+1)+log2​(x−2)=2 【答案】​x=3 【分析】本题考查对数方程的求解，需要注意定义域的检验 【详解】首先确定函数定义域：​{x+1>0x−2>0​，即​{x>−1x>2​，所以定义域为​x>2。​ 原方程可化为：​log2​[(x+1)(x−2)]=2即​(x+1)(x−2)=22=4 ​展开并整理得：​x2−x−2=4，即​x2−x−6=0 ​因式分解得：​(x−3)(x+2)=0 ​解得​x=3或​x=−2 结合定义域​x>2，舍去​x=−2，所以原方程的解为​x=3。​ 经检验，​x=3是原方程的解. 24．已知函数 f(x)=. (1) 求 f(1) 和 f(7) 的值； (2) 若 f(x)=3，求 x 的值； (3) 判断函数f(x) 的单调性 【答案】(1) f(1)=1, f(7)=3 (2) x=7 (3) 在定义域 (−1,+∞) 上单调递增 【分析】(1) 直接代入计算。 (2) 解对数方程。 (3) 根据底数>1的对数函数性质判断 【详解】(1)  f(1)===1 f(7)===3 (因为=8) (2)  f(x)==3，则x+1==8，解得 x=7. (3) 函数f(x)= 由y= 和u=x+1 复合而成。 内函数 u=x+1 在R上单调递增。 外函数 y=​在 (0,+∞)上单调递增。 且 u=x+1>0 即 x>−1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查指数函数与对数函数的基本概念、根式与分数指数幂的互化及运算、指数函数的图象与性质、对数的运算性质、对数函数的图象与性质、指数函数与对数函数的简单应用等考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列各式中，正确的是（ ）​ A.​=​ B. ​​=​ C. = D. ​​= 2. 计算​×的结果是（ ）​ A. ​ B. C. ​2 D. ​​ 3. 下列函数中，是指数函数的是（ ）​ A. ​y= B. ​y= C. ​y= D. ​y= 4. 下列函数中，在​R上单调递增的是（ ）​ A. ​y= B. ​y= C. ​y= D. ​y= 5. 函数​y=的图像必经过点（ ）​ A. ​(0,1) B. ​(1,2) C. ​(0,2) D. ​(−1,0) 6. 计算​的值是（ ）​ A. 2 B. 3 C. 4 D. ​21 7. 下列等式中，正确的是（ ）​ A. ​loga​(M+N)=loga​M+loga​N B. ​loga​(MN)=loga​M⋅loga​N C. ​loga​(MN)=loga​M+loga​N D. ​loga​= 8. 函数​y=log2​(x−1)的定义域是（ ）​ A. ​x>0 B. ​x>1 C. ​x≥1 D. ​x<1 9. 函数​y=在定义域内是（ ）​ A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 10. 比较大小：​，，​log2​0.3，则（ ）​ A. >>log2​0.3 B. >>log2​0.3 ​C. ​log2​0.3>> D. ​>log2​0.3> 11. 计算的值是（ ）​ A. B. ​​ C. 2 D. 3​ 12. 方程−5×+4=0的解是（ ）​ A. ​x=0或​x=2 B. ​x=1或​x=4 C. ​x=0或​x=1 D. ​x=2或​x=4 13. 方程​log3​(x+1)+log3​(x−1)=1的解是（ ）​ A. ​x=2 B. ​x=−2 C. ​x=​ D. ​x=− 14. 若​a=，​b=，​c=，则​a，​b，​c的大小关系是（ ）​ A. ​a>b>c B. ​b>a>c C. ​c>a>b D. ​a>c>b 15. 某公司投资 100 万元，年利率为 5%，按复利计算，则 5 年后的本息和为（ ）​ A. ​100× B. ​100×5%×5 C. ​100×(1+5%×5) D. ​100× 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．计算=________． 17. 计算​+=________ 18. 若函数​y=在​R上单调递减，则​a的取值范围是________ 19. 函数​f(x)=lg​的定义域是________ 20. 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，以此类推，那么经过​x次分裂后，细胞的个数​y与分裂次数​x的函数关系是________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算下列各式：​ （1）​(​×​)6（5 分）​ （2）−（5 分） 22．解方程：−=18. 23．解方程：​log2​(x+1)+log2​(x−2)=2 24．已知函数 f(x)=. (1) 求 f(1) 和 f(7) 的值； (2) 若 f(x)=3，求 x 的值； (3) 判断函数f(x) 的单调性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $