专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数应用专题，涵盖零点概念、零点定理、函数模型应用等核心知识点，通过期中考情分析导入，从概念理解到定理应用再到实际建模，构建递进式学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，通过图像法判断零点个数培养数学眼光，实际问题转化为函数模型提升数学思维，用符号和图表表达强化数学语言。如指数函数模型压轴题训练建模能力，分层验收满足不同学生需求，助力教师高效教学，学生稳步提升。

专题07 函数的应用 高一年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 7.1 函数零点的概念与求法 能理解零点的定义,会求简单函数的零点(令f(x)=0求解). 概念理解题. 7.2 零点存在性定理的理解与应用 能判断函数在区间[a,b]上是否连续,并验证f(a).f(b)<0,从而判断零点存在性. 高频考点,易错在“连续”条件的忽视. 7.3 判断函数零点(方程根)的个数 能通过图象法(两个函数图象的交点)或单调性法判断零点个数. 常见中等题,数形结合思想的典型应用. 7.4 二分法求方程近似解的原理与步骤 能叙述二分法的原理和操作步骤,理解其“逐步逼近”的思想. 了解性考点,通常不要求具体计算. 7.5 一次、二次函数模型的应用 能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题. 基础应用模型. 7.6 指数函数、对数函数模型的应用(增长、衰减、复利等) 能识别指数增长/衰减的特征,并建立相应模型解决实际问题. 期中应用题压轴题型,符合当前命题趋势. 7.7 函数模型的选择与评价 能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型,并对结果进行合理性分析. 考查数学建模核心素养的最高层次 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 5 6 7 8 9 10 11 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 12 13 BC 14 B 15 16 2 17 18 BC 19 B 20 B 21 22 B 23 B 24 D 25 D 26 27 28 29 30 B 31 D 32 D 33 B 34 B 35 C 36 37 38 39 40 41 42 43 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 44 C 45 B 46 C 47 D 48 D 49 A 50 C 51 52 53 B 54 C 55 C 56 A 57 C 58 AB 59 2 60 61 B 62 B 63 64 65 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解 函数的图象与______________ 函数有_______. x轴有公共点 知识点01 函数零点的定义 一般地,对于函数,把使___________________叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 的实数 至少有一个 知识点03 函数单调性对零点个数的影响 知识点02 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是______________的一条曲线,且有________________,那么函数在区间内_________________零点,即存在,使得,这个也就是方程的解. 连续不断 2. 若,则“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点.如果单调,那么“一定”没有零点； 3. 如果在区间中存在零点,则的符号是“不确定”的,受函数性质与图象影响.如果单调,则一定小于0. 知识点04 几个“不一定”与“一定”(假设在区间连续) 1. 若,则“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图象,如果单调,则“一定”只有一个零点； 当时,； 当时,. 知识点06 证明零点存在的步骤 1. 将所证等式中的所有项移至等号一侧,以便于构造函数； 2. 判断是否要对表达式进行合理变形,然后将变形后的表达式设为函数； 3. 分析函数的性质(如连续性、单调性等),并考虑在已知范围内寻找端点函数 值异号的区间； 4. 利用零点存在性定理证明函数在区间内存在零点. 若是在上单调递增的连续函数,是的零点,且,则： 知识点07 三种函数模型的性质 性质 函数 () () () 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快(指数增长) 越来越慢(对数增长) 相对平稳(幂增长) 图象的变化 随的增大,图象逐渐表现为与轴平行 随的增大,图象逐渐表现为与轴平行 随值的不同,图象形态各有差异(如为直线,为抛物线) 知识点08 常见的函数模型 函数模型类型 函数解析式 备注 一次函数模型 为常数, 二次函数模型 为常数, 反比例函数模型 为常数, 指数函数模型 为常数,且, 对数函数模型 为常数,且, 幂函数模型 为常数,, 3. 解模：求解建立的数学模型(如求函数最值、解方程、解不等式等),得出数学层面的结论； 4. 还原：将数学结论还原为实际问题的答案,验证结论是否符合实际情境(如是否为正整数、是否在合理取值范围内等). 以上过程用框图表示如下： 知识点09 解函数模型问题的步骤 2. 建模：将自然语言转化为数学语言,将文字描述转化为符号表达式,利用所学数学知识(如函数、方程、不等式等),建立相应的数学模型； 题型一 求函数的零点及零点个数 解｜题｜技｜巧 函数零点即函数值为0时的自变量值,解方程(f(x)=0)可得零点. (2)结合区间端点、特殊点的函数值,辅助确认零点是否存在及个数(如端点值异号则区间内有零点). 【分析】根据函数零点定义,结合因式分解法进行求解即可. 【典例1】(24-25高一上.河南郑州.期中)(多选)函数的零点有( ) A．0 B． C． D．3 【分析】令,则,作出的图象,把问题转化为图象交点个数问题． 【详解】令,则,在同一直角坐标系中作出的图象, 由图可知,的图象有1个交点,则函数有1个零点． 【典例2】(24-25高一上.黑龙江伊春.期中)函数的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】令, 【变式1】(24-25高一上.云南昆明.期中)函数的两个零点为,则=___________. 【分析】由零点定义可得答案. 由得,函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 如图,在坐标系中画出函数与的图象,观察图象可知,函数只有2个零点． 【变式2】(24-25高一上.辽宁大连.期中)已知函数,函数,则函数的零点个数为___________个． 【详解】 题型二 用零点存在性定理判断零点所在区间 解｜题｜技｜巧 确认函数在区间([a,b])上连续(如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续). 计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b)),若(f(a)f(b)<0),则区间内至少有一个零点. (3)结合函数单调性,可进一步判断区间内零点的唯一性. 【分析】先根据基本初等函数性质求得函数的单调性,在利用函数零点存在性定理即可求解. 【详解】因为在上单调递减,所以在上单调递减, 又, 所以,根据函数零点存在定理可知,函数在区间上有零点. 【典例1】(24-25高一上.河南开封.期中)函数的零点所在区间为( ) A． B． C． D． 【分析】先分析函数单调性,再利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为在上单调递增, 又,, 所以由零点存在性定理可知,函数存在唯一零点,且. A． B． C． D． 【分析】首先判断在上的单调性,再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增, 所以在上单调递增, 又,,,所以,所以在上存在一个零点. 【变式2】(24-25高一上.北京海淀.期中)函数的一个零点所在区间为( ) A． B． C． D． 题型三 求方程的根及根的个数 解｜题｜技｜巧 将方程变形为(f(x)=0),方程的根等价于函数(f(x))的零点. 分析函数(f(x))的单调性、根据极值(跨章节)的正负判断函数与x轴的交点数. (3)结合函数定义域和极限趋势,综合判断根的个数. 【分析】将方程的根的个数转化为函数(),()两函数图象 交点个数问题,画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数(),()两函数图象交点问题, 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示, 由图得两个函数图象有2个交点,故原方程根的个数为2． 【典例1】(24-25高一上.河南.期中)方程 的根的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先判断函数关于对称,从而得到即可. 【详解】设,则. 即,故关于对称. 又有唯一的根,则,故,解得. 【变式1】(24-25高一上.山东淄博.期中)已知方程有唯一的根,则( ) A． B． C． D．1 【详解】当时,即则的周期为 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数, 由图像可知,当时,存在一个零点,因为时, 当时,则在两函数存在一个零点, 当时,则在两函数存在一个零点, 画出函数的图像, 当时,恒成立,则两函数无零点.综上所述,两函数有三个零点. A．0 B．1 C．2 D．3 A． B． C． D． 【详解】当时,,图象为开口向上的抛物线, 对称轴为,顶点坐标为,作的图象如下, 由图可知,函数图象有3个交点, 则,即实数k的取值范围为. 题型四 求图象的交点及交点个数 【典例1】(24-25高一上.四川泸州.期中)已知函数,若函数的图象与函数的图象有3个交点,则实数的取值范围是( ) 【详解】(1)因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得, 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得,所以的大致图象如图, 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为. 而的图象是由的图象保留轴上方的图象, 【变式1】(24-25高一上.湖南.期中)已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象,并写出的单调区间及值域； (2)因为函数的图象与轴有两个不同的交点, 所以有两个零点,即与的图象有两个交点, 结合图象可知,,解得,即实数的取值范围为. 【变式1】(24-25高一上.湖南.期中)已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象,并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象不经过第四象限,求的取值范围 (3)已知,当时,函数的图象与的图象 有且只有一个交点,求的取值范围． 【详解】(1),,且,, ,,故,即,在上单调增． (1)用定义证明：函数,在上单调递增 也就是方程有一个解,如图可知,    只要,即,的取值范围为 (2)如图：只要即可,的取值范围为；    (3)当时,要使函数的图象与的图象有且只有一个交点, A．当时,随着变大,物体速率减小,但始终大于 B．当时,随䒴变大,物体速率增大,且始终大于 C．当时,随着变大,物体速率减小,且始终小于 D．当时,随着变大,物体速率增大,最终会等于 又,,由指数型复合函数的单调性,关于是单调递减函数, 于是随着变大,物体速率减小,A正确B错误； 时,由,可得,故恒成立, 又,由指数型复合函数的单调性,关于是单调递增函数, 于是随着变大,物体速率变大,CD均错误； 题型五 指数函数模型 【典例1】(24-25高一上.浙江温州.期中)一个质量为的物体在空气中以初始速率落下,假设空气阻力大 小与物体的速率满足(为正常数)可求得在时刻物体的速率,其中自然 常数,为重力加速度的大小,按照此模型,可推得( ) 【分析】题目考察指数型函数的实际应用,设原数量为,根据题意可分别列出30天后和60天后的数量的指数 表达式,从而得到倍数关系. 设湖泊中原来蓝藻数量为,则, 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 【变式1】(24-25高一上.四川泸州.期中)在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.15%的增长率呈指数增长,已知 经过30天以后,该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍,那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的( ) A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍 【分析】首先根据题意得到,从而得到,再根据求解即可. 【详解】由题知：,所以,解得, 【变式2】(24-25高一上.广东惠州.期中)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 ( )小时. A．20 B．22 C．33 D．24 (参考数据：) A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】由题可得,然后由对数运算结合参考数据可得答案. 因为,所以． 题型六 对数函数模型 【典例1】(24-25高一上.广东佛山.期中)猪血木又名阳春红檀,原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县,是中国特有的单种属濒危植物,属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育,在阳江阳春市储备苗木近10万株,还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株,假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加,且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年,则( ) . 【变式1】(24-25高一上.浙江宁波.期中)中国5G技术领先世界,其数学原理之一便是香农公式：,它表示：在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小,其中叫信噪比.按照香农公式,若不改变带宽,将信噪比从2000提升至10000,则大约增加了( ) A． B． C． D． 所以, 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 【变式2】(24-25高一上.江苏连云港.期中)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震,乙地发生里氏8.0级地震,则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的( ) A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【分析】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量,再做商即可求结果. 【详解】由题设,甲地里氏4.5级地震的能量为,则,即, (1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种,方案一：当总盈利额达到最大值时,该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时,该设备以54万元的价格处理,哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) (2)方案一：总盈利额, 又,所以当或时,取得最大值,此时处理掉设备,则总利额为万元； 方案二：年平均盈利额为, 当且仅当,即时,等号成立；即时,年平均盈利额最大,此时, 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上,两种方案获利都是万元,但方案二仅需要年即可,故方案二更合适． 题型七 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】(24-25高一上.广东.期中)中国芯片产业崛起,出口额增长迅猛,展现强劲实力和竞争力．中国自主创新,多项技术取得突破,全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率,决定投入108万元买一套生产设备,预计使用该设备后,前年的支出成本为万元,每年的销售收入100万元 (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. (3)设该工艺品的日销售收入为函数(单位：元)；求函数的最小值. 【典例2】(24-25高一上.广东东莞.期中)东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势,主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品,打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来,“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月(以30天计)的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格(单位：元/千克)关于第天的函数关系近似满足(,且为常数),日销售量(单位：千克)关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9的日销售收入为552元. (1)求的值； 而函数在时,在时是单调递增,在上单调递减, 由列表可知：的单调性是先增后减,因此合适, 显然也满足函数的解析式； (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： 【详解】(1)因为第9的日销售收入为552元,所以有； (2)由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增,要么递减,要么是常值函数,不会出现在定义域内,即有单调递减又有递增的情况, 当且仅当时取等号,即当时,取等号,此时； 当时,, 显然此时函数单调递减,此时,综上所述：函数的最小值元. (3)设该工艺品的日销售收入为函数(单位：元)；求函数的最小值. (3)由题意可知：, 当时,, (2)判断弧上是否存在一点,使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在,求出该点到城的距离；若不存在,说明理由. 【详解】(1)由为直径,得,所以, 由已知可得, 又当垃圾处理厂建在的中点时,对城和城的总影响度为, 即当时,,代入上式可得,解得, 所以. (1)将表示成的函数； 因为,当且仅当即时取等号, 所以,此时. (2)判断弧上是否存在一点,使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在,求出该点到城的距离；若不存在,说明理由. 令,则, (2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围. 【详解】(1)对于函数模型：①,验证条件③：当时而即不成立,故不符合公司要求；对于函数模型：②,当时,条件①是增函数满足； ∴,满足条件②；对于条件③：记 则∵∴当时, ∴恒成立,即条件③也成立.故函数模型： ②符合公司要求. ∴综上所述,实数a的取值范围． (2)∵,∴函数符合条件①；由函数符合条件②,得,解得：；由函数符合条件③,得对恒成立,即对恒成立.∵,当且仅当,即x=50时等号成立, 【变式2】某公司为调动员工积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时,该公司对函数模型的基本要求是：当时,①是增函数；②恒成立；③恒成立. 1．(24-25高一上.贵州.期中)函数的一个零点所在的区间是( ) A． B． C． D． 【分析】求出、、与、,根据零点存在定理即可求解. ,,,则函数的一个零点所在的区间是. 期中基础通关练(测试时间：20分钟) 一、单选题 【分析】将方程的根的个数转化为函数(),() 两函数图象交点个数问题,画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数(),()两函数图象交点问题, 由图得两个函数图象有2个交点,故原方程根的个数为2． 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示, 2．(24-25高一上.河南.期中)方程的根的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用对数的运算求解出当耗氧量的单位数为时的值. 【详解】根据题意,,则当耗氧量的单位数为时, . 3．(24-25高一上.云南昆明.期中)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位:)可以表示为,其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为,那么当耗氧量的单位数为时,鲑鱼的游速为( ) A． B． C． D． 【分析】根据题意列出指数方程,取对数,根据对数的运算性质,结合题中所给的数据进行求解即可. 【详解】设第年该政府全年投入的资金翻两番,依题意得： , 因此该政府全年投入的资金翻两番(即为2024年的四倍)的年份是2032年. 4．(24-25高一上.广东东莞.期中)某市政府为了增加农民收入,决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入,计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该政府全年投入的资金翻两番(即为2024年的四倍)的年份是( )(参考数据：,) A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年 【详解】由题知：,所以,解得, 所以. 5．(24-25高一上.广东惠州.期中)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保 鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 ( )小时. A．20 B．22 C．33 D．24 【详解】函数有零点,即函数与的图象有交点, 作出与的大致图象如图所示, 由图可知,故实数的取值范围是. 6．(24-25高一上.山东淄博.期中)若函数有零点,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【分析】转化为与有3个交点,利用数形结合,即可求解. 【详解】由题意可知,有3个实数根,即和有3个交点, 画出函数的图象, 若与有3个交点,则. 7．(24-25高一上.辽宁.期中)已知函数若函数有3个零点,则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效,那么该药的药效时间有多长？(结果保留小数点后两位)； (参考值：) 二、解答题 (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量 (毫克)关于时间 (小时)的函数关系式； 解得,此时,.综上：. (2)当时,,解得,当时,,即 (3)完成第二次注射药物1小时后 每升血液中第一次注射药物的含量：, 每升血液中第二次注射药物的含量：, 所以此时两次注射药物后的药物含量为：0.52毫克. 【详解】(1)当时,设,将代入得,解得,此时,； 当时,设且,将､(1,1代入得, 9．(24-25高一上.江苏南通.期中)把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是,那么后物体的温度(单位：)可由公式求得,其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体,放在25℃的空气中冷却,1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45,需要冷却的时间为( )(结果精确到0.1,参考数据：,,) A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min 【分析】根据题意可得出,,从而求得,代入,即可利用公式求解； 【详解】由题意可知,,当时,,于是, 整理得,当,于是, 故. 期中重难突破练(测试时间：30分钟) 一、单选题 C． D． 【详解】当函数只有一个零点且在区间内时, ； 当函数有两个零点时,,解得或, 当时,显然在上恒成立,此时无内的零点, 当时,又在内只有一个零点,则或或, 综上所述,实数的取值范围是． 10．(24-25高一上.辽宁盘锦.期中)已知函数在区间内只有一个零点,则实数的取值范围是( ) A． B．或 因为,由图知,即,解得． 又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点, 11．(24-25高一上.安徽.期中)已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【详解】设①,则,由①令得,在上单调递增,,得,所以,对于方程,即, 两边除以x得,令函数, 在上单调递增,,,所以在区间有唯一零点, 所以方程有唯一根． 12．(24-25高一上.河南.期中)已知定义域为的函数单调,且等式恒成立,则 方程根的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由得, 由图可知,要使方程有3个不同的实根, 当,即,,符合题意； 当,即,,符合题意； 则实数取值范围值是. 解得或,画出函数的图象如下, 13．(24-25高三上.广东广州.开学考试)已知函数,若方程有3个不同的实根,则实数取值范围值是( ) A． B． C． D． A．在上单调递增 B．若,则 C．方程有2个解 D．若,则 【详解】,画出的图象如下图所示, 由于可知,在上单调递增,A选项正确. 方程有个解,C选项错误.不妨设这个解, 则,所以若,则可能,D选项错误. ,所以,所以B选项正确. 二、多选题 14．(24-25高一上.广西桂林.期中)已知函数,则下列结论正确的是( ) 【详解】由得,函数的零点个数为函数 与直线的交点个数. 由题意得,,则,∴. 如图,在坐标系中画出函数与的图象,观察图象可知,函数只有2个零点． 三、填空题 15．(24-25高一上.辽宁大连.期中)已知函数,函数,则函数的零点个数为_________个． (2)解不等式； (3)有两个不等实根时,求的取值范围． 【详解】(1)函数的图像恒过定点A,且,则A点的坐标为,又因为A点在的图象上, 所以,所以,所以； (2)由(1)知,所以所要解不等式为,而对数函数在定义域上单调递增, 所以,即,所以不等式的解集为. 由图象可知：, 故的取值范围为. 四、解答题 可知函数的图象有两个不同交点,如下图示 16．(24-25高一上.天津红桥.期末)已知函数的图象恒过定点,且点又在函数的图象上． 17．(2025.天津.高考真题)函数的零点所在区间是( ) A． B． C． D． 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减,在单调递增, 所以在定义域上单调递减, 显然, 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 期中综合拓展练(测试时间：10分钟) 一、单选题 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意,, , , 因为,所以, 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加4小时. 18．(2025.北京.高考真题)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间(单位：h),其中k为常数．在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加( ) A．2h B．4h C．20h D．40h A． B． C． D． 二、多选题 19．(2023.新课标Ⅰ卷.高考真题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( )． 对于选项B：可得,因为,则,即,所以且,可得,当且仅当时,等号成立,故B错误； 对于选项C：因为,即,可得,即,故C正确； 即,可得,且,所以,故D正确； 故选：ACD 【详解】由题意可知：,对于选项A：可得,因为,则,即, 所以且,可得,故A正确； $