13.3三角形的内角与外角 讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.3三角形的内角与外角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】三角形内角和定理 1 【知识点2】三角形的外角性质 2 【知识点3】直角三角形的性质 4 【题型1】三角形内角和定理的证明 5 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 7 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 9 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 13 【题型5】三角形内角和定理的应用 16 【题型6】直角三角形定义 20 【题型7】直角三角形的两个锐角互余 24 【题型8】三角形外角的概念 26 【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 31 【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 33 【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 37 【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 41 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春•绥棱县期末）一个三角形，3个内角度数之比是2：5：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等边 【答案】B 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状． 【解答】解：三个内角的度数分别为2k,5k,2k. 则2k+5k+2k=180°， 解得k=20°， ∴2k=40°，5k=100°，2k=40°， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质得出∠BCE=∠BAC+∠ABC，即可求出∠ABC的度数，再根据邻补角互补即可求出 ∠CBD的度数． 【解答】解：∵∠BCE是△ABC的外角， ∴∠BCE=∠BAC+∠ABC， ∵∠BAC=48°，∠BCE=117°， ∴∠ABC=117°-48°=69°， ∴∠CBD=180°-∠ABC=180°-69°=111°， 故选：C． 2.（2025春•新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：如图，设直线a、b相交于点A， 由三角形外角的性质可得∠OAK=100°-70°=30°， 即a,b相交所成的锐角是30°， 故选：D． 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋•东丽区期中）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B=55°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90°， ∵∠B=55°， ∴∠A=35°， 故选：C． 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【答案】D 【解析】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意； C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意． 【举一反三2】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：          ．    【答案】三角形内角和定理 【解析】根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为三角形内角和定理． 【举一反三3】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法． 证明：在中，作（如图）， ∵（已知） ∴（直角定义） ∴，（直角三角形两锐角互余） ∴（等式的性质） ∴． 请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法． 【答案】解：小虎的做法不正确， 过点作直线，使， ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角定义） ∴（等量代换） 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】适合条件∠A＝∠B＝2∠C的三角形是（　　） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】A 【解析】解：∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝72° ∴△ABC锐角三角形， 故选：A． 【举一反三1】一个三角形三个内角的度数之比为2：2：5，这个三角形是（　　） A.直角三角形 B.全等三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】D 【解析】解：三角形的三个角依次为，，， 所以这个三角形是钝角三角形． 故选：D． 【举一反三2】一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】C 【解析】解：∵三角形的三个内角度数之比为4：5：9， ∴可设这个三角形的三个内角分别为：4k，5k，9k， 由三角形的内角和等于180°得：4k+5k+9k＝180°， 解得：k＝10°， ∴这个三角形的三个内角分别为：40°，50°，90°． ∴这个三角形是直角三角形． 故选：C． 【举一反三3】三角形三个角的度数比是2：4：3，最大的角是　 　°，最小的角是　 　° 【答案】80，40． 【解析】解：最大的角是180°80°； 最小的角是180°40°． 故答案为：80，40． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． 若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数. 【答案】解：∵∠A＝40°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣（40°+70°）＝70°， ∵∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABE＝∠A＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠CDB＝180°﹣40°﹣70°＝70°. 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，直线，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【举一反三1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ， ， ． 【举一反三2】如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④.其中正确的是      ．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 综上所述，正确的说法有①②③． 【举一反三3】如图，已知，，，则       ． 【答案】 【解析】解：如图， ，， ， ， ， ， ． 【举一反三4】已知：如图，，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明DG∥BC； （2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数． 【答案】解：（1）DG∥BC． 理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠CDF＝∠EFB＝90°， ∴CD∥EF． ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC. （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°． ∵∠B＝34°， ∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°． ∵∠ACD＝46°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝46°+56°＝102°． ∵由（1）知DG∥BC， ∴∠3＝∠ACB＝102°． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，， ， 由翻折的性质可知， . 【举一反三1】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴ ． 【举一反三2】一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ， ∵纸带沿折叠， ， . 【举一反三3】如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数           ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得 ， ∵， ∴，即， ∴， ∴. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处． （1）填空：∠ADE＝　    　度； （2）求∠EAC的大小． 【答案】解：（1）由折叠可知∠ADB＝∠ADE， ∵∠ADB+∠ADE＝180°， ∴∠ADB＝90°； 故答案为：90； （2）由折叠可知，∠AEB＝∠B＝60°， 在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°， 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝15°． 【举一反三5】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】解：（1）由折叠的性质可知， ， ， ∵， ∴， ∴． （2）不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ， ， ， ， . 【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　） A.80° B.95° C.110° D.140° 【答案】C 【解析】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向上， ∴∠CAD＝50°， ∵C岛在B岛的北偏西60°方向上， ∴∠CBE＝60°， ∵A岛在B岛北偏西80°方向上， ∴∠ABE＝80°， ∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°， ∵AD∥BE， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， ∴∠DAB＝100°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°． 故选：C． 【举一反三2】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，已知小岛B在基地A的南偏东方向上，货轮C在基地A的南偏西方向，货轮C在小岛B的北偏西方向上，      °． 【答案】 【解析】如图，由题意得，，，， ， ， ． 在中，， . 【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且． (1)在处测得灯塔应在什么方向； (2)求从灯塔观测两处的视角的度数． 【答案】解：（1）如图，过点B作， 由题可得， ∴， ∴， ∴在处测得灯塔在北偏东. （2）． 【题型6】直角三角形定义 【典型例题】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】① ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②由条件可设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+3x＝6x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∠A＝∠B＝2∠C， 设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+2x+x＝5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝∠B＝2x＝72°，∠C＝x＝36°， ∴△ABC不是直角三角形； ⑤由条件可知，， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴， ∴， ∴△ABC不是直角三角形； 综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，∠CBD＝16°，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】解：∵∠A'BC＝28°，∠CBD＝16° ∴∠A′BD=∠A'BC+∠CBD=28°+16°=44° 根据对折性质：∠ABD=∠A′BD=44° ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=44°+16°=60° 在△ABC中，∠ABC=60°，∠A＝30°， ∠ACB＝180°-60°-30°=90°. 所△ABC是直角三角形. 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠BAC的度数为（　　） A.90° B.46° C.44° D.34° 【答案】A 【解析】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵∠B＝∠ADE=56° ∴∠BAD＝∠BDE=34° ∵DE∥AC（已知） ∴∠C＝∠BDE＝34°（两直线平行，同旁内角互补）． 在△ABC中，∠B=56°，∠C=34° ∴∠BAC＝90°． 故选：A． 【举一反三3】在△ABC中，，∠C＝3∠B+10°，∠B＝20°，则△ABC为     三角形． 【答案】直角． 【解析】解：设∠B=20°， ∵∠C＝3×20°+10°=70°， ∴∠A=180°-20°-70°=90°， ∴△ABC为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【举一反三4】下列四个条件： ①在△ABC 中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC 的三个内角的度数之比是1:2:3； ③在△ABC 中，∠A-∠B=∠C； ④△ABC的三个内角的度数之比是3:4:5. 其中能确定△ABC是直角三角形的是             (只填序号). 【答案】②③ 【解析】①∠A，∠B都是锐角，每个锐角小于90°，两个锐角的和小于180°，不一定直角，不能确定△ABC是直角三角形； ②根据题意，设三角形的三个内角分别是x°，2x°，3x°. ∴x+2x+3x=180. 解得x=30， ∴3x=90， ∴这个三角形是直角三角形； ③∵∠A-∠B=∠C， ∴∠A=∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠A=180°， ∴∠A=90°， ∴△ABC是直角三角形； ④根据题意，可设三角形三个内角分别为3x°，4x°，5x°. ∴3x°+4x°+5x°=180°， 解得x°=15°， ∴3x°=45°，4x°=60°，5x°=75°， ∴这个三角形不是直角三角形. 综上所述，符合题意的是②③. 【举一反三5】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． 求证：CD是△ABC的高． 【答案】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠BCD＝90°， ∵∠1＝∠B， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∴CD是△ABC的高． 【举一反三6】如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°.求证：△AEC为直角三角形. 填空： ∵AB∥CD， ∴∠1+45°+∠2+45°=             . ∴∠1+∠2=          . ∴∠E=        . ∴△ACE为直角三角形. 【答案】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， 即∠1+45°+∠2+45°=180°． ∴∠1+∠2=90°． ∴∠E=90°． ∴△ACE为直角三角形. 故答案为：180°，90°，90°． 【题型7】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】若直角三角形一个锐角为65°，则该直角三角形的另一个锐角是（　　） A.25° B.35° C.45° D.65° 【答案】A 【解析】根据直角三角形的两锐角互余可得它的另一个锐角为90°﹣65°＝25°． 【举一反三1】如图是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　） A.11个 B.10个 C.9个 D.8个 【答案】A 【解析】一副三角板中，角的度数有30°，60°，90°，45°， 由这4个角中的两个可以作出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°， 所以用一副三角板可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，共11个. 【举一反三2】Cobb角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得∠O＝45°，则图中与∠O（∠O除外）相等的角的个数为（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】B 【解析】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB， ∴∠ACO＝∠ACB＝∠BDO＝∠BDA＝90°， ∵∠O＝45°， ∴∠CAO＝90°﹣∠O＝45°，∠DBO＝90°﹣∠O＝45°， ∴∠APD＝90°﹣∠CAO＝45°， ∴∠APD＝∠BPC＝45°， ∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个， 故选：B． 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝　  　°． 【答案】45 【解析】在△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝∠B， ∴∠B＝45°. 【举一反三4】如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与直线PQ交于点C． （1）如图1，若∠A=∠AOC=30°，求∠B的度数； （2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】解：（1）∵△AOB是直角三角形，∠AOB=90° ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A=30°， ∴∠B=60°． （2）∵OD⊥AB，∠AEO=α， ∴∠DOE=90°-α， ∵∠DOB=∠BOE， ∴∠BOE=∠DOE=（90°-α） =45°-α， ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°-α =135°-α． 【题型8】三角形外角的概念 【典型例题】如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．则下列各角中，是三角形外角的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意; B项，∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠ADC是中的一边AD与另一边BD的延长线组成的角； ∴∠ADC是三角形的外角，故B符合题意； C项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意； D项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意. 【举一反三1】如图，边的延长线上一点，则外角的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠DAC是中的一边AC与另一边BA的延长线组成的角； ∴DAC是ABC的外角. ∵DAC=60°. ∴外角的度数是60°. 【举一反三2】如图，点D，B，C在同一条直线上，图中的外角是（   ） A. B.和∠AED C. D. 【答案】B 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠ABC是中的一边BE与另一边DB的延长线组成的角； ∠AED是中的一边DE与另一边BE的延长线EA组成的角； ∴ABC和∠AED是的外角. 【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，则的外角是      ． 【答案】， 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠CMD是中的一边DM与另一边BM的延长线组成的角； ∠ADM是中的一边DM与另一边BD的延长线组成的角； ∴ ， ∴∠CMD，∠ADM，是的外角. 【举一反三4】如图，的外角是                  ． 【答案】 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 又∵∠AMN是中的一边MN与另一边QM的延长线组成的角； ∠FNM是中的一边MN与另一边QN的延长线组成的角； ∠ENQ是中的一边QN与另一边MN的延长线组成的角； ∠NQD是中的一边NQ与另一边MQ的延长线组成的角； ∠CQM是中的一边MQ与另一边NQ的延长线组成的角； ∠BMQ是中的一边MQ与另一边NM的延长线组成的角； ∴图中的外角为. 【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【答案】△ABD；△ABC、△ADC. 【解析】解：根据三角形外角的定义可知，∠β是△ABD的外角；∠γ是△ACD的外角，也是△ABC的外角. 故答案为：△ABD；△ABC、△ADC.． 【举一反三6】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）解：∠A＝2∠BOC﹣180°，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， 在△ABC中，∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°， ∴∠A+2（∠OBC+∠OCB）＝180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴∠A+2（180°﹣∠BOC）＝180°， ∴∠A＝2∠BOC﹣180°； （2）解：∠A＝2∠BOC，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠OBC，∠OCD＝∠BOC+∠OBC， ∴2（∠BOC+∠OCB）＝∠A+2∠OBC． ∴∠A＝2∠BOC． （3）解：∠A＝180°﹣2∠BOC，理由如下： ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， ∴∠CBD＝2∠OBC，∠BEC＝2∠OCB， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBO，∠ACB＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCD， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴2（∠CBO+∠BCO）＝∠A+180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴2（180°﹣∠BOC）＝∠A+180°， ∴∠A＝180°﹣2∠BOC． 【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，与的大小关系是（   ） A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】解：根据三角形外角性质. 【举一反三1】如图，已知，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解： ，， . 【举一反三2】如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则         ． 【答案】 【解析】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴. 【举一反三3】如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，求的度数． 【答案】解：（1） ，， ． （2）是边上的高， , ． 又平分，由（1）得， ， 又, ． 【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数. 【答案】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠A， ∵∠A=40°， ∴∠1=40°， 又∵∠2=∠D+∠1，∠D=45°， ∴∠2=85°， 综上可得，∠1的度数是40°，∠2的度数是85°． 【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线．若∠ACE＝75°，下列结论错误的是（　　） A.∠ACQ＝105° B.∠BCE＝120° C.∠BCD＝180° D.∠PCQ＝135° 【答案】D 【解析】解：∵∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线． ∴∠ECQ＝DCE＝30°，∠ACP＝ACB＝22.5°． ∵∠ACE＝75°， ∴∠ACQ＝∠ACE+∠ECQ＝75°+30°＝105°， ∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+75°＝120°， ∠BCD＝∠BCA+∠ACE+∠ECD＝45°+75°+60°＝180°， ∠PCQ＝∠PCA+∠ACE+∠ECQ＝22.5°+75°+30°＝127.5°≠135°． ∴选项A、B、C正确，选项D错误． 故选：D． 【举一反三1】如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A.75° B.60° C.105° D.120° 【答案】A 【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故选：A． 【举一反三2】一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为      ． 【答案】 【解析】解：由题意得， ∴， ∴. 【举一反三3】已知，小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC是一个角（∠B）等于45°的直角三角板，△CDE是一个角（∠E）等于30°的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段DE上，AB与CE相交于点F，且∠AFE＝105°． （1）判断BC，ED的位置关系，并说明理由； （2）直接写出图中等于75°的角． 【答案】解：（1）BC，ED的位置关系是BC∥ED； 理由如下：∵∠AFE＝105°， ∴∠AFC＝75°． ∵∠AFC是△FBC的一个外角， ∴∠AFC＝∠ECB+∠B， 又∵∠B＝45°， ∠E＝30°， ∴∠ECB＝75°﹣45°＝30°＝∠E， ∴BC∥ED． （2）图中等于75°的角有三个， ∠AFC＝∠EFB＝∠ACD． 【举一反三4】在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角． (1)[操作发现] 如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°； (2)[探索证明] 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)[拓展应用] 如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】解：（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （2）如图，过作直线， ，， ， . （3）如图， 由题意得， ， ， ，， ， 与所夹锐角． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵是的一个外角，，， ∴. 【举一反三1】一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置和与吊绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，根据题意可知，，， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交  于点P，点F为焦点．若，则       .（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【解析】解：如图， 由题意可知，， ，， ， . 【举一反三3】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：. 【答案】解：（1）过点作，如图1， ，， ，， ，， 即， ， （2）过点作，如图2，设与的补角为，， ，， ，， ，， ，， 即， ， ， . 【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．    (1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______； (2)在（1）中，若，则______；若，则______； (3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由． 【答案】解：（1）入射角和反射角相等 即， 根据邻补角的定义 根据 根据三角形内角和为，可知 ． （2） 同理可得当时， ， ， ∴． （3）由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有． 证明：， ， ， ， ， ， ．        【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（    ） A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∵，是角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴. 【举一反三1】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则        度． 【答案】 【解析】解： O为的三条角平分线的交点， ， ， . 【举一反三4】如图，在中，是角平分线，则的度数是      ． 【答案】 【解析】解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∴. 【举一反三5】（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题： ①_____（用含的代数式表示）； ②求的度数． 【答案】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． （2）①在中，，， ∴， ∵平分， ∴. ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高.求∠DBC的度数. 【答案】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A， ∴2∠A+2∠A+∠A=180°， 解得∠A=36°， 则∠C=72°， ∵BD是边AC上的高， ∴∠BDC=90°， ∴∠DBC=90°-∠C=18°， 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3三角形的内角与外角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】三角形内角和定理 1 【知识点2】三角形的外角性质 2 【知识点3】直角三角形的性质 3 【题型1】三角形内角和定理的证明 3 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 5 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 6 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 7 【题型5】三角形内角和定理的应用 8 【题型6】直角三角形定义 10 【题型7】直角三角形的两个锐角互余 12 【题型8】三角形外角的概念 13 【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 15 【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 15 【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 17 【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春•绥棱县期末）一个三角形，3个内角度数之比是2：5：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等边 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 2.（2025春•新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋•东丽区期中）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B=55°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：          ．    【举一反三3】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法． 证明：在中，作（如图）， ∵（已知） ∴（直角定义） ∴，（直角三角形两锐角互余） ∴（等式的性质） ∴． 请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】适合条件∠A＝∠B＝2∠C的三角形是（　　） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【举一反三1】一个三角形三个内角的度数之比为2：2：5，这个三角形是（　　） A.直角三角形 B.全等三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【举一反三2】一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【举一反三3】三角形三个角的度数比是2：4：3，最大的角是　 　°，最小的角是　 　° 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． 若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数. 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，直线，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④.其中正确的是      ．（填序号） 【举一反三3】如图，已知，，，则       ． 【举一反三4】已知：如图，，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明DG∥BC； （2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）   A. B. C. D. 【举一反三1】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数           ． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处． （1）填空：∠ADE＝　    　度； （2）求∠EAC的大小． 【举一反三5】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　） A.80° B.95° C.110° D.140° 【举一反三2】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，已知小岛B在基地A的南偏东方向上，货轮C在基地A的南偏西方向，货轮C在小岛B的北偏西方向上，      °． 【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且． (1)在处测得灯塔应在什么方向； (2)求从灯塔观测两处的视角的度数． 【题型6】直角三角形定义 【典型例题】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，∠CBD＝16°，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠BAC的度数为（　　） A.90° B.46° C.44° D.34° 【举一反三3】在△ABC中，，∠C＝3∠B+10°，∠B＝20°，则△ABC为     三角形． 【举一反三4】下列四个条件： ①在△ABC 中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC 的三个内角的度数之比是1:2:3； ③在△ABC 中，∠A-∠B=∠C； ④△ABC的三个内角的度数之比是3:4:5. 其中能确定△ABC是直角三角形的是             (只填序号). 【举一反三5】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． 求证：CD是△ABC的高． 【举一反三6】如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°.求证：△AEC为直角三角形. 填空： ∵AB∥CD， ∴∠1+45°+∠2+45°=             . ∴∠1+∠2=          . ∴∠E=        . ∴△ACE为直角三角形. 【题型7】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】若直角三角形一个锐角为65°，则该直角三角形的另一个锐角是（　　） A.25° B.35° C.45° D.65° 【举一反三1】如图是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　） A.11个 B.10个 C.9个 D.8个 【举一反三2】Cobb角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得∠O＝45°，则图中与∠O（∠O除外）相等的角的个数为（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝　  　°． 【举一反三4】如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与直线PQ交于点C． （1）如图1，若∠A=∠AOC=30°，求∠B的度数； （2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）． 【题型8】三角形外角的概念 【典型例题】如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．则下列各角中，是三角形外角的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，边的延长线上一点，则外角的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点D，B，C在同一条直线上，图中的外角是（   ） A. B.和∠AED C. D. 【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，则的外角是      ． 【举一反三4】如图，的外角是                  ． 【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【举一反三6】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，与的大小关系是（   ） A. B. C. D.不能确定 【举一反三1】如图，已知，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则         ． 【举一反三3】如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，求的度数． 【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数. 【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线．若∠ACE＝75°，下列结论错误的是（　　） A.∠ACQ＝105° B.∠BCE＝120° C.∠BCD＝180° D.∠PCQ＝135° 【举一反三1】如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A.75° B.60° C.105° D.120° 【举一反三2】一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为      ． 【举一反三3】已知，小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC是一个角（∠B）等于45°的直角三角板，△CDE是一个角（∠E）等于30°的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段DE上，AB与CE相交于点F，且∠AFE＝105°． （1）判断BC，ED的位置关系，并说明理由； （2）直接写出图中等于75°的角． 【举一反三4】在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角． (1)[操作发现] 如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°； (2)[探索证明] 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)[拓展应用] 如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置和与吊绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交  于点P，点F为焦点．若，则       .（用含x，y的代数式表示） 【举一反三3】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：. 【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．    (1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______； (2)在（1）中，若，则______；若，则______； (3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由． 【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（    ） A.和 B.和 C.和 D.和 【举一反三1】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A.10° B.15° C.20° D.25° 【举一反三3】如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则        度． 【举一反三4】如图，在中，是角平分线，则的度数是      ． 【举一反三5】（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题： ①_____（用含的代数式表示）； ②求的度数． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高.求∠DBC的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $