专题10 二次函数综合特殊四边形相关存在性问题（4种类型32道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题10 二次函数综合特殊四边形相关存在性问题 （4种类型32道） 目录 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1 【题型2 矩形相关存在性问题】 5 【题型3 菱形相关存在性问题】 9 【题型4 正方形相关存在性问题】 12 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 4．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接、、、． (1)求出二次函数表达式； (2)若的面积等于面积的 时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上方抛物线上的一动点，连接，，求的面积取最大值时，点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线，连接，点是线段上的一动点（不包括端点），点是抛物线上的一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 6．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 7．综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点在抛物线之间的动点，连接，，，求的最大面积． (3)若点为抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【题型2 矩形相关存在性问题】 9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 11．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求出点A的坐标和点D的横坐标； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 　 14．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 16．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【题型3 菱形相关存在性问题】 17．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 20．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 21．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 由抛物线的表达式， 22．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 23．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求当M是中点时的P点坐标； (3)作，垂足为N，连接，． 请从下列两个问题中任选一个问题完成． 问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值． (4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由． 【题型4 正方形相关存在性问题】 25．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 27．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 28．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 29．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 32．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题10 二次函数综合特殊四边形相关存在性问题 （4种类型32道） 目录 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1 【题型2 矩形相关存在性问题】 27 【题型3 菱形相关存在性问题】 55 【题型4 正方形相关存在性问题】 78 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解． 2．在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，M为或或 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）过作轴于，交于，过点作于，如图： 在中，令，得，解得或， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， 利用勾股定理可得， 当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入，得， ， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∴当时，最大为2， 此时，； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设而， ①以为对角线，则的中点重合，如图∶ ∴，解得， ∴； ②以为对角线，则的中点重合，如图∶ ，解得， ， ③以为对角线，则中点重合，如图∶ ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 4．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接、、、． (1)求出二次函数表达式； (2)若的面积等于面积的 时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)m的值为3 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可； （2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的函数表达式为，则点的坐标为，点的坐标为，求出，解方程即可； （3）求出点的坐标为，分三种情况，①当为对角线时，证出轴，则点与点关于直线对称，得出求出，即可得出答案；②当为对角线时，由①得，由平行四边形的性质得出，进而得出答案；③当为对角线时，点与点的纵坐标互为相反数，或，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，如图1所示： ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的函数表达式为：， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为：， 点的坐标为：， ∴， ∴ ， ∴， 解得：（不合题意舍去），， ∴的值为 3 ； （3）解：由（2）得：， ∴点的坐标为：， 分三种情况讨论：①当为对角线时，如图2所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴点与点关于直线对称， ， ， ， ， ， ②当为对角线时，如图3所示： 由①得：， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ③当为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴点与点的纵坐标互为相反数， ， ∴点的纵坐标为：， 将代入中， 得：， 解得：， 当时，如图4所示： 则， 分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5所示： 则， 同理得点； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数图象和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上方抛物线上的一动点，连接，，求的面积取最大值时，点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线，连接，点是线段上的一动点（不包括端点），点是抛物线上的一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点分别代入bx+3中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为且过和， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后 整理，得， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴， 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 6．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最大值为 (3)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过P作，交于点F，先求得直线的解析式，设，则，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）①先判断点Q与点E重合，令，求得抛物线与关于中心对称．求得抛物线的顶点为，利用中心对称的特征求解即可； ②由题意设，分情况讨论当为边时，当为对角线时，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，与y轴交于点， ， 将代入中，， 解得， ； （2）解：如图，过P作轴于点E，交于点F， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， 令，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， 当时，取得最大值，此时点P的坐标为，即的最大值为； （3）解：①∵抛物线与关于点Q成中心对称，且抛物线与有且只有一个公共点E， ∴点Q与点E重合， ∵点Q在直线上， ∴令， 解得， ∵点E在y轴右侧， ∴抛物线与关于中心对称． ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点为， ∴； ②∵为直线上一点，N为抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，如图，平行四边形时，过E作轴于H，过M作的对称轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为， 当时，代入，， ∴； 平行四边形时，M的横坐标为，则， ∴； 当为对角线时，如图，过M作轴，过E作垂直的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴的横坐标为， ∴， 则． 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用、平行四边形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想． 7．综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 8．如图所示，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点在抛物线之间的动点，连接，，，求的最大面积． (3)若点为抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）把点，，的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式整理成顶点坐标式，即可得到点的坐标； （2）过点作，设点的坐标是，可得：，因为，可得，所以的最大面积是； （3）根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质，分四种情况求解．情况一、当是平行四边形的边且点在轴上方时；情况二、当是平行四边形的对角线时；情况三、当是平行四边形的对角线点在第四象限；情况四、当是平行四边形的对角线且点在第三象限时． 【详解】（1）解：把点，，的坐标代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 配方得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 点在抛物线上， 设点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， 的最大面积是； （3）解：如下图所示，当是平行四边形的边时， 则有轴， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， 点的坐标是， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时， 可知， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时，过点作轴， 平行四边形的对角线互相平分， 点与点到轴的距离相等， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当点在点左侧，是平行四边形的对角线时，过点作轴， ∴点的纵坐标是， 解方程， 可得：(不符合题意，舍去)，， 则点的坐标是， 在和中，， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或或． 【题型2 矩形相关存在性问题】 9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 10．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 11．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求出点A的坐标和点D的横坐标； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 　 【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4） 【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解； (2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； (3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)， ∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵CD=4AC， ∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍， ∴点D的横坐标为4， 故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4； (2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)， 如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F， 设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)， ∵直线l：y=kx+b过A（-1，0）， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， 则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a) ， ∵E是直线l上方的抛物线上的动点， ∴时，△ACE的面积的最大值为时， ∵△ACE的面积的最大值为， ∴，解得a， 故答案为：a； (3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下： D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴设P（1，m）， 分类讨论： 情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边， ∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位， ∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4， 将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a， ∴Q(-4，21a)， ∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，)； 情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线， ∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位， ∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为-1+3=2， 将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为-3a， ∴Q(2，-3a)， ∴m=5a-(-3a)=8a，则P(1，8a)， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，-4)， 综上所述，P点坐标存在，且P(1，)或P(1，﹣4) ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键 14．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 16．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【题型3 菱形相关存在性问题】 17．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点， 得 解得： 故二次函数的表达式为：． （2）存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为． 理由如下： 由沿翻折，得到四边形， 得，垂足为点E， 则，轴， ∵四边形为菱形，， ∴, ∴， 根据题意，设， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故存在点P，使四边形为菱形，且P点的坐标为． （3）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，的面积最大，且最大值为． 又， 故四边形的面积的最大值为，此时． 20．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) ① ② 【分析】（）根据抛物线的对称性，可确定抛物线和轴的另一个交点为，待定系数法求出函数解析式即可； （）①分析函数在给定区间内的最值，结合二次函数的增减性进行求解即可． ②点在轴上，且四边形是菱形，结合点的坐标可得四边形是正方形，找到等量关系，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 23．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求当M是中点时的P点坐标； (3)作，垂足为N，连接，． 请从下列两个问题中任选一个问题完成． 问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值． (4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)选①当时，的最大值为，理由见解析；②的面积最大值为6． (4)时，四边形是平行四边形；不可能为菱形，理由见解析． 【分析】（1）可求出点坐标为，将、点坐标代入解析式求出、的值，即可求出函数解析式； （2）根据题意可得：  ；（），有，可证∽，可得，即，这里的，可求出关于的一元二次方程的解，从而求出、的值，进而求出点坐标； （3）①设，有∽，则，从而求出， ，，再证∽，有，即，得到关于的函数关系式，再求最大值即可； ②为定值，故求面积最大值，相当于求最大值，在①的基础上再计算面积即可求解； （4）根据平行四边形的性质，当时，四边形是平行四边形，此时有，求解出即可；此时，，，那么，所以，所以不可能为菱形． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得，．   ∴ （2）解：由题意知：点 当M时中点时，  ；（） ∵轴 ∴ ∴∽ ∴，即．    ∴ 解得，（舍去）． ∴  ，即点． （3）解：由勾股定理得，， ∵∽ ∴，即， ∴，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴∽， ∴，即 ∴ =， ∴当时，的最大值为 ； ②，当取最大值时，面积最大， 最大面积为：； 故的面积最大值为6． （4）解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，， 解得， ∴时，四边形是平行四边形， 此时，，，那么 所以，所以不可能为菱形． 【题型4 正方形相关存在性问题】 25．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 27．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分两种情况讨论：①当M、N在左侧时；②当M、N在右侧时，然后构造全等三角形求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，最后联立方程组求解即可； （3）设水平方向的平移距离为，利用平移性质求出S的表达式：，然后关键二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，． ∵抛物线过原点， ∴设抛物线的解析式为． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴，， ①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； ②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则， 同理可求出，直线解析式为， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线解析式为，则， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 如答图所示， 设平移中的三角形为，点在线段上， 设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q， 设水平方向的平移距离为， 则图中，，，， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 联立方程组，解得t， ∴． 过点P作轴于点G，则． ∴ ， 当时，S有最大值为， ∴S的最大值为． 【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，第（2）问中，解题的关键是根据正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求出N的坐标；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法． 28．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 29．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 30．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 【答案】(1) (2)曲线顶点坐标为，解析式为 (3)，正方形的边长为，或，正方形的边长为8 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键． （1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解； （2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解； （3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为， ∴，且， ∴解得，， ∴， ∴，且， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，即抛物线顶点坐标为， ∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为， ∴曲线的解析式为； （3）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上， ∴设， ∴， ∴，， ∵点关于对称， ∴，则， ∴， ∴， 当时，整理得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，正方形的边长为； 当时， 解得：（正根舍去）， ∴，， ∴，正方形的边长为8． 32．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $