专题03 二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期苏科版

专题03 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义与图象 理解二次函数定义，掌握图象特征与性质 基础必考点，选择题中出现频率高，图象性质考查较多 二次函数的解析式确定 能根据已知条件灵活运用三种形式求解析式 核心计算能力，待定系数法考查频率高 二次函数的图象变换 掌握平移规律，理解系数对图象的影响 图象理解难点，平移规律易考查 二次函数的实际应用 能建立二次函数模型解决最值问题 建模思想、综合应用能力考查必考 二次函数与方程不等式 理解二次函数与一元二次方程的关系 综合应用难点，数形结合 知识点01 二次函数的定义与图象性质 1.定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的函数 2.图象：抛物线，对称轴x＝－，顶点(－，) 3.性质：a>0：开口向上，有最小值；a<0：开口向下，有最大值；|a|越大，开口越小 ·示例：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＜0；②3a－b＝0；③b2－4ac＞0；④5a－2b＋c＞0，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点在（－3，0）和（－4，0）之间， ∴抛物线与x轴另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，∴b2－4ac＞0，故③正确； ∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0， ∵对称轴为直线，a＜0，∴b＜0，3a＝b，∴abc＞0，3a－b＝0， 故①错误，②正确； 当x＝－1时，a－b＋c＞0，当x＝－3时，9a－3b＋c＞0，∴10a－4b＋2c＞0， ∴5a－2b＋c＞0，故④正确．故选C． 2.在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，y与x的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 －2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞4时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（－1，－2）；④当y＞2时，x＜0或x＞3；⑤对称轴是直线x＝1．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】①由图表中数据可得出：y随x的增大先增大后减小，故此抛物线开口向下，故此选项正确； ②∵x＝0和x＝3时的函数值相同， ∴对称轴为直线x， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小，故此选项正确； ③∵点（4，－2）关于对称轴的对称点为（－1，－2）， ∴抛物线一定经过点（－1，－2），故此选项正确； ④当y＞2时，0＜x＜3，此选项错误； ⑤对称轴为直线x，故此选项错误． 故选C. ·易错点：忽略a≠0的条件；顶点坐标公式记忆错误；对称轴计算时符号处理错误 知识点02 二次函数的解析式确定 1.一般式：y＝ax²＋bx＋c（已知任意三点） 2.顶点式：y＝a(x-h)²＋k（已知顶点和另一点） 3.交点式：y＝a(x-x₁)(x-x₂)（已知与x轴交点和另一点） ·示例：1.若函数是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 【解答】∵函数是关于x的二次函数， ∴m2＋m＝2，解得：m＝1或m＝－2， ∵m＋2≠0，∴m≠－2，∴m＝1 2.抛物线y＝x2－6x＋c与x轴只有一个交点，则c＝　 　 ． 【解答】令y＝0，则x2－6x＋c＝0， 由题意得：Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4c＝0，解得：c＝9 ·易错点：三种形式选择不当导致计算复杂；代入求值时计算错误；最终结果未化为一般式. 知识点03 二次函数的图象变换 1.平移规律：左加右减（x），上加下减（整体） 2.系数影响：a决定开口方向和大小；b与a共同决定对称轴位置；c决定与y轴交点 ·示例：1.将抛物线y＝－x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝－（x－3）2－2 B．y＝－（x＋3）2－2 C．y＝（x＋3）2－2 D．y＝－（x＋2）2－3 【解答】将抛物线y＝－x2先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是y＝－（x＋3）2－2．故选B． 2.设函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（－3，0），（2，0），若函数y1＝a（x＋h－2）2＋m＋2025（a＞0），则与x轴交点的坐标是　 　 ． 【解答】由题意，∵函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（－3，0），（2，0）， ∴该函数的对称轴为直线h－1．∴h． ∴y1＝a（x2）2＋m＋2025（a＞0），即y1＝a（x）2＋m＋2025（a＞0）， 又∵函数y1＝a（x）2＋m＋2025（a＞0）的图象是由函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）的图象向右平移2个单位长度所得， ∴函数y1＝a（x）2＋m＋2025（a＞0）的图象与x轴的交点坐标为（－1，0），（4，0）． 故答案为：（－1，0），（4，0）． 3.将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为　 　 ． 【解答】将抛物线y＝－x2先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋2 ·易错点：平移方向与符号对应错误；系数符号判断时逻辑混乱；图象特征与代数表达式对应不准确 题型一 二次函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 1.明确a、b、c的符号意义 2.熟练掌握顶点坐标和对称轴公式 3.利用对称性简化计算 易｜错｜点｜拨 比较函数值大小时，要判断点与对称轴的相对位置，不能直接代入比较 【典例1】如图，将抛物线平移到抛物线，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上．下列结论：①无论m取何值，都有n2＜0；②若点P平移后的对应点为P′，则；③当－3＜m＜1时，线段PQ的长随着m的增大而减小．其中正确的结论为（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【解答】由解析式可知抛物线开口向下，顶点为（2，－1）， ∴无论m取何值，都有n2＜0，故①对，符合题意； ∵将抛物线的顶点为（－1，2），抛物线开口向下，顶点为（2，－1）， ∴将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， ∴点P平移后的对应点为P′的最短路程为，故②对，符合题意； ∵PQ＝|－（m＋1）2＋2＋（m－2）2－1|＝|－6m＋6|，当－3＜m＜1时，PQ＝－6m＋6，PQ随着m的增大而减小，∴当－3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ变短，故③对，符合题意；故选A． 【典例2】点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝－2x2＋4x＋c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 【解答】由条件可知抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点P1（1，y1）为顶点，其纵坐标y1为最大值；点P2（3，y2）、P3（5，y3）在对称轴右侧， ∴x＞1时，y随x增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，∴y1＞y2＞y3，故选C． 【典例3】在平面直角坐标系中，二次函数． （1）若函数y1的图象经过点（2，－2），求函数y1的表达式； （2）若P（m，n）和Q（5，b）是函数y1图象上的两点，且n＞b，求m的取值范围； （3）若一次函数y2＝－4ax＋b的图象经过函数y1图象的顶点，当1＜x＜3时，比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）∵函数的图象经过点（2，－2）， ∴－2＝4a－8a＋a＋1，解得a＝1， ∴函数y1的表达式为； （2）函数图象的对称轴为直线， Q（5，b）关于对称轴的对称点为（－1，b）， ∵a＞0，∴抛物线的开口向上， 当P（m，n）在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， ∵n＞b，∴m＜－1， 当P（m，n）在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， ∵n＞b，∴m＞5， 综上所述，m的取值范围为m＜－1或m＞5； （3）∵， ∴函数y1图象的顶点坐标为（2，1－3a）． ∵一次函数y2＝－4ax＋b的图象经过y1图象的顶点， ∴1－3a＝－4a×2＋b，即b＝5a＋1， ∴y2＝－4ax＋5a＋1， 令y1＝y2，得ax2－4ax＋a＋1＝－4ax＋5a＋1， 整理得ax2－4a＝0，解得x＝－2或x＝2， ∴当1＜x＜2时，y1＜y2； 当x＝2时，y1＝y2；当2＜x＜3时，y1＞y2． 【变式1】已知二次函数y＝x2＋2x－4，当－3＜x≤0时，y的取值范围是（　　） A．－4≤y≤－1 B．－4≤y＜－1 C．－5≤y＜－1 D．－5≤y≤－4 【解答】∵二次函数y＝x2＋2x－4＝（x＋1）2－5， ∴该函数的对称轴是直线x＝－1，函数图象开口向上，当x＝－1时，取得最小值－5， ∵－1－（－3）＝2，0－（－1）＝1，当x＝－3时y＝－1， ∴当－3＜x≤0时，y的取值范围是－5≤y＜－1，故选C． 【变式2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　 　 ． 【解答】∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4），∴点C坐标为（0，4），∴抛物线对称轴为直线x＝3， 由B（8，0）可得点A坐标为（－2，0），∴S△ABCAB•OC10×4＝20． 故答案为：20． 【变式3】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝－x＋b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）． ∵直线经过A点，∴0＝－（－1）＋b，∴b＝－1； （2）由（1）知y2＝－x－1，联立得：x2－2x－3＝－x－1， ∴x2－x－2＝0∴x＝－1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝－x－1，得y＝－3， ∴C（2，－3），∴S△ABC[3－（－1）]×|－3|＝6； （3）当x＜－1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜－1或x＞2． 题型二 二次函数解析式的确定 答｜题｜模｜板 1.根据已知条件选择合适形式 2.建立方程组 3.解方程组求参数 4.验证结果合理性 【典例1】二次函数y＝a（x－m）2＋k（a，m，k为常数，且a≠0）中x和y满足下表： x … －2 －1 1 3 5 6 … y … 5 0 －4 0 12 21 … 将原抛物线平移得到新抛物线，若点P（n，5）在新抛物线上，则n的值为 　 　 ． 【解答】由题意，抛物线向左平移1个单位得出，点P（n，5）在新抛物线上， ∴（n＋1，5）在y＝a（x－m）2＋k上， 观察表格可得（－2，5）在抛物线上，又对称轴为直线， ∴（4，5）也在原抛物线上，∴n＋1＝－2或n＋1＝4，∴n＝－3或3． 【典例2】有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 　 　 米． 【解答】由题意可得，抛物线经过K（8，0），将（8，0）代入， ∴82＋8b＝0，解得b， ∴抛物线的函数关系式为yx2x． 由题意可得当y＝1.5时，1.5x2x，解得x1＝4＋2，x2＝4－2， ∴ST＝x1－x2＝4＋2（4－2）＝4（米）．则横梁ST的长度是4米． 【典例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴，交线段AC于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3）＝ax2＋bx－3，则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2＋2x－3； （2）存在，理由：由抛物线的表达式知，点C（0，－3），则△ACO为等腰直角三角形，直线AC的表达式为：y＝－x－3， 当以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似时，则△CDE为等腰直角三角形， 当∠EDC为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴（x＝－1）对称，则点D（－2，3）， 当x＝－2时，y＝－x－3＝－1，即点E（－2，－1），则DE＝2＝DC，符合题意； 当∠ECD为直角时， 则此时点D为抛物线的顶点（－1，－4）， 当x＝－1时，y＝－x－3＝－2，即点E（－1，－2）， 则CDCE，符合题意，综上，点E（－1，－2）或（－2，－1）． 【变式1】抛物线y＝x2－bx＋c与直线y＝1交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（　　） A．b2－4c＞0 B．b＝2 C．c－b＜0 D．c＞0 【解答】∵抛物线y＝x2－bx＋c与直线y＝1交于两点，分别为（x1，1）和（x2，1），且x1＜1， ∴x1－1＜0，x2－1＞0，∴（x1－1）（x2－1）＜0，∴x1x2－（x1＋x2）＋1＜0． 由题意，方程x2－bx＋c－1＝0的两根满足上述关系， ∴c－1－b＋1＜0，∴c－b＜0．故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋4x的顶点为P（m，n）． （1）若该抛物线与x轴交于点（4，0），则n＝ 　 　 ； （2）已知点A（3，－2），B（－3，2），若该抛物线与线段AB始终有两个不同的交点，则n的取值范围是 　 　 ． 【解答】（1）∵抛物线与x轴交于点（4，0），∴16a＋16＝0，∴a＝－1，∴y＝－x2＋4x， ∵y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，∴抛物线y＝ax2＋4x的顶点为（2，4），∴n＝4， （2）∵点A（3，－2），B（－3，2），∴A、B关于原点对称，∴线段AB经过原点， ∵抛物线y＝ax2＋4x始终经过原点，且与x轴始终有两个交点， 当a＞0，对称轴在y轴左侧，x＝－3对应的函数值y≥2，∴9a－12≥2， 解得，又∵，∴， 当a＜0，对称轴在y轴右侧，x＝3对应的函数值y≤－2，∴9a＋12≤－2，解得， 又∵，∴，综上：或． 【变式3】已知：关于x的二次函数y＝kx2－（k－1）x－2k－2． （1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标； （2）若图象与x轴有一个交点，求k的值． 【解答】解：（1）当k＝2时，函数解析式为y＝2x2－x－6， 当y＝0时，2x2－x－6＝0， 解得：， 即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和； （2）由题意可得：Δ＝0且k≠0， 即[－（k－1）]2－4k（－2k－2）＝0且k≠0， 解得：． 题型三 二次函数的实际应用 答｜题｜模｜板 1.审题建立函数关系 2.确定定义域范围 3.求最值或特定函数值 4.结合实际情况给出答案 易｜错｜点｜拨 实际问题中必须注意自变量的取值范围，最值可能在顶点处，也可能在边界处 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2－a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，但图象过（1，0）点，求得a＝0，矛盾，故本选项不符合题意．故选A． 【典例2】我国女子铅球选手巩立妓夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（　　） A．19m B．20m C．21m D．22m 【解答】令y＝0，则x2x0， 整理得：x2－19x－20＝0， 解得x1＝1，x2＝20， ∴巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是20cm，故选B． 【典例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40－x）元，每天可以售出（20＋2x）件，依题意得： y＝（40－x）（20＋2x） ＝800＋80x－20x－2x2 ＝－2x2＋60x＋800， 当y＝1200时，1200＝（40－x）（20＋2x）， 解得x1＝10，x2＝20， ∵要尽快减少库存， ∴x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【变式1】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为　 　 米． 【解答】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（－40，0），E（0，200），设抛物线的解析式为y＝ax2＋200， 将A（－40，0）代入y＝ax2＋200，得0＝a×（－40）2＋200，解得， ∴抛物线的解析式为， 将y＝150代入得：，解得：x＝±20， ∴C（－20，150），D（20，150），∴CD＝20－（－20）＝40（米）， 故答案为：40． 【变式2】一次足球训练中，小致从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m，球门高OB为2.4m．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）通过计算判断小致此次射门能否射入球门内． （3）点C为OB上一点，且OC＝2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时小致带球向正后方移动n（m）再射门，足球恰好经过BC区域（包括点C但不包括点B），直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x－2）2＋3， 把A（8，0）代入得0＝36a＋3， 解得a， ∴抛物线表达式为y（x－2）2＋3； （2）当x＝0时，y22＋3≈2.67＞2.4， ∴球不能进球门； （3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y（x－2－n）2＋3， 把点（0，2.25）代入得：2.25（0－2－n）2＋3， 解得 n＝－5（舍去）或n＝1， 把点（0，2.4）代入得：2.4（0－2－n）2＋3， 解得：n＝－2（舍去）或n＝－2， 即－2n≤1． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a 【解答】设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是实数）， 令y＝0，由a（x－m）（x－m－k）＝0解得x1＝m，x2＝m＋k， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（m，0），（m＋k，0）， ∴对称轴为直线， ∵a＞0，∴当时，y有最小值， 最小值为， 当k＝2时，函数y的最小值为－a， 当k＝4时，函数y的最小值为－4a， 故选A． 2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（－1，－2024），与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是为（　　） A．a＜0 B．a＋c＝b－2024 C．c＜0 D．b2－4ac＝0 【解答】∵顶点坐标为（－1，－2024），∴，a－b＋c＝－2024， ∴b＝2a，b2－4ac＝8096a，a＋c＝b－2024，选项B正确； ∵a＋c＝b－2024，b＝2a，∴c＝b－a－2024＝a－2024， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，故选项C不正确； ∵c＞0，c＝b－a－2024＝a－2024，∴a＞2024，即a＞0，故选项A不正确； ∵b2－4ac＝8096a，∴b2－4ac＝8096a＞0，故选项D不正确； 综上所述，A，C，D结论错误，B结论正确，故选B． 3.已知点（－1，y1），（－4，y2）在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1　　 y2． 【解答】∵y＝x2＋4x－m＝（x＋2）2－4－m，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－2， ∴当x＞－2时，y随x的增大而增大， ∴点（－4，y2）关于直线x＝－1的对称点为（0，y2）， ∵0＞－1＞－2，∴y1＜y2． 4.如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx的图象交于点A（－3，0）和点B（1，n），则x2＋bx＜x＋a的解集是　 　 ． 【解答】观察图象可得，当－3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴x2＋bx＜x＋a的解集－3＜x＜1． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋5与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 　 　 ． 【解答】∵抛物线y＝ax2＋5与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，5）． ∵过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，当y＝5时，， 解得：x＝±5，∴B点坐标为（－5，5），C点坐标为（5，5），∴BC＝5－（－5）＝10． 6.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b，把（30，30），（60，0）代入得到y＝kx＋b得，， 解得， ∴销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝－x＋60（30≤x≤60） ∴w＝（x－30）•y＝（－x＋60）（x－30）＝－x2＋90x－1800 ∴w与x之间的函数解析式w＝－x2＋90x－1800（30≤x≤60）； （2）当w＝200时，－x2＋90x－1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞48， ∴x2＝50（不符题意，舍去）， 即商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 7.已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（－2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）由题意，设所求的二次函数的解析式为y＝a（x＋2）2＋4，把x＝0，y＝3代入上式， ∴3＝a（0＋2）2＋4， ∴a，∴二次函数解析式为y（x＋2）2＋4． （2）当y＝0时，0＝y（x＋2）2＋4． ∴x1＝－6，x2＝2， ∴图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（－6，0），（2，0）， （3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB＝8， ∴S△ABC8×3＝12． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知二次函数y＝ax2＋2ax－3a（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若该二次函数的图象经过点（－2，5），则 B．该二次函数图象的顶点坐标是（－1，－4a） C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和（1，0） D．若点（－4，y1）和（－2，y2）都在该函数的图象上，则y1＞y2 【解答】若该二次函数的图象经过点（－2，5），则ax2＋2ax－3a＝4a－4a－3a＝5， 解得a，故A正确，不合题意； ∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋1）2－4a，∴顶点坐标是（－1，－4a），故B正确，不合题意； ∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x2＋2x－3）＝a（x＋3）（x－1）， 令y＝0，∴x＝－3或x＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（－3，0）与（1，0），故C正确，不合题意； ∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋1）2－4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵点（－4，y1）和（－2，y2）都在该函数的图象上，且都在y轴的左侧， ∴当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2；故D不正确，符合题意．故选D． 2.函数y＝ax2－x＋2和y＝－ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，抛物线的开口向上，且对称轴直线x． 故A选项符合题意． 由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，所以抛物线的开口向上，且对称轴直线x． 故B选项不符合题意． 由一次函数图象可知，－a＞0，即a＜0，所以抛物线的开口向下． 故C选项不符合题意． 由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，所以抛物线的开口向上． 故D选项不符合题意． 故选：A． 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（－2，0）．则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋c＜3b；④方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－2，x2＝4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【解答】①∵开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确． ②∵对称轴是直线x1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，故②正确． ③由图象得：x＝－3时，y＞0，∴9a－3b＋c＞0，∴9a＋c＞3b，故③错误． ④根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0）， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，故④正确． 综上，正确的是①②④．故选：D． 4.若函数y＝（k－2）x|k|＋3x＋1表示y是x的二次函数，则k的值为　 　 ． 【解答】∵函数y＝（k－2）x|k|＋3x＋1是关于x的二次函数， ∴|k|＝2，解得k＝－2或k＝2， ∵k－2≠0，∴k≠2，∴k＝－2．故答案为：－2． 5.如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（－1，－3）、（1，3），点C在抛物线yx2＋bx的图象上，则b的值为 　 　 ． 【解答】作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC， ∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM， ∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN（AAS），∴CN＝BM，DN＝CM， 设C（a，b）， ∵点B、D的坐标分别是（－1，－3）、（1，3），则a＋1＝3－b且a－1＝b＋3， 解得：a＝3，b＝－1，∴C（3，－1）， ∵点C在抛物线yx2＋bx的图象上，∴－19＋3b，∴b． 6.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A（3，0），C（－1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB＋PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）把点A（3，0）、C（－1，0）代入y＝－x2＋bx＋c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； （2）连接AB，与对称轴交于点P，此时PB＋PC最小． 在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y＝mx＋n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴，∴， ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3， ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴对称轴是直线x＝1． 当x＝1时，y＝－1＋3＝2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，－m2＋2m＋3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S＝S△OBQ＋S△AOQ－S△AOB 3m3（－m2＋2m＋3）3×3 m2m （m）2， ∴当m时，S最大，此时Q（，）． 7.某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线y＝ax2＋x，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线yx＋b运行． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①求两段路径所在函数解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离超过18km时，求出a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ∴抛物线y＝ax2＋x和直线均经过点（9，3.6）， ∴3.6＝81a＋9，， 解得，b＝6.6， ∴函数解析式分别为：，， ②， ∴最大值， 当时，则，解得x1＝12，x2＝3， 又∵x＝9时，y＝3.6＞2.4， ∴当y＝2.4km时，则．解得x＝14，14－3＝11（km）， ∴这两个位置之间的距离11km． （2）当水平距离超过18km时，火箭第二级的引发点为（9，81a＋9）， 将（9，81a＋9），（18，0）代入， ，， 解得，b＝6， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点A到地面的高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点B处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器OA与围墙的距离OB为（　　） A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【解答】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2＋0.45， ∵点（0，0.25）在函数图象上，∴0.25＝a（0－2）2＋0.45， 解得， ∴， 当y＝0时，， 解得x1＝5，x2＝－1（不符合题意，舍去）， ∴OB＝5m． 故选D． 2.如图，函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（m，0）和（1，0）．有下列结论： ①abc＞0；②；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0必有两个不等的实数根； 其中正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0， ∵0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不正确， ②∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（1，0）和（m，0），∴1×m，am2＋bm＋c＝0， ∴a0，∵c＝am，∴a0，∴；故②正确； ③∵方程ax2＋bx＋c＋m＝0，∴ax2＋bx＋c＝－m，∵m＜0，∴－m＞0， 由图象可知当y＝－m，直线y＝－m与抛物线有两个交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0必有两个不等的实数根．故③正确．故选C． 3.用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【解答】设围成的图形的面积为y m2， 方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12－2x）米， 由题意得：y＝x（12－2x）＝－2（x－3）2＋18，当x＝3时，y有最大值为18； 方案二：∴等腰三角形的腰为6米，当顶角为直角时，面积最大，为：6×6＝18； 方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12，解得：r， ∴yπ（）223，∵23＞18，故选C． 4.如图，二次函数y＝ax2－7ax＋6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，⊙P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为，则a的值为 　 　 ． 【解答】由条件可知A（1，0），B（6，0），C（0，6a），∴AB＝5， 如图，过P作PD⊥AB于D，连接PA，PB，PC， 由条件可知PB＝PA＝PC，∴， ∵AB的弦心距为，∴，∴， ∴，， ∵PB＝PA＝PC，∴PC2＝PA2，∴， 解得，故答案为：或． 5.如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点A（3，10）起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表： 水平距离x/m 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． （2）在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为n（m），从到达最高点B开始计，则她到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝－5t2＋n． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25）， ∴， ∴设函数表达式为y＝a（x－3.5）2＋k， ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为y＝－5（x－3.5）2＋11.25； （2）∵y＝－5（x－3.5）2＋11.25， ∴B（3.5，11.25）， ∴n＝11.25， ∴h＝－5t2＋11.25， 当t＝1.6时，h＝－5t2＋11.25＝－5×1.62＋11.25＝－1.55， ∵－1.55＜0， 即运动员甲在水面上无法完成此动作， ∴运动员甲不能成功完成此动作． 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2＋bx＋c，可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2＋bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2＋bx， 可得3a＝9a＋3b，解得b＝－2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2－2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如下图， ∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2－2x，可得y＝42－2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），∴MN＝8－4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0），∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2－2ax，可得y＝at2－2at，即M（t，at2－2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），∴MN＝|at2－2at－at|＝|at2－3at|， 令MN＝0，即at2－3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如下图， 当0＜t≤3时，可有MN＝－at2＋3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则，解得， 当t＞3时，可有MN＝at2－3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如下图， 当t＜0时，可有MN＝－at2＋3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则，解得， ∴a＜0，综上所述，a的取值范围为0＜a或a＜0． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义与图象 理解二次函数定义，掌握图象特征与性质 基础必考点，选择题中出现频率高，图象性质考查较多 二次函数的解析式确定 能根据已知条件灵活运用三种形式求解析式 核心计算能力，待定系数法考查频率高 二次函数的图象变换 掌握平移规律，理解系数对图象的影响 图象理解难点，平移规律易考查 二次函数的实际应用 能建立二次函数模型解决最值问题 建模思想、综合应用能力考查必考 二次函数与方程不等式 理解二次函数与一元二次方程的关系 综合应用难点，数形结合 知识点01 二次函数的定义与图象性质 1.定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的函数 2.图象：抛物线，对称轴x＝－，顶点(－，) 3.性质：a>0：开口向上，有最小值；a<0：开口向下，有最大值；|a|越大，开口越小 ·示例：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＜0；②3a－b＝0；③b2－4ac＞0；④5a－2b＋c＞0，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，y与x的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 －2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞4时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（－1，－2）；④当y＞2时，x＜0或x＞3；⑤对称轴是直线x＝1．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 ·易错点：忽略a≠0的条件；顶点坐标公式记忆错误；对称轴计算时符号处理错误 知识点02 二次函数的解析式确定 1.一般式：y＝ax²＋bx＋c（已知任意三点） 2.顶点式：y＝a(x-h)²＋k（已知顶点和另一点） 3.交点式：y＝a(x-x₁)(x-x₂)（已知与x轴交点和另一点） ·示例：1.若函数是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 2.抛物线y＝x2－6x＋c与x轴只有一个交点，则c＝　 　 ． ·易错点：三种形式选择不当导致计算复杂；代入求值时计算错误；最终结果未化为一般式. 知识点03 二次函数的图象变换 1.平移规律：左加右减（x），上加下减（整体） 2.系数影响：a决定开口方向和大小；b与a共同决定对称轴位置；c决定与y轴交点 ·示例：1.将抛物线y＝－x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝－（x－3）2－2 B．y＝－（x＋3）2－2 C．y＝（x＋3）2－2 D．y＝－（x＋2）2－3 2.设函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（－3，0），（2，0），若函数y1＝a（x＋h－2）2＋m＋2025（a＞0），则与x轴交点的坐标是　 　 ． 3.将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为　 　 ． ·易错点：平移方向与符号对应错误；系数符号判断时逻辑混乱；图象特征与代数表达式对应不准确 题型一 二次函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 1.明确a、b、c的符号意义 2.熟练掌握顶点坐标和对称轴公式 3.利用对称性简化计算 易｜错｜点｜拨 比较函数值大小时，要判断点与对称轴的相对位置，不能直接代入比较 【典例1】如图，将抛物线平移到抛物线，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上．下列结论：①无论m取何值，都有n2＜0；②若点P平移后的对应点为P′，则；③当－3＜m＜1时，线段PQ的长随着m的增大而减小．其中正确的结论为（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【典例2】点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝－2x2＋4x＋c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 【典例3】在平面直角坐标系中，二次函数． （1）若函数y1的图象经过点（2，－2），求函数y1的表达式； （2）若P（m，n）和Q（5，b）是函数y1图象上的两点，且n＞b，求m的取值范围； （3）若一次函数y2＝－4ax＋b的图象经过函数y1图象的顶点，当1＜x＜3时，比较y1与y2的大小． 【变式1】已知二次函数y＝x2＋2x－4，当－3＜x≤0时，y的取值范围是（　　） A．－4≤y≤－1 B．－4≤y＜－1 C．－5≤y＜－1 D．－5≤y≤－4 【变式2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　 　 ． 【变式3】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝－x＋b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 题型二 二次函数解析式的确定 答｜题｜模｜板 1.根据已知条件选择合适形式 2.建立方程组 3.解方程组求参数 4.验证结果合理性 【典例1】二次函数y＝a（x－m）2＋k（a，m，k为常数，且a≠0）中x和y满足下表： x … －2 －1 1 3 5 6 … y … 5 0 －4 0 12 21 … 将原抛物线平移得到新抛物线，若点P（n，5）在新抛物线上，则n的值为 　 　 ． 【典例2】有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 　 　 米． 【典例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴，交线段AC于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】抛物线y＝x2－bx＋c与直线y＝1交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（　　） A．b2－4c＞0 B．b＝2 C．c－b＜0 D．c＞0 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋4x的顶点为P（m，n）． （1）若该抛物线与x轴交于点（4，0），则n＝ 　 　 ； （2）已知点A（3，－2），B（－3，2），若该抛物线与线段AB始终有两个不同的交点，则n的取值范围是 　 　 ． 【变式3】已知：关于x的二次函数y＝kx2－（k－1）x－2k－2． （1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标； （2）若图象与x轴有一个交点，求k的值． 题型三 二次函数的实际应用 答｜题｜模｜板 1.审题建立函数关系 2.确定定义域范围 3.求最值或特定函数值 4.结合实际情况给出答案 易｜错｜点｜拨 实际问题中必须注意自变量的取值范围，最值可能在顶点处，也可能在边界处 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2－a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【典例2】我国女子铅球选手巩立妓夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（　　） A．19m B．20m C．21m D．22m 【典例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【变式1】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为　 　 米． 【变式2】一次足球训练中，小致从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m，球门高OB为2.4m．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）通过计算判断小致此次射门能否射入球门内． （3）点C为OB上一点，且OC＝2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时小致带球向正后方移动n（m）再射门，足球恰好经过BC区域（包括点C但不包括点B），直接写出n的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a 2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（－1，－2024），与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是为（　　） A．a＜0 B．a＋c＝b－2024 C．c＜0 D．b2－4ac＝0 3.已知点（－1，y1），（－4，y2）在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1　　 y2． 4.如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx的图象交于点A（－3，0）和点B（1，n），则x2＋bx＜x＋a的解集是　 　 ． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋5与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 　 　 ． 6.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 7.已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（－2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△ABC的面积． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知二次函数y＝ax2＋2ax－3a（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若该二次函数的图象经过点（－2，5），则 B．该二次函数图象的顶点坐标是（－1，－4a） C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和（1，0） D．若点（－4，y1）和（－2，y2）都在该函数的图象上，则y1＞y2 2.函数y＝ax2－x＋2和y＝－ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（－2，0）．则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋c＜3b；④方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－2，x2＝4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4.若函数y＝（k－2）x|k|＋3x＋1表示y是x的二次函数，则k的值为　 　 ． 5.如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（－1，－3）、（1，3），点C在抛物线yx2＋bx的图象上，则b的值为 　 　 ． 6.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A（3，0），C（－1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB＋PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 7.某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线y＝ax2＋x，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线yx＋b运行． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①求两段路径所在函数解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离超过18km时，求出a的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点A到地面的高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点B处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器OA与围墙的距离OB为（　　） A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 2.如图，函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（m，0）和（1，0）．有下列结论： ①abc＞0；②；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0必有两个不等的实数根； 其中正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 4.如图，二次函数y＝ax2－7ax＋6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，⊙P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为，则a的值为 　 　 ． 5.如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点A（3，10）起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表： 水平距离x/m 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． （2）在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为n（m），从到达最高点B开始计，则她到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝－5t2＋n． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $