第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量及其分布、正态分布。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 离散型随机变量的概念 1 考点二 离散型随机变量的分布列 2 考点三 离散型随机变量的均值 2 考点四 离散型随机变量的方差 2 考点五 二项分布 3 考点六 正态分布的概念 4 考点七 正态曲线及其性质 4 考点八 标准正态分布 5 考点九 正态分布的 3σ 原则 5 考点十 正态分布在实际问题中的简单应用 5 考点一 离散型随机变量的概念 1．下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 考点二 离散型随机变量的分布列 3．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 4. 某兴趣小组有5名女生、3名男生.从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，求： (1)的概率分布； (2)所选3人中男生不超过1人的概率. 考点三 离散型随机变量的均值 5. 一个随机变量可以取值1，2，3，4，其概率分布如下： 1 2 3 4 0.1 0.3 0.4 0.2 求随机变量的均值（    ） A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.0 6. 已知随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 考点四 离散型随机变量的方差 7. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 8. 甲、乙两名射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下． 射手 环数 环 环 环 甲 乙 (1)试比较甲、乙两名射手射击水平的高低. (2)谁的射击水平比较稳定? 考点五 二项分布 9. 小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（    ） A． B． C． D． 10. 甲、乙、丙三个人同时向一目标射击，每人击中目标的概率都为，求 (1)目标被击中的概率； (2)设随机变量表示击中目标的人数，求的概率分布. 考点六 正态分布的概念 11. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（    ） A．，标准差 B．，标准差 C．，标准差 D．，标准差 12. 已知随机变量,计算.参考数据:,,，. (1). (2). (3). 考点七 正态曲线及其性质 13. 如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 14. 在日常生活和实践中，我们经常遇到一类随机变量，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.关于正态曲线的基本性质，下列说法错误的是（    ）． A．曲线关于直线对称 B．曲线在x轴的下方 C．当时，曲线达到最高点 D．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 考点八 标准正态分布 15. 以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（    ） A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ（1）－Φ(－1) C．Φ D．2Φ(μ＋σ) 16. 参数为 ， 的正态分布称为标准正态分布. 考点九 正态分布的 3σ 原则 17. 某种零件的尺寸X（单位：）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的 ． （参考数据） 18. 某年级的数学成绩近似服从正态分布.如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩优秀的学生约占多少? 参考数据：，. 考点十 正态分布在实际问题中的简单应用 19. 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（    ） A．450 B．400 C．600 D．550 20. 某钢铁加工厂所生产的钢管内径尺寸（单位：mm）服从正态分布.对该工厂的1000个产品估计尺寸.求： (1)尺寸在范围内的产品个数； (2)尺寸在范围内的产品个数； (3)尺寸在范围内的产品个数. 参考数据：，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量及其分布、正态分布。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 离散型随机变量的概念 1 考点二 离散型随机变量的分布列 2 考点三 离散型随机变量的均值 3 考点四 离散型随机变量的方差 4 考点五 二项分布 5 考点六 正态分布的概念 6 考点七 正态曲线及其性质 7 考点八 标准正态分布 8 考点九 正态分布的 3σ 原则 9 考点十 正态分布在实际问题中的简单应用 10 考点一 离散型随机变量的概念 1．下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念求解即可. 【详解】①车辆数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ②质点是连续的、可变的、不能一一列出的，不是离散随机变量； ③访问次数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ④温度是连续的、可变的、不能列出的，不是离散随机变量； 故选：C. 2. 抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 【答案】D 【分析】由随机变量的定义可知结果． 【详解】由随机变量的定义可知，表示所得点数之和为5， 试验的结果是：一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点． 故选：D． 考点二 离散型随机变量的分布列 3．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得的值，再利用概率的加法公式计算即可. 【详解】根据分布列的性质，有，则. 所以. 故选：D. 4. 某兴趣小组有5名女生、3名男生.从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，求： (1)的概率分布； (2)所选3人中男生不超过1人的概率. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，结合古典概率，及组合数的应用，即可求解随机变量的分布列； （2）根据题意，结合随机变量的分布列，即可求解. 【详解】（1）由题意，随机变量X的取值可能为， 所以； ； 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 （2）由题意，所选3人中男生不超过1人，即女生人数为2人或3人， 故所求概率. 考点三 离散型随机变量的均值 5. 一个随机变量可以取值1，2，3，4，其概率分布如下： 1 2 3 4 0.1 0.3 0.4 0.2 求随机变量的均值（    ） A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.0 【答案】B 【分析】根据均值公式即可得解. 【详解】由题意可知，均值， 故选：. 6. 已知随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】/ 【分析】先根据分布列的性质求出的值，再根据期望公式计算 【详解】根据分布列的性质：所有概率之和为1， 即，解得， 因此. 故答案为：. 考点四 离散型随机变量的方差 7. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即可. 【详解】依题意，，解得， ， ，而， 所以. 故选：A. 8. 甲、乙两名射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下． 射手 环数 环 环 环 甲 乙 (1)试比较甲、乙两名射手射击水平的高低. (2)谁的射击水平比较稳定? 【答案】(1)甲射手的射击水平比乙射手高 (2)乙射手的射击水平比甲射手稳定 【分析】（）由均值的计算公式即可得解. （）由方差的计算公式即可得解. 【详解】（1）设甲﹑乙两名射手射击一次所得的环数分别是,. 则,. . 甲射手的射击水平比乙射手高. （2）设甲﹑乙两名射手射击一次所得的环数分别是,. .. . 乙射手的射击水平比甲射手稳定. 考点五 二项分布 9. 小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的计算公式即可求解. 【详解】小航跳绳恰好成功2次的概率为. 故选：A. 10. 甲、乙、丙三个人同时向一目标射击，每人击中目标的概率都为，求 (1)目标被击中的概率； (2)设随机变量表示击中目标的人数，求的概率分布. 【答案】(1)0.992 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，目标被击中的概率即等于甲，乙，丙三人全没击中的概率，即可求解. （2）分别求出随机变量时的概率，即可求解. 【详解】（1）设事件{目标被击中}，则 （2）由题意知， ， ， ∴概率的分布为 0 1 2 3 p 0.008 0.096 0.384 0.512 考点六 正态分布的概念 11. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（    ） A．，标准差 B．，标准差 C．，标准差 D．，标准差 【答案】B 【分析】先根据正态分布求出均值与标准差，然后利用对称性可求. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，， 所以，标准差，故A、C选项错误； 对D选项：，故D选项错误； 对B选项：，，故B选项正确. 故选：B. 12. 已知随机变量,计算.参考数据:,,，. (1). (2). (3). 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）由正态分布的相关计算即可得解. （）由正态分布的相关计算即可得解. （）由正态分布的相关计算即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3） . 考点七 正态曲线及其性质 13. 如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 14. 在日常生活和实践中，我们经常遇到一类随机变量，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.关于正态曲线的基本性质，下列说法错误的是（    ）． A．曲线关于直线对称 B．曲线在x轴的下方 C．当时，曲线达到最高点 D．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的图象特点和性质逐项判断即可. 【详解】如图所示： 正态曲线关于直线对称，故A正确； 曲线在轴上方，故B错误； 当时，曲线达到最高点，故C正确； 曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状，故D正确. 故选：B. 考点八 标准正态分布 15. 以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（    ） A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ（1）－Φ(－1) C．Φ D．2Φ(μ＋σ) 【答案】B 【解析】根据正态分布N(μ，σ2)与标准正态分布的关系求解． 【详解】若ξ～N(μ，σ2)，则 P(x1＜x＜x2)＝Φ－Φ， P(|ξ－μ|＜σ)＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ) ＝Φ－Φ ＝Φ(1)－Φ(－1)， 故选：B. 16. 参数为 ， 的正态分布称为标准正态分布. 【答案】 0 1 【分析】根据标准正态分布的定义求解. 【详解】在正态分布中，参数表示分布的均值（或称为期望），而参数表示分布的标准差. 标准正态分布是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1. 故答案为：0，1. 考点九 正态分布的 3σ 原则 17. 某种零件的尺寸X（单位：）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的 ． （参考数据） 【答案】 【分析】根据正态分布中，属于区间的取值概率求解. 【详解】某种零件的尺寸X（单位：）服从正态分布，则. 则区间的取值概率约为， 故不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数． 故答案为：. 18. 某年级的数学成绩近似服从正态分布.如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩优秀的学生约占多少? 参考数据：，. 【答案】 【分析】利用正态分布的原则即可得解. 【详解】根据题意，，，， 而， 由对称性可得， 即成绩优秀的学生约占2.28%. 考点十 正态分布在实际问题中的简单应用 19. 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（    ） A．450 B．400 C．600 D．550 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在90分到120分的概率，即可求解作答. 【详解】由题意可知，， 根据正态分布的性质， 则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为. 故选：A. 20. 某钢铁加工厂所生产的钢管内径尺寸（单位：mm）服从正态分布.对该工厂的1000个产品估计尺寸.求： (1)尺寸在范围内的产品个数； (2)尺寸在范围内的产品个数； (3)尺寸在范围内的产品个数. 参考数据：，，. 【答案】(1)683 (2)954 (3)997 【分析】根据正态分布的定义，由求出产品尺寸在各范围内的概率，进而求产品个数即可. 【详解】（1）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. （2）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. （3）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $