专题07 二次函数综合角度问题（5种类型40道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题07 二次函数综合角度问题 （5种类型40道） 目录 【题型1 根据已知角度求值】 1 【题型2 根据已知两角互余求值】 4 【题型3 线恰好平分角】 9 【题型4 角相等或成倍数关系】 13 【题型5 角的和差关系】 16 【题型1 根据已知角度求值】 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)如图1，若已知点A的横坐标为，求点B的横坐标； (2)如图2，连接、． ①当，且时，求k的值； ②试判断是否恒成立？请说明理由． 5．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 6．如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 7．已知二次函数． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当时，y的最小值为，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 【题型2 根据已知两角互余求值】 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 11．如图，已知抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正平轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接交于点D，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点P作于点E，过点D作于点M，点F在线段上，点N在线段上，连接，，若，求线段的长度． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 14．综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线经过点，与轴正半轴相交于点，点为第三象限内抛物线上一点，连接绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，若，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为点，与轴相交于点，连接，若，求的长． 16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【题型3 线恰好平分角】 17．若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； (3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 19．在平面直角坐标系中，抛物线过的三个顶点．其中点坐标是，C点坐标是． (1)求a和c的值； (2)若Q点在抛物线图像上，平分，求Q点坐标； (3)在直线上，是否存在一点E，过E点且互相垂直的两条直线分别与抛物线有唯一公共点，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 22．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 23．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 24．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值； (3)如图，在的条件下，点在该抛物线上，，连接，点在上，点在该抛物线上，点的横坐标为，连接，，，的面积为，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求值． 【题型4 角相等或成倍数关系】 25．如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 26．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 27．如图①抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图②在图①的基础上，D为该抛物线的顶点，作点关于对称轴的对称点为点，若为轴上一动点，点为轴上一动点，求四边形周长的最小值． (3)如图③在图①的基础上，点为第一象限内抛物线上的动点．过点作直线轴，分别交、轴于点、，当中存在内角度数等于度数的2倍时．求点的横坐标． 28．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 29．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； (3)点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 30．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 31．如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 32．如图，一次函数与二次函数交于点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标． 【题型5 角的和差关系】 33．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是直线下方抛物线上一点，轴交于点E，点F是上一点，当点E是中点时，求的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，新抛物线与直线交于点P、Q，（点P在点Q左侧）在新抛物线上找一点M，若，直接写出点M的横坐标． 34．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 35．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，连接，过点作交抛物线于点．    (1)如图1，求的坐标； (2)如图2，是第一象限抛物线上一点，连接，过点作轴交延长线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接、，交于，若，，求直线的解析式． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当时，求点N的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将点M沿射线方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 37．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 38．如图，抛物线与x 轴交于点A和点B，与y轴交于点C ，． (1)求抛物线解析式． (2)点D是抛物线上第一象限内一点，连接交y轴于点E，点D的横坐标为t，设线段的长为d，求出d与t的函数关系式（直接写出t的取值范围）． (3)在（2）问的条件下，连接，，点K为线段上一点，连接，若，求线段的长． 39．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点E为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． (1)求的值； (2)如图1，点在上（不与、重合），过作轴交直线于点，交抛物线于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，连接，点在上，连接，，点与点关于轴对称，点在上，点在的延长线上，连接、，交抛物线与点，若，，求点的横坐标． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 专题07二次函数综合角度问题 (5种类型40道) 目录 【题型1根据已知角度求值】 1 【题型2根据已知两角互余求值】 -27 【题型3线恰好平分角】 -57 【题型4角相等或成倍数关系】 -87 【题型5角的和差关系】 113 【题型1根据已知角度求值】 搜+b+c与交于A,B两点，与y轴交于点C,点A坐标达 为(30). E D AO (1)求此抛物线的函数解析式， (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线， 垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值， 请说明理由、 (3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】1y= 2 32 1569 22PD+PE的最大值为6，P点的坐标为 8’32 17117)」 (3)点M的坐标为 10’50 【分析】(1)直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； 2先球解C02),及直线8C为y=号-2，设P号x+青+2 x+2 ,可得Dx,-2x+ 再建立二 次函数求解即可； 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 (3)如图，以CB为对角线作正方形CTBK,可得∠BCK=∠BCT=45°，CK,CT与抛物线的另一个交点即 为M,如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q,过B作BG⊥TQ于G,则OB=GQ=3,设Tg=GB=m, 则C0=10=3m,求解7mm-1,进-步哭解直线CT为y=5x+2,直线CK为y=+2,再求解 函数的交点坐标即可。 【详解】1)解：抛物线y=子+x+c与轴交于A,B两点，与)轴交于点C,点A坐标为-10， 点B坐标为(3,0)： y=- -=+*2 2)解：当0时，+x+2 C(0,2), 设直线BC为y=a+2, 3k+2=0, 解得：飞=-2 2 直线BC为y=- x+2, 3 设Pxx+x+2 3 31 2.D 2 3+2, ∴.2PD+PE 2 +2 3 3-2+x 当s 5 15 75 4 2x3 8时，有最大 16 此时P1569 832 (3)解：如图，以CB为对角线作正方形CTBK, ·∠BCK=∠BCT=45°， :CK,CT与抛物线的另一个交点即为M, 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q,过B作BG⊥TQ于G,则OB=GQ=3, 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 yA ∠CTB=90°=∠CQT=∠QGB, ÷∠QCT+∠CTQ=90°=∠CTQ+∠BTG, .∠QCT=∠BTG, CT=BT, ∴aCQT≌△TGB, ..OT=GB,CO=TG, 设TQ=GB=m,则CQ=TG=3-m, ∴Q0=3-m-2=1-m, T(m,m-1), TC=TB, m2+(m-3)=(m-3)+(m-1), 1 解得：m=2' 11) 22 设CT为：y=x+2, 2n+2= 1 解得：n=-5, 直线CT为：y=-5x+2, 4 3 x+2 3 y=-5x+2 19 x= x=0 2 解得： (2或 91 y=- 2 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 1991 M2-2 711） 22 C(0,2),B(3,0),正方形CTBK, /55 22 同理可得：直线CK为y=5x+2, 234 y=- 二x+-x+2 33 1 5+2 17 X= 10 x=0 解得： 或 P 117 (y=2' 50 M17117） (10'50 综上：点M的坐标为 17117)1991 1050或22 【点晴】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的 辅助线是解本题的关键 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-6,0)两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求拋物线的函数解析式. (2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D,作 PE⊥BC于点E,求PD+√2PE的最大值及此时点P的坐标 (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+√2PE取得最大值的条件下，连 接AP,交y轴于点M,平移后的抛物线上是否存在一点N,使得∠AMN=90°？若存在，直接写出符合条 件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 【答案】(1)y=x2+5x-6 (2)PD+√2PE的最大值为11，此时点P的坐标为(-4，-10) 间存在，点N的坐标为房引 或(-82) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾 股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键 (1)直接运用待定系数法求解即可； (2)如图：过P作PH∥x轴交直线BC于H,由二次函数的性质可得点C(O,-6),对称轴为x=- 2；再通 过证明△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE,进而得到PH=√2PE;再运用待定系数法求得直线BC的 解析式为y=-x-6,设点P(P,p°+5p-6),则H(P,-p-6),进而得到PD+√2PE=PD+PH =-（p+8p)-5,然后运用配方法求最值即可解答； (3)先直线4P的解析式为y=-2x-2,再求得M(0,-2),然后确定平移后的抛物线解析式为 9 41 再用两点间距离公式表示出AW2、MN2、AM,然后再运用勾股 2 4 定理列方程求得n即可解答。 【详解】(1)解：将A(1,0),B(-6,0)两点代入y=x2+bx+c可得： 0=1+b+c b=5 解得： 0=36-6b+c c=-6' :抛物线的表达式为y=x2+5x-6; (2)解：如图：过P作PH∥x轴交直线BC于H, 抛物线的表达式为y=x2+5x-6, 点C(0,-6),对称轴为x=-5 2 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 0C=6, B(-6,0), OB=6, ∴OB=OC,即BOC是等腰直角三角形， .∠0CB=45°， PH∥x轴， ÷∠PHC=∠OCB=45°， PE⊥BC, ∴△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE, PH =HE+PE2 =PE2+PE =PE, 设直线BC的解析式为y=a:+b, 0=-6k+b k=-1 则 -6=b ,解得：b=-6' 直线BC的解析式为y=-x-6, 设点P(p,p2+5p-6),则H(卫，-p-6), PD={P小-52p,pm=p-6-(e+5p-=-p-6, .PD+PE PD+PH =-5-2p+（-p°-6p) =-（p°+8p)-5 =-(p+4)+11, ∴当p=-4,即P(-4,-10)时，PD+2PE的最大值为11. ∴PD+2PE的最大值为11，P(-4,-10). (3)解：如图：设直线4AP的解析式为y=x+n, 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 B A 则 0=m+n -10=-4m+n’解得： m=2 n=-2' 直线AP的解析式为y=-2x-2, 连接AP交y轴于点M, M(0,-2), y=x2+5x-6= 49 抛物线沿射线CB方向平移2√2个单位， 4 将抛物线y ) 49 x+ 2 4 向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为： 2 91241 49+2=x+ 24 92 41 设Nnn+2 4 M(0,-2),A(1,0), w-旷-j-saw-听g是-g we号可旷 ×∠AMN=90°， .AN2=MN2+AM, eorgs 整理得：2n2+19n+24=0,解得：n= 3或8， 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 将n= 。941分别得到- n=-8代入n+2 5 4 2, 35 .N(-8,2)或N 2 94 3.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,点D为OC 的中点. G B B 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H,EH与BC、BD分别交于点F、 G两点，设点E的横坐标为m. ①用含m的代数式表示线段EF的长度； ②若EF=FG,求此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∠CPB=90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)①-m2+3m @6 3)存在： 317 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求 解，是解题的关键： (1)两点式写出函数解析式即可； (2)①求出直线BC的解析式，利用两点间的距离公式表示出EF的长度即可： ②求出BD的解析式，进而求出FG,根据EF=FG,列出方程进行求解即可； (3)求出对称轴，设出P点坐标，根据勾股定理列出方程进行求解即可。 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 【详解】(1)解：~二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)人B(3,0)两点， 抛物线的表达式为：y=-(x+1)(x-3), 即y=-x2+2x+3. (2)①y=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3, .C(0,3), B(3,0), 设直线BC的解析式为：y=a+3,把B(3,0)代入，得：3k+3=0, “k=-1, y=-x+3, ~点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H,EH与BC、BD分别交于点F、G两 点，设点E的横坐标为m, E(m,-m2+2m+3,F(m,-m+3), ∴.EF=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m; ②~点D为OC的中点，C(0,3), 同①得：直线BD的解析式为：y=-x x+ 2 2 1 3 .G m,-m+ 2 2 313 FG=-m+3+二m- m+ 22 .EF=FG, 3 .-m2+3m= 1 解得：m=3(舍去)或m= E115) (24 (3)存在： 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 A(-1,0)、B(3,0), 抛物线的对称轴为直线=-1+3=1， 2 设P(1,p), C(0,3),B(3,0), PC2=1+(3-p),BP2=(3-1)+p2=4+p2,BC2=32+32=18, ∠CPB=90°， .BC2=PC2+PB2, 1+(3-p)+4+p°=18， 解得：p=7+3或p=-7+3, 2 2 3-V17 P1, 2 4.如图，在平面直角坐标系O中，抛物线y=,x-2交直线y=于A,B两点（点A在点B的左侧， 交y轴于点C, YA (1)如图1，若已知点A的横坐标为-1，求点B的横坐标； (2)如图2，连接AC、BC, ①当k>0,且S。4Bc=5时，求k的值： ②试判断∠ACB=90°是否恒成立？请说明理由， 【答案】(1)B(4,6) 2)回k-?,②∠4CB-90°恒成立，理由见解析 精选考题才是刷题的捷径