专题09 二次函数综合特殊三角形相关存在性问题（4种类型32道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题09 二次函数综合特殊三角形相关存在性问题 （4种类型32道） 目录 【题型1等腰三角形相关存在性问题】 1 【题型2 直角三角形相关存在性问题】 5 【题型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 8 【题型4 等边三角形相关存在性问题】 12 【题型1等腰三角形相关存在性问题】 1．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 7．如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)求点A，B和C的坐标； (2)点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当时，求点E的横坐标； (3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间． 【题型2 直角三角形相关存在性问题】 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 10．综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 11．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式． (2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【题型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 17．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 19．综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作，交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 23．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. (1)求该抛物线的解析式； (2)求正方形面积； (3)如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 24．如图①，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【题型4 等边三角形相关存在性问题】 25．已知抛物线的解析式为，是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一点． （1）求抛物线的顶点及与轴交点的坐标； （2）是过点且平行于轴的直线，与抛物线的对称轴的交点为，，垂足为点，连接，． ①当是等边三角形时，求点的坐标； ②求证：． 26．抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 27．抛物线与轴相交于点，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； (3)设点是抛物线上位于第一象限的一点且位于对称轴右侧，是抛物线对称轴上的一点，当为等边三角形，求直线的解析式． 28．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 30．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 31．如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线 翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 32．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．    (1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标； (3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题09 二次函数综合特殊三角形相关存在性问题 （4种类型32道） 目录 【题型1等腰三角形相关存在性问题】 1 【题型2 直角三角形相关存在性问题】 24 【题型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 48 【题型4 等边三角形相关存在性问题】 72 【题型1等腰三角形相关存在性问题】 1．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或或 【分析】（）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为， 即得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分点在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线的解析式，再利用正方形的性质求出点坐标即可； （）过点作于，表示出的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点关于轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为轴， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系表达式为； （2）解：①当点在第一象限时，如图， 令，得，     解得，，     ∴点的坐标为，     设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设正方形的边长为，则， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在第二象限时， 同理可得点的坐标为，此时点不在线段上，故舍去； 综上所述，点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，如图，则，， ∵点和点重合时停止运动， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，存在的值为或或，使是等腰三角形． 2．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）设交于点，根据已知得出的坐标，求得直线解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）分在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点，关于直线的对称， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴M点坐标为或； （3）解：当在轴下方时，连接，如图， 依题意，当是等腰三角形时，只能， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 当在轴上方时， ①当时，如图，连接， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ②当时，如图，设，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：（舍去）或， ∴， ③当为等腰三角形，时，如图， ， ， ∴， 综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 【答案】(1) (2)①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：，，且点、在抛物线上， ∴， 解得， 该抛物线所对应的函数关系式为； （2）解：①存在，理由如下： 令，得， 解得：， ， 如图2中， 已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 点在抛物线上，且轴，点N在直线的上， 设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在第一象限， ∴ ， ∵ 当时， 线段的长度的最大值为； ②解：如图3中， 由题意知，点在线段的垂直平分线上， 又由①知，， 的中垂线同时也是的平分线， ∴点P到坐标轴的距离相等， 设点的坐标为， 又点在抛物线上，于是有， ， 解得，， 点的坐标为：或， 若点的坐标为，此时点在第一象限， 在和中，， ， 若点的坐标为，此时点在第三象限， 则． 综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 7．如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣4x+3 (2)当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1 (3)存在，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，S△MNB（2﹣t）×2t，求最值即可； （3）先求出点坐标，的长，根据等腰三角形的性质分①CP＝CB，②BP＝BC，③PB＝PC，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； （3）解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数与等腰三角形综合．解题的关键在于对知识的灵活运用． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)求点A，B和C的坐标； (2)点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当时，求点E的横坐标； (3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是； (2)点E的横坐标是和2； (3)2秒，秒和秒 【分析】（1）把代入，求得抛物线与x轴的交点坐标A，B；把代入，求得与y轴的坐标C． （2）设直线BC的函数解析式为，把点B与点C的坐标代入求得，设点E的坐标为，点F的坐标为，因此EF的长度为，由于，列出方程，从而求出m的值，即为E点的横坐标． （3）设运动时间为，则点Q的坐标为 ，P的坐标为，所以，，，当为等腰三角形时，分三种情况考虑：①当时，；②当时，；③当时，． 【详解】（1）解：把代入中，得． ∴点C的坐标是． 把代入中，得． 解得，． ∴点A的坐标是，点B的坐标是． ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）解：设直线的解析式是． ∵过点， ∴． 解得． ∴直线的解析式是． ∵点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F， ∴设点E的坐标是，则点F的坐标是． ∵，点C的坐标是， ∴． ∴，或． 解得，，． ∴点E的横坐标是，和2． （3）2秒，秒和秒 解：设运动时间为t，根据题意，若要构成，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为， ∴，， 如图，过点P作轴于点D，设点P的坐标为，则，， 根据勾股定理，在中， , ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为， ∵点Q的坐标为 ∴， ∵，，， ①当时， 即， 解得：； ②当时， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ③当时， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 综上所述：当是等腰三角形时，时间为2秒，秒，秒． 【题型2 直角三角形相关存在性问题】 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 10．综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①的面积为时，点的横坐标为1或4；②能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：（1）将代入， 得：， 解得，     则抛物线解析式为． （2）设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线的解析式为，    ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点的横坐标为1或4．     ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分． （3）抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 11．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积有最大值32，此时 (3)存在，M点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式． (2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的表达式为； (2)当时，有最大值，最大值为16，； (3)存在，或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，需要分两种情况：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由此可得是等腰直角三角形，设出点的横坐标，代入函数解析式即可；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设点的横坐标为，则，代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：对于， 令，则， 令，解得， 当时，， 故点、、的坐标分别为、，； 将点、的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点，连接，， 设点P的坐标为，则点， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为16； 当时，． ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， ，， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 点在抛物线上， ，解得（舍）或， ，， ． ②当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线， 由①知， ， ， ， 设点的横坐标为，则， ，解得或（舍， ． 综上可知，存在点，使是以为直角边的直角三角形，此时或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． 16．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标； （3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果． 【详解】（1）与轴的交点，与轴的交点的坐标， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入， 得， 抛物线的解析式为 （2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，    则，. ， 对称轴为直线，顶点的坐标为， 设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，. 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为. ， 以、、为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， 点的坐标为； （3）设点坐标为， ， 分两种情况 ①如图2，    若， 则，即， ， 点的坐标为； ②如图3，    若， 则，即 点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 【题型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 17．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 19．综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 20．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9.5 (3)存在， 【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可； （3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． 由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和， 即； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ∴． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 21．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作，交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①点M的坐标为；②存在，点M的横坐标m的值为或 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，其中（2）要分类求解，避免遗漏． （1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，在令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标； （2）①易求点C的坐标为，设直线的解及此时M点的坐标析式为，将，代入，解出k和b的值，即得直线的解析式；设点M的坐标为，则点N的坐标为，表示出的长得出关于m的二次函数，从而求得其最值及此时M点的坐标； ②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 令，得， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：①当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴当时，的最大值是4． ∵点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合）， ∴， ∴此时点M的坐标为． ②当点M在对称轴右侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点M在对称轴左侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 综上，存在，点M的横坐标m的值为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）将和代入建立方程组求出b和c的值即可； （2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、D关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为，结合点D的横坐标为0，即可得出m的值； （3）因为点P的横坐标为m，且点P在图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时； （4）画出函数图象，分两种情形考虑即可①Q在边上，②Q在边上．分别求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得： ， ∴， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为m，且点P在图象上， ∴，， ∵矩形的面积被抛物线的对称轴平分， ∴P、D关于对称轴对称， ∴， ∴时，矩形的面积被抛物线的对称轴平分； （3）解：由题意，，， 分以下两种情况： ①当点P在第一象限时，， ∴，， ∴， ∴； ②当点P在第二象限时，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，； （4）解：由，解得或（舍弃）， ∴， 分以下两种情况： 如图，当Q在边上时， 由图象可知，当时，是等腰直角三角形； 如图，当Q在边上时， 此时，即时，是等腰直角三角形， 解得或， ∵点P在x轴上方， ∴满足条件的m的值为或． 综上所述，当或时，是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用，题目的（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解． 23．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. (1)求该抛物线的解析式； (2)求正方形面积； (3)如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)32 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值即可解答； （2）如图1：过点F作交于点R，设，则，可得，再由正方形的性质，列方程求得即可解答； （3）由题可知，，直线的解析式为，设，分两种情况讨论：①当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T，可证明，能求出，即可求；②当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点，可证明，能求出，则可求． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得，解得：， ∴，即． （2）解：如图1：过点F作交于点R， 设，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，解得：（舍）或， ∴， ∴， ∴， ∴正方形CFED的面积是32． （3）解：由题可知，， ∴直线的解析式为， 设， ①如图2，当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴； ②如图3，当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：或， ∵， ∴， ∴． 综上，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，点P坐标为或． 24．如图①，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大值为 (3)点P的坐标为：或或或． 【分析】（1）将、代入，并结合对称轴为，列出方程组，即可求解； （2）点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，设，先证明是等腰直角三角形，得到，以及，过点P作轴交于点Q，结合，利用二次函数的性质求得最值； （3）分点P在x轴下方和x轴上方两种情况，利用等腰直角三角形的性质构建全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、在抛物线上，对称轴为， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m， ∴设， ∵是的平分线，， ∴． 又∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点P作轴交于点Q， ∴， ∵， ∴ ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为． （3）解：①当点P在x轴下方时，如图， 过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线l于点R、S， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，， 故点， 将点P的坐标代入抛物线表达式得： 解得：； 故点P的坐标为：或； ②当点P在x轴上方时， 同理可得：点， 则， 解得， ∴点或 综上，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型4 等边三角形相关存在性问题】 25．已知抛物线的解析式为，是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一点． （1）求抛物线的顶点及与轴交点的坐标； （2）是过点且平行于轴的直线，与抛物线的对称轴的交点为，，垂足为点，连接，． ①当是等边三角形时，求点的坐标； ②求证：． 【答案】（1）顶点坐标为，抛物线与轴的交点为； （2）①或；②证明见解析． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为， 在中，令可求得， 抛物线与轴的交点坐标为； （2）设，，， ①如图，过作于点， ，为等边三角形， ， ，解得或， 点坐标为，或，； ②，，， ， ， ． 26．抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 解 ∴抛物线的解析式为． （2）∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ∴，． 过点Q作，垂足为H，则，，． ∵， ∴， ∴． （3）过Q作于点H，交OA于点E． ∵轴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． 连接，延长交延长线于点F，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设BQ交OC于点M． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长交延长线于点G． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 27．抛物线与轴相交于点，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； (3)设点是抛物线上位于第一象限的一点且位于对称轴右侧，是抛物线对称轴上的一点，当为等边三角形，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】（1）把点，的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求二次函数的解析式； （2）根据点、的坐标可知，，根据直角三角形的性质可得，利用三角函数求出，，根据折叠的性质可知，从而可求点、的坐标； （3）根据等边三角形的性质可得、、，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用三角函数求出点的坐标，再利用待定系数法可以求出直线的解析式． 【详解】（1）解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：如下图所示， 抛物线的对称轴是， 设点的坐标为， 点，， ，， 根据折叠的性质可知， ， 又， ， 根据折叠的性质可知， 在中，， ， ， 点的坐标是， 根据折叠的性质可知， ， 点的坐标是；    （3）解：如下图所示， 由（2）可知是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， 在中，，， 点的坐标为， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标和点的坐标是入代， 可得：， 解得：， 直线的解析式为；    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用、直角三角形的性质、用待定系数法求函数的解析式，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系。 28．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， 【分析】（1）结合抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．得出，，即可作答． （2）根据一次函数的性质，得出，，结合反比例函数的图象性质，得出，证明，因为，则，即，，建立方程组进行计算，然后运用割补法列式的面积，进行作答即可． （3）设的交点为M，过点M作轴，过点A作，联立抛物线和直线得到，然后求出，，，，然后求出，表示出，然后根据等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点． ∴ ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴该抛物线的函数表达式． （2）解：∵直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． ∴当时，则 ∴ ∴当时，则 ∴ 则 设 如图：过点A作轴，连接， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 把代入，解得（正值已舍去） ∴ ∴， ∴ 解出 ∴ ∵，， ∴的面积 ∴； （3）解：如图所示，设的中点为M，过点M作轴，过点A作 ∵抛物线和直线 ∴联立得， 整理得， 解得 ∴， 代入得，， ∴， ∴ ∴ ∵点M为的中点 ∴ ∴， ∵是等边三角形，点M为的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，等边三角形的性质，解直角三角函数，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 30．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为： (2)①t与m之间的函数表达式是：；② 【分析】（1）先找出平移前的抛物线C1的顶点为，设平移前的抛物线的解析式为，再将点A代入函数解析式求抛物线的解析式即可； （2）①设抛物线右移m个单位长度后，得到的抛物线对应的函数表达式为：，因为抛物线与y轴的交点，则令得：，t与m之间的函数表达式是：即可求解； ②根据等边三角形的性质，得到方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合，重合后的抛物线的顶点为 ∴由平移得：平移前的抛物线的顶点为. 可设抛物线对应的函数表达式为：. 把点A坐标代入，求得.    所以抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：①设抛物线右移m个单位长度后， 得到的抛物线对应的函数表达式为：. 令得：. ∴t与m之间的函数表达式是：； ②若△是等边三角形，则 ∴，. 即. ∴. 显然，当时，P、B、重合. ∴，即. ∴ . ∴ 或. ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 31．如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线 翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（）运用待定系数法即可求得抛物线解析式为，再运用配方法化为顶点式即可得出抛物线的顶点的坐标为； （）设，且，连接，设抛物线的对称轴交轴于，利用抛物线的对称性可得，由翻折的性质可得，，推出 是等边三角形，得出，，再运用解直角三角形即可求得答案； （）取（）中的点，连接，，设直线交轴于点，可得为等边三角形，再证得得出，利用解直角三角形求得 ，再运用待定系数法即可求得直线的表达式． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）设，且，则， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴，，， 由翻折得： ∴，， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，解得： ∴； （3）如图，取（）中的点，连接，， 设直线交轴于点，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点， 为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为，把，代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 32．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．    (1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标； (3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值． 【答案】(1)； (2)；或,； (3)，或， 【分析】（1）根据，抛物线的对称轴为，待定系数法求解析式即可求解；当时，求得的范围，进而结合函数图象即可求解； （2）①连接，，交对称轴于点D，由四点共圆，得，证明，求出点D的坐标，确定直线的解析式，进而求得点的坐标，设，，勾股定理即可求解；②由①可得，则当与重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． （3）根据抛物线经过点，，，可得抛物线对称为直线，则，则，进而令，求得的范围，进而根据函数图象可知或，进而分别讨论求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，即 解得：， ∴当时， （2）解：①如图所示，连接，，交对称轴于点D，    ∵， ∴， 则 ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为 则 解得： 所以直线的解析式为 联立 解得：或 ∴， ∵，设， ∵ ∴ 解得： ∴； ②由①可得，当与点重合时，为等边三角形 则与对称，此时，， 综上所述；；或，； （3）解：∵抛物线经过点，，， ∴抛物线对称为直线， 则，则 ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标为 当时， 解得：或 ∵，且为正整数，过点，则当时， ∴或， 当时，将点代入解析式， 解得： ∵ 则， 当时，将点代入解析式 解得： ∵ 则， 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $