专题01 平面直角坐标系（2知识&8题型&3易错&3方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面直角坐标系(2知识&8题型&3易错&3方法清单) 知识图谱 1.有序数对 2平面直角坐标系 3.坐标平面内点的位置特点 4,点到坐标轴的距离 平面直角坐标系 5.坐标平面内对称点坐标的特点 6.平行于坐标轴的直线的表示 7.象限角平分线的特点 中心主题 1.点的平移 2.图形的平移 图形在坐标系中的平移 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 4.坐标方法的简单应用 知识清单 【清单01】平面直角坐标系 1.有序数对 有顺序的两个数α与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做 这个点在数轴上的坐标 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上） 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，α点对应x轴的数值为横坐标，b点对应 y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（α，b).书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗 号 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴 上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点)之 外，其他区域之间都没有公共点。 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)的坐标和它对应；反过 来，对于任意一对有序实数(x,y)在坐标平面内都有唯一的一点M4,即坐标为(x,)的点和它对应，也就 是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第I象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）· 注：1、坐标轴(x轴、y轴)上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标 也相应发生改变 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为(0,0)； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正 ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负： ⑥横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x,0),所以，横轴也可写作：y=0(表示一条直线) ⑦纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0(表示一条直线) 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x 轴)的距离. 注：①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A(x,y4)、B6:,2)之间的距离公式为：d=V2-x,2+2-y,】 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A'(a,-b),特点为：x不变，y相反： ②一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A'(-a,b),特点为：y不变，x相反； ③一个点A(a,b)关于原点对称的点的坐标为A'(-a,-b),特点为：x、y均相反， 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a(a为纵 坐标)的形式，α的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝 对值； ②平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为横 坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝 对值 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为yx的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号） 【清单02】图形在坐标系中的平移 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点(x,y)向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x土a,y); 将点(x,y)向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x二a,y)；“左减右迦” 将点(x,y)向上平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y士b); 将点(x,y)向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y二b).“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数α，相应的新图形就是把原图 形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a,相应的新图形 就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 位置 特点 示例 原来点的坐标为(a,b), 关于x轴对称的两个 横坐标不变，纵坐标 关于x轴对称后点的坐标 点的坐标 互为相反数 为(a,-b) 原来点的坐标为(a,b), 关于y轴对称的两个 横坐标互为相反数 关于y轴对称后点的坐标 点的坐标 纵坐标不变 为(-a,b) 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形 面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如 矩形或梯形)与一个或几个较小的三角形面积之差. 期中常考题型清单 【题型一】定位法的应用 【例1】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)根据下列表述，能确定具体位置的是() A.东岗东路北侧 B.甘肃省兰州市 C.北纬31°，东经103 D.南偏西40° 【变式1-1】(2425七年级下·海南省直辖县级单位期中)如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用 有序数对(5,6)表示，则数对2,4表示的位置是() 3/17 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个 海洋馆 6 北 4 鸵鸟馆 熊猫馆 金丝猴馆 孔雀馆 1 2345678910 A.熊猫馆 B.孔雀馆 C.鸵鸟馆 D.金丝猴馆 【变式1-2】(24-25七年级下·福建福州期中)在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物 体的相对位置，如图，以0点为基准点，射线OA方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度(0°~180)， 顺时针方向旋转为负角度(0°~-180)如：OB方向为OA方向绕0点逆时针旋转90°，点B与点0的距离为 1km,因此点B可以用有序数对记为(90，，类似地，点C可以记为-15°，4).以下点的位置标记正确的是 距离单位：km A.点D(4,150 B.点E45,3 C.点F(-120°，3 D.点G(60,2 【题型二】判断点所在的象限 【例2】(24-25七年级下.甘肃武威期中)点P(-3,2)位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-1】(24-25八年级上宁夏中卫期中)已知a<0,b>0,那么点P(a,b)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-2】(24-25八年级下·河北唐山期中)已知a>0,则点P(-a3,a2+1在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】己知点所在的象限求参数 【例3】(24-25七年级下·全国·期中)若点A(m-1,m+2)在平面直角坐标系的x轴上，则点A的坐标 为 【变式3-1】(24-25七年级下·云南昆明期中)在平面直角坐标系x0y中，点P(m+1,m-2)在y轴上，那 么m= 【变式3-2】(24-25八年级上·安徽合肥期中)已知点P(2a+3,)在第四象限，且点P到x轴的距离与它到 y轴的距离相等，则a= 【题型四】求点到坐标轴的距离 【例4】（24-25七年级下·云南昆明期中)点(1，-7)到x轴的距离为一 【变式4-1】(24-25七年级下·江西赣州·期中)点P(-3,2)到y轴的距离是 【变式4-2】(24-25七年级下山东德州期中)已知点P的坐标为2-a,3a+6,若点P在x轴上，则点P的 坐标为；若点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 【题型五】根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 【例5】(24-25七年级下·全国·期中)如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别 写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）. -T-T 体育馆 市场 文化宫 火车站 +一十 医院】 超師 +一+一十一十一+一+一 【变式5-1】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校， 是兰州市首批示范性中学.如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为A(2,4),广播站的坐标 为B(5,-1. 5/17 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 后高门 食堂 A图书馆 旗杆 广播 前门 (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标： (2)若学生广场的坐标为C(6,5),种植园坐标为D(-1,-4),请在图中标出学生广场C和种植园D的位置. 【变式5-2】(24-25七年级下·陕西延安期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知 火车站的坐标为2,2)，文化馆的坐标为(-1,3). 体育场 市场 文化馆 火车站 超市 (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (②)直接写出体育场，市场，超市的坐标： (3)已知游乐场A,图书馆B的坐标分别为0,5)，（-2,2)，请在图中标出A,B的位置. 【题型六】点在平面直角坐标系中的平移 【例6】(24-25八年级下广东佛山期中)将点P(2,1)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到 点P的坐标是 【变式6-1】(24-25七年级下·广东中山期中)在平面直角坐标系中，已知点A(3,-2),将点A先向右平移 2个单位，再向下平移1个单位，得到点B.则点B的坐标为 【变式6-2】(24-25七年级下·陕西西安·期中)在平面直角坐标系中，若将点(2,4)向上平移3个单位长度 后得到点(2，m),则m的值为 6/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型七】平面直角坐标系中的平移作图 【例7】(24-25七年级下·全国期中)三角形ABC与三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示， 三角形A'B'C'是由三角形ABC平移得到的. 2B34 (1)分别写出点，B,C的坐标： (②)说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？ (3)若点P(a,b)是三角形ABC内的一点，在平移后三角形A'B'C'内的对应点为P,写出点P的坐标. 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标 分别为A-4,1,B(-3,3),C(-1,2).平移三角形ABC得到三角形A'B'C',点A,B,C的对应点分别为点 A,B,C,己知点的坐标为(0，-2) 5 B 3 5-4-3-2-10■ 12345x ()点B的坐标为，点C的坐标为 (2)画出三角形A'B'C'. 【变式7-2】(23-24八年级下·河北石家庄·期中)已知，ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 7/17 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A(-2,1,B(-3,-2),C(1,-2.(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度). 6 5 4 3 2 6-5-4-3/-2-Q 23456 B -3 (I)先将ABC先向右平移2个单位长度再向上平移4个单位，请你画出得到的△AB,C: (2)在（1)的条件下，若ABC内部一点P的坐标为a,b),则点P的对应点P的坐标是_ (3)点A、B、C的横、纵坐标分别乘2后的对应点为点A2、B2、C2,依次连接点A,B2、C2,得到△A,B,C2· ①画出△A,B,C2: ②ABC的边长和面积与△A,B,C,相比有什么变化？ 【题型八】在平面直角坐标系中求图形的面积 【例8】(24-25七年级下陕西安康期中)如图，在平面直角坐标系中，己知Aa,0),B(b,0),C(-1,2), 且a+2+(b-3)=0. B (1)求a,b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M,使三角形COM的面积等于三角形ABC面积的一半，求出点M的坐标： (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M,使三角形COM的面积等于三角形ABC面积的一半？若存在，请直 8/17 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由. 【变式8-1】(24-25七年级下·陕西延安期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点A(a,0),点B(0,b), 点C(0,-4),且la=4,b=(-√2. (1)点A的坐标为 点B的坐标为 (②)将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点是点C,求三角形BCD的面积； (3)在(2)的条件下，过点D作DE⊥x轴于点E,请问在射线EO上，是否存在点P,使得三角形PCD的面 积等于三角形BCD面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由， 【变式8-2】(23-24七年级下·广东中山期中)平面直角坐标系中，A点为-3,0)，D点为0,4)，将线段 AD平移至线段BC,连AB,CD 图1 图2 (1)如图1，若B点为-2，-2). ①直接写出图中相等和平行的线段和C点坐标； ②求四边形ABCD的面积； (2)如图2，若OA平分∠DAB,求证：0D平分∠ADC. 9/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频易错归因清单 【题型一】利用平面直角坐标系的性质求参数问题 【例1】(24-25七年级下广东中山期中)在平面直角坐标系中，已知点M(m+n-2,2m+3n-7),点 N(5,2n. (I)若点M在第一象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，求m,n值； (2)若MN∥y轴，且MN=2,求点N的坐标. 【变式1-1】(23-24七年级下.四川南充期中)在平面直角坐标系中，己知点P(2m-4,m+1),试分别根据 下列条件，求出点P的坐标. (1)点P在y轴上； (2)点P在过A(2,-5)点且与x轴平行的直线上： (3)点P到两坐标轴的距离相等。 【变式1-2】(24-25七年级下·河南商丘·期中)已知平面直角坐标系中一点P(m-4,2m+1). (I)当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当点P在过点A(-4,-3)、且与x轴平行的直线上时，求出点P的坐标； (3)当点P到两坐标轴的距离相等时，求出m的值. 【题型二】平面直角坐标系中与面积有关的多解问题 【例2】(23-24七年级下·江西南昌·期中)已知点A(2,0),B(0,2),点C在坐标轴上，且三角形ABC的面 积是2，则满足条件的点C的坐标为 【变式2-1】(23-24七年级下·北京西城期中)在平面直角坐标系x0y中，己知三角形的三个顶点坐标分别 是AO,1,B(1,0),C(1,2),点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标 是 【变式2-2】(24-25七年级下湖北咸宁期中)定义：任意三点A,B,C的“矩面积”计算方法：“水平底”a 是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=αh,例如，三点 坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(1,-2),则“水平底”a=4,“铅垂高”h=6,“矩面积”S=ah=24.若 D(2,2,E-2,1,F(3,m)三点的“矩面积”为20，则m= 10/17 专题01 平面直角坐标系（2知识&8题型&3易错&3方法清单） 【清单01】平面直角坐标系 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【清单02】图形在坐标系中的平移 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. 【题型一】定位法的应用 【例1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）根据下列表述，能确定具体位置的是 （   ） A．东岗东路北侧 B．甘肃省兰州市 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解：、东岗东路北侧，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、甘肃省兰州市，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； 、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意， 故选：． 【变式1-1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是（    ） A．熊猫馆 B．孔雀馆 C．鸵鸟馆 D．金丝猴馆 【答案】A 【分析】本题考查了用有序数对表示实际位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．由平面地图可知，横线和竖线相交的地方就是景点位置． 【详解】解：由平面地图可知，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是熊猫馆， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·福建福州·期中）在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．根据题干中的例子，分别判断每个选项即可． 【详解】解：由题意可得： A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意； B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意； 故选：D． 【题型二】判断点所在的象限 【例2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点所在的象限，熟练掌握在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征是解题关键．根据在平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0解答即可得． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点位于第二象限， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）已知，， 那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点．本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：∵， ∴点位于第二象限， 故选：B 【变式2-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据题意可得，，则点P的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P在第二象限， 故选：B． 【题型三】已知点所在的象限求参数 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的特点，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上点的纵坐标为0，列关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的x轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点A的坐标是：． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中轴上的点横坐标为成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中，轴上的点横坐标为得到的等式求解即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知点在第四象限，且点到轴的距离与它到轴的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键． 根据点在第四象限可得，由点到轴的距离与它到轴的距离相等，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得，， ∵点到轴的距离与它到轴的距离相等， ∴， 解得，，符合题意， 故答案为： ． 【题型四】求点到坐标轴的距离 【例4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）点到x轴的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点到轴的距离，到轴的距离，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．根据纵坐标的绝对值就是到轴的距离求解即可． 【详解】解：由点可知， 此点到轴的距离为， 故答案为：7． 【变式4-1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）点到轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系中点到轴的距离等于其横坐标的绝对值即可求出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离是， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为 ；若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列方程求出的值，再代入求横坐标，确定点坐标．点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标相等或互为相反数，据此列方程求，进而得点坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征（轴上点纵坐标为、点到两坐标轴距离相等时横纵坐标的关系 ），熟练掌握这些坐标特征并据此列方程求解是解题的关键． 【详解】解：点在轴上，轴上点的纵坐标为 解得 把代入，得 点坐标为 点到两坐标轴距离相等 有或 当时： 移项可得，即，解得 把代入坐标，横坐标，纵坐标，此时 当时： 去括号得，移项，即，解得 把代入坐标，横坐标，纵坐标，此时 点坐标为或 故答案为：；或． 【题型五】根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 【例5】（24-25七年级下·全国·期中）如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置． 以火车站为原点建立平面直角坐标系，写出各点坐标即可． 【详解】解：以火车站为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系， 火车站；体育场；市场；宾馆；文化宫； 医院；超市． 【变式5-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； (2)若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 【答案】(1)图见详解，食堂的坐标为；前门的坐标为, (2)图见详解 【分析】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键． （1）将图书馆的坐标向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标系即可找到食堂和前门的坐标； （2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可． 【详解】（1）解：作图如下： 根据坐标系可知食堂的坐标为；前门的坐标为 （2）学生广场和种植园的位置，如上图所示： 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)体育场；市场；超市 (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出个点的坐标； （3）根据坐标系分别标出的位置,即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市 （3）解：如图所示，点即为所求 【题型六】点在平面直角坐标系中的平移 【例6】（24-25八年级下·广东佛山·期中）将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移．点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后得到点， 所以． 故答案为：7． 【题型七】平面直角坐标系中的平移作图 【例7】（24-25七年级下·全国·期中）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的． (1)分别写出点的坐标； (2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？ (3)若点是三角形内的一点，在平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到三角形(答案不唯一) (3) 【分析】该题考查了平面直角坐标系和点的平移： （1）根据已知图形可得答案； （2）由一组对应点可得平移方向和距离； （3）利用平面直角坐标系中点的坐标平移规律可得． 【详解】（1）解：由图，得． （2）解：将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到三角形．(答案不唯一) （3）解：点的坐标为． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．平移三角形得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点，，，已知点的坐标为． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____， (2)画出三角形． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标可得平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，再根据平移方式即可得到点和点的坐标； （2）根据（1）所求先描点，再连线画出三角形即可． 【详解】（1）解：∵平移三角形得到三角形，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度， ∵，， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即； （2）解：如图所示，即为所求； 【变式7-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度）． (1)先将先向右平移个单位长度再向上平移个单位，请你画出得到的； (2)在（）的条件下，若内部一点P的坐标为，则点的对应点的坐标是 ； (3)点的横、纵坐标分别乘后的对应点为点，依次连接点，得到． 画出； 的边长和面积与相比有什么变化？ 【答案】(1)图见解析； (2)； (3)图见解析；的边长是的对应边长的一半，的面积是的面积的． 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，三角形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （）根据向右平移个单位长度再向上平移个单位，即可求出的坐标； （）先根据题意得出坐标，然后连接点即可； 根据题意分别求出的面积和的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3）∵，，， ∴点的横、纵坐标分别乘后的对应点为点， 如图，即为所求； 由题意得，的面积是，的面积是， ∴， ∴的边长是的对应边长的一半，的面积是的面积的． 【题型八】在平面直角坐标系中求图形的面积 【例8】（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 【变式8-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)12 (3)存在，点 【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，分类讨论是解答的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可； （2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作轴于点F，然后根据面积公式即可求解； （3）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵A在x轴负半轴， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）解：点的对应点是点， 将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段， 点对应点D坐标为． 如图-1，过点D作轴于点F，则，． 三角形的面积． （3）解：存在，点． 设，三角形的面积为，三角形的面积为，则． 当时，如图-1，连接． ，， ． 不成立； 当时，，不成立； 当时，如图-2． ． ，． ． ，此时点P的坐标为． 当时，，不成立． 综上可知，点P的坐标为． 【变式8-2】（23-24七年级下·广东中山·期中）平面直角坐标系中，A点为，D 点为，将线段平移至线段，连，． (1)如图1，若B 点为． ①直接写出图中相等和平行的线段和C点坐标；       ②求四边形的面积； (2)如图2，若平分，求证：平分． 【答案】(1)①，；②10 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质，角平分线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由平移的性质可得；根据点A和点B的坐标可得平移方式为向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，再由点D的坐标结合平移方式可得点C的坐标；②过点A，C分别作y轴的平行线，过点B、D分别作x轴的平行线，根据列式求解即可； （2）由角平分线的定义得到；由平行线的性质得到，则可得到，由三角形内角和定理可得，则，即可证明平分． 【详解】（1）解：①由平移的性质可得； ∵A点为，D 点为，将线段平移至线段，B 点为， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度， ∴点C的坐标为，即； ②如图所示，过点A，C分别作y轴的平行线，过点B、D分别作x轴的平行线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【题型一】利用平面直角坐标系的性质求参数问题 【例1】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点M在第一象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，求m，n值； (2)若轴，且，求点N的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了象限内点的坐标符号特征，点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解二元一次方程组，解题的关键是掌握点到轴距离等于纵坐标的绝对值，到轴距离等于横坐标的绝对值；平行于轴的直线上的点纵坐标相等，平行于轴的直线上的点横坐标相等． （）根据第一象限内点的坐标符号特征及点到轴的距离与到轴的距离列方程组，然后解之即可求解； （）根据轴，得到点的横坐标相等，结合两点距离可得方程组，然后解方程组即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴，； （2）解：由题意可得或， 解得或， ∴点N的坐标为或． 【变式1-1】（23-24七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在过点且与轴平行的直线上； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标系下求点的坐标： （1）根据轴上的点的横坐标为0，得到，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； （2）由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； （3）由题意，得：， 解得：或； 当时，，则； 当时，，则； 综上：或 【变式1-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知平面直角坐标系中一点． (1)当点在轴上时，求出点的坐标； (2)当点在过点、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标； (3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为列方程求出的值，再求解即可； （2）根据平行于轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解的值，再求解即可． （3）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， 所以，， 所以，点的坐标为； （2）解：，且平行于轴， ， 解得， ， 点的坐标为 （3）解：根据题意，得或， 解得或． 所以的值是或． 【题型二】平面直角坐标系中与面积有关的多解问题 【例2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 【详解】解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式2-1】（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案． 【详解】解：如图，由题意，设点坐标是， ∵，， ， ∴，，三角形的边上的高为1， ∴三角形的面积为，三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， 解得或， 则点坐标是或， 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 【题型三】点在平面直角坐标系中的规律探究问题 【例3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……请观察图形，写出点的坐标为： ；按此运动规律，则  点的坐标为： ． 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律问题，观察数据，找到横纵坐标的规律是解题的关键．根据，，，…，得出，即可得出的坐标． 【详解】解：观察可知：，，，， ∴， ∵， ∴的横坐标为675，即点， 故答案为：；． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是通过观察找到坐标的规律． 通过观察，将点进行分组，写出第组中的点的坐标，通过计算确定在第几组第几个，代入相应的坐标表达式，计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，……， ∴观察发现：每三个点为一组，第组的三个点的坐标依次为，，， ∵， ∴是第组的第三个点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为： 【题型一】平面直角坐标系中的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 读懂定义，转化规则：仔细阅读题目，理解新定义的含义。 将新规则用自己熟悉的数学语言重新描述。 例如，定义"点P(x,y)的伴随点为P'(y,-x)"，你需要明确这是一个坐标变换规则。 2. 套用定义，代入计算：把题目中的已知点坐标代入新定义。 按照规则进行计算。 比如，根据新定义求出某个点的"伴随点"坐标。 3. 结合性质，综合分析：结合坐标系中点的平移、对称等性质来分析问题。 新定义问题最终会回归到距离、面积等核心知识点上。 【例1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为_________； (2)若点的长距为4，且点C在第四象限内，点是“完美点”，求a，b的值． 【答案】(1)2 (2)或， 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点C在第四象限内，，求出的值，根据完美点的定义，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）∵点的长距为4，且点C在第四象限内， ∴，， ∴， ∴； ∵点是“完美点”， ∴， ∴或． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是_____； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，求m的值． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①4；②2或10 (2)1或2 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，点的坐标，根据题意进行分类讨论，掌握解方程的方法是解题的关键． （1）①根据新定义直接写出点A的“长距”即可； ②根据新定义得出m的等式，解得m的值即可； （2）分情况讨论，得到关于m的等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，， ∴点A的“长距”是4， 故答案为：4； ②由题意得， ∴， ∴， ∴或10； （2）解：到x轴的距离为，到y轴的距离为2， 到x轴的距离为，到y轴的距离为4， ①当时，即， ∴，， ∴或， 当时，满足题意， 当时，，舍去， ∴； ②当时，，即 ∴或， 由得，此时，满足题意， 由得，，此时，舍去， ∴； 综上所述，k的值为1或2． 【变式1-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点” (1)点的“长距”为_________； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若的长距为7，且点C在第三象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义，即可获得答案； （2）根据“角平分线点”的定义可得，求解即可获得答案； （3）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）∵点的长距为7，且点C在第三象限内， ∴，解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 【题型二】平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 方法技巧总结： 1. 设点坐标，用参数表示： - 设出待求点的坐标，通常用一个或两个参数表示 - 例如，设点P的坐标为(x, 0)或(m, n) - 根据已知条件确定参数间的关系，减少未知数数量 2. 列面积方程，建立关系： - 根据题目给出的面积条件，列出关于参数的方程 - 常用方法有： - 割补法：将不规则图形分割成几个规则图形（如三角形、梯形） - 公式法：直接套用三角形面积公式 S = 1/2 × 底 × 高 3. 解方程，验证结果： - 解出参数的值 - 根据实际情况检验结果合理性 - 如点是否在线段上、坐标是否符合特定范围等 【例2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在长方形中，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动． (1)点B的坐标为__________；当点P移动5秒时，点P的坐标为__________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点P使的面积是20，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)2秒或14秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题等知识点，正确地用代数式表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得a，b，可得A，C的坐标，进而可求得点B的坐标，然后计算点P的坐标即可； （2）设点P移动的时间为t秒，点P到x轴的距离为4个单位长度，则点P在边上或边上，分别列方程求出t的值即可； （3）设点P移动的时间为t秒，当点P在边上时；当点P在边上时，分别解方程求出相应的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ，，即， ∵四边形是长方形， ，， ∴点B的坐标为； 当点P移动5秒时，则移动的距离是， 此时点P在边上，且， 点P的坐标为． 故答案为：，． （2）解：设点P移动的时间为t秒， 当点P到x轴的距离为4个单位长度时，有以下两种情况： ①点P在边上时，，解得：； ②点P在边上时，，解得：． 综上所述，点P移动的时间为2秒或14秒． （3）解：存在，设点P移动的时间为t秒， 如图1，当点P在边上时， ，且，， ，解得：； 如图2，当点P在边上时， ，且，， ，解得：． 综上所述，点P移动的时间为秒或秒． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且a，c满足方程为二元一次方程． (1)求A、C的坐标． (2)若点D为y轴正半轴上的一个动点． ①如图1，当时，与的平分线交于点P，求的度数； ②如图2，连接，交x轴于点E．是否存在点D使成立．若存在，求出点D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①；②存在； 【分析】（1）根据可得，，，，即可求得a、c的值，坐标可求； （2）①作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案； ②连接，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出、，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是二元一次方程， ∴，，， 解得，，， 则点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①如图1，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②存在；连接，交轴于，设， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， 过作轴的平行线，作于点H、于点， ， ， 由题意得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形综合、三角形的面积计算，一元一次方程，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级下·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，． (1)请写出A，B，C，D四点坐标； (2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与重合），请直接写出，，的数量关系． 【答案】(1)，，，； (2)存在，点的坐标为或 (3) 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得出点的坐标，再根据点的坐标的平移规律即可 （）先求出的面积为，设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得，解方程即可求解； （）如图，过作 ，可得，再根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将点分别向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到点的对应点， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设点的坐标为，则， ∴， 当三角形的面积与三角形的面积相等时，， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过作 ， 由题意可知， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，点平移的规律，一元一次方程的几何应用，平行线的性质及平行公理的推论，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型三】平面直角坐标系中动点探究性问题 方法技巧总结： 1. 设坐标，用参数表示运动： - 用参数（如t）表示动点坐标 - 根据运动速度和方向写出坐标表达式 - 例如，点P从(0,0)以每秒2个单位向右运动，则t秒后坐标为(2t, 0) 2. 根据条件，建立数学关系： - 题目会要求探究特定几何关系 - 常见关系：线段相等、垂直、平行、构成特殊图形（等腰/直角三角形） - 利用这些关系列出关于参数t的方程 3. 解方程，验证并分类讨论： - 解出参数t的值 - 检验结果合理性（如t≥0） - 注意多种可能性，如等腰三角形哪两边相等，需分类讨论 【例3】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． (2)点P的坐标是 (3)点P移动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是． （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 【变式3-1】（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 【变式3-2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握割补法求解不规则图形面积是本题解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解，，然后根据平移与坐标的变化求解点坐标即可； （2）采用割补法，根据三角形面积公式求解四边形的面积； （3）①根据的面积等于的面积加的面积求解，的关系式即可； ②根据与的位置分类讨论，采用割补法求解的面积，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 轴， ， 当和原点重合时，向下平移两个单位，向左平移个单位， ； 故答案为：，，； （2）解：； （3）解：①在线段上， ，， ， ， ； ②过作轴于，令直线交轴于，如图： 当在点左侧时， ，轴， ， ， ， ， ，， ； 当在点右侧时， ， ， ， ，， ； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $