第17讲 变轨问题及双星、多星问题（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考物理一轮复习高效培优系列

第17讲 变轨问题及双星、多星问题 目录 考情探究 知识梳理 探究核心考点 考点一 开普勒定律的应用 考点二 变轨问题 考点三 宇宙速度 考点四 图像问题 考点五 双星、多星问题 三阶突破训练 基础过关 能力提升 真题感知 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2021年全国乙卷，第5题 2021年全国甲卷，第5题 2021年北京卷，第6题 2023年浙江6月卷，第9题2024年上海卷，第8题 2024年山东卷，第5题 2025年安徽卷，第9题 2025年广东卷，第5题 开普勒定律的应用 牛顿第二定律 机械能守恒定律 2021年天津卷，第5题 2022年浙江1月卷，第8题2022年浙江6月卷，第6题2024年湖北卷，第4题 2024年浙江1月卷，第9题2025年北京卷，第7题 变轨问题 牛顿第二定律 超重 动能定理 2021年江苏卷，第3题 2021年湖南卷，第7题 2023年湖南卷，第4题 2024年湖南卷，第7题 2024年河北卷，第8题 2025年甘肃卷，第2题 宇宙速度 牛顿第二定律 开普勒定律 2021年浙江卷，第10题 2023年北京卷，第21题 图像问题 2023年福建卷，第8题 双星、多星问题 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查开普勒定律的应用，变轨问题，宇宙速度以及双星、多星问题，一般以选择题形式出现。要求体会人类对自然界的探索是不断深入的。要求关注宇宙起源和演化的研究进展。 【备考策略】1.理解、掌握开普勒定律。 2.理解、掌握变轨运行的规律。 3.理解、掌握三个宇宙速度。会计算第一宇宙速度。 4.理解、掌握双星、多星问题的处理方法。 5.具备数形结合的思想意识。 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以选择题形式出现。 一、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小与到太阳的距离成反比，近日点速度 ，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与 天体的 有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 二、宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 三、卫星的变轨和对接问题 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 四、双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度 ，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成 ，即 . ⑤双星的运动周期T＝ . ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 五、星球“瓦解”问题　黑洞 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是 恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． 考点一 开普勒定律的应用 典例1．（2025·广东省广州市培正中学·三模）2024年8月22日中星4A卫星（简称A星）成功进入预定轨道I，为用户提供了优质的通信传输业务。2025年2月22日，中星10R卫星（简称R星）成功进入预定轨道Ⅱ，为“一带一路”沿线国家和地区提供了高效的卫星网络传输服务。已知轨道I为圆轨道，其半径为r，轨道Ⅱ为椭圆轨道，其长轴为2r。图中A星、R星与地心O共线，此时R星位于近地点，两星均沿逆时针绕行。下列说法正确的是（　　） A. R星的周期大于A星的周期 B. 在图示位置时，R星的速度大于A星的速度 C. 从图示位置运行至两星速度方向均改变的过程中两星经历的时间相同 D. 任何相同时间内A星与O连线扫过的面积与R星与O连线扫过的面积相等 典例2．（2025·陕西省宝鸡市·模拟检测（一））中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A. 冬至时地球的运行速度最小 B. 地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C. 地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D. 地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 典例3．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运行周期为（　　） A. 天 B. 天 C. 1天 D. 9天 跟踪训练1．（2025·江苏省苏州市八校联考·三模）哈雷彗星是目前唯一能用裸眼直接从地球看见的短周期性彗星。哈雷彗星的质量远小于地球的质量，它绕太阳运动的周期约为年。如图所示，地球的公转轨道可近似看作圆，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的。假设哈雷彗星运动过程中只受太阳的引力作用，已知，下列说法正确的是（　　） A. 哈雷彗星在近日点运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度 B. 哈雷彗星在近日点运行的加速度等于其在远日点运行的加速度 C. 地球公转线速度约为哈雷彗星在近日点线速度的 D. 哈雷彗星在远日点到太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的倍 跟踪训练2．（2025·天津市耀华中学·二模）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入轨道高度约为300千米、倾角41.5度的圆轨道。之后经过变轨，于2025年4月24日23时49分与轨道高度约为400km的空间站成功对接。关于神舟二十号和空间站，下列说法正确的有（　　） A. 变轨前，神舟二十号的运行速度小于空间站 B. 变轨前，神舟二十号和空间站各自与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 C. 变轨后，神舟二十号机械能一定小于变轨前的机械能 D. 变轨后，神舟二十号的运行周期一定大于变轨前的运行周期 跟踪训练3．（2025·湖北省新八校协作体·三模）随着我国航天事业的蓬勃发展，天问二号成功发射开启对小行星的探测之旅。假设天问二号在围绕某小行星做半径为的匀速圆周运动，为获取更多小行星数据，探测器在某点沿轨道切线方向短时间喷射气体，实现变轨到半径为的圆轨道。已知该小行星的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 探测器变轨时应沿速度方向喷射气体 B. 若探测器在近小行星表面做圆周运动时的周期为，则该小行星的平均密度为 C. 变轨后探测器的运行周期是变轨前运行周期的 D. 变轨后探测器的动能增加，引力势能增加，机械能增加 考点二 变轨问题 典例1．（2025·甘肃省庆阳市第一中学·一模）2024年10月30日，神舟十九号成功发射并对接中国空间站，标志着中国航天进入新的阶段。神舟十九号与中国空间站对接过程的示意图如图所示，神舟十九号先在近地圆轨道I上运行，再变轨至椭圆轨道II，最后与在圆轨道III上运行的中国空间站对接。已知地球表面的重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A. 中国空间站在轨道III运行的线速度大小可能为 B. 神舟十九号在轨道II运动时的向心加速度大于 C. 对接后中国空间站中航天员处于超重状态 D. 神舟十九号在轨道I上运行的周期比中国空间站在轨道III上运行的周期小 典例2．（2025·天津市北辰区·三模）（不定项选择）国家深空探测实验室预计在2030年前后实现载人登月并建设月球基地，为此成功发射了天都一号环月卫星负责通信和导航。如图所示，天都一号在地月转移轨道点实施“刹车”制动，成功进入环月圆形轨道。已知环月轨道离月面高度为，月球质量为，月球半径为，引力常量为。则（　　） A. 卫星在环月轨道运行时向心加速度小于月球表面的重力加速度 B. 环月圆形轨道上卫星的线速度大小为 C. 环月圆形轨道上卫星的运行周期为 D. 进入环月圆形轨道前卫星在处的速度大小等于 典例3．（2025·江苏省南京市·二模）2024年6月25日，嫦娥六号返回器实现了世界首次月球背面采样并顺利返回，为后续载人探月工程打下了坚实基础．设想载人飞船先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，通过观测发现载人飞船在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的倍．求： （1）载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω； （2）轨道Ⅰ的半径r。 跟踪训练1．（2025·甘肃省白银市·三模）2023年2月23日，我国首颗超百Gbps容量的高通量卫星——中星26号搭乘长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心起飞，随后卫星进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道I（轨道高度忽略不计）做匀速圆周运动，在点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，定点于东经，如图所示。点和点分别为轨道I与轨道II、轨道II与轨道III的切点。若同步圆轨道III距地面的高度约为，地球半径约为，地球自转周期为，地球表面的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 中星26号在转移轨道II上从点运动到点的过程中，机械能减小 B. 中星26号在转移轨道II上点运行的速率为 C. 中星26号在点和点的重力加速度之比约为6.6 D. 中星26号在近地圆轨道I上运行的周期约为 跟踪训练2．（2025·河北省沧州市·二模）（多选）如图所示是嫦娥六号奔月的示意图，嫦娥六号在地球转移轨道P点第一次制动后进入椭圆轨道I，第二次制动后变为椭圆轨道II，第三次制动后变为圆轨道III。已知嫦娥六号在轨道I、II、III的运行周期分别为12h、4h和2h，圆轨道III的半径为r，轨道I、II的半短轴分别约为和，月球的质量为M，嫦娥六号的质量为m，引力常量为G，椭圆的面积公式为（a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴），卫星在同一轨道上运行时与中心天体的连线在单位时间扫过的面积为常数，即（L为卫星到中心天体的距离，为速度垂直于卫星与中心天体连线的分量）。下列说法正确的是（　　） A. 椭圆轨道I的半长轴为 B. 嫦娥六号在轨道II和轨道III上经过P点的加速度相同 C. 嫦娥六号在轨道II上经过P点的线速度大小约为 D. 嫦娥六号在P点制动，从轨道I变到轨道II的过程中，制动力所做的功约为 跟踪训练3．（2025·湖南省邵阳市·三模）（多选） 2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为，远月点B距月心约为，CD为椭圆轨道的短轴，已经万有引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 利用题中的条件可以估算月球的质量 B. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h C. 鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1：9 D. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 考点三 宇宙速度 典例1．（2025·山东省潍坊市·二模）中国空间站绕地球运行方向如图所示，由于地球遮挡阳光，空间站内宇航员在一天内会经历多次日落日出。太阳光看作平行光，空间站经历一次日落到日出转过的圆心角为2θ，则空间站线速度大小与第一宇宙速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 典例2．（2025·辽宁省丹东市·二模）宇航员在某星球表面（不考虑星球自转）完成下面实验，在半径为2.4cm的竖直放置的光滑圆轨道内部，有一个质量为0.01kg的小球（可看作质点）以0.3m/s的速度恰好通过轨道最高点。该星球的半径约3395km，引力常量。以下说法正确的是（　　） A. 该星球表面的重力加速度为 B. 该星球的第一宇宙速度约为7.9km/s C. 该星球的质量约为 D. 若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，则该星球的第二宇宙速度约为3.57km/s 跟踪训练1．（2025·山西省太原市·一模）（多选）木卫二绕木星做匀速圆周运动，某同学收集到一些数据进行估算，下列运算公式正确的是（　　） 物理量 木星 木卫二 质量M M1=1.9×1027kg M2=4.8×1022kg 天体半径R R1=7.1×107m R2=1.6×106m 轨道半径r r1= 7.8×1011 m r2=6.7×108m 自转周期T T1=10h T2 = 85 h 引力常量G 667×10-1l N·m²/kg2 A. 木卫二做匀速圆周运动的周期为 B. 木星和木卫二表面的重力加速度之比为 C. 木星和木卫二的第一宇宙速度之比为 D. 太阳和木星质量之比为 跟踪训练2．（2025·西藏自治区日喀则市·二模）中国航天的下一个重大任务——火星探测器天问二号，也即将踏上征程。“天问二号”发射后将沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A. 地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B. “天问二号”沿霍曼轨道飞往火星轨道过程中做加速运动 C. “天问二号”的发射速度应满足 D. “天问二号”从点运动到点的时间为个月 考点四 图像问题 典例1．（2025·江西省·三模）我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（　　） A. 该星球和地球的质量之比 B. 该星球和地球的第一宇宙速度之比 C. 该星球和地球的密度之比为 D. 该星球和地球表面的重力加速度大小之比为 典例2．（2025·北京市大兴精华学校·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A. 可依据图像求出该星球质量 B. 可求出距球心处质量为物体的重力势能 C. 该星球的第二宇宙速度为 D. 在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 典例3．（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）“千帆星座”是中国低轨道卫星网络，由1.4万多颗低轨宽频卫星构成，卫星的轨道可视为圆形。卫星运动过程中，轨道离地高度h与绕行周期三分之二次方的关系如图所示，图中、和均为已知量，已知万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A. B. C. D. 跟踪训练1．（2025·福建省福州第一中学·一模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A. 图乙中两条直线的斜率均为 B. 行星A、B的质量之比为1∶3 C. 行星A、B的密度之比为1∶9 D. 行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1 跟踪训练2．（2025·江西省南昌市·二模）（多选）我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力与其距离地表高度的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所受火星的万有引力与其距离火星表面的高度的关系图像如图乙所示，已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是（　　） A. 物体在地球表面做自由落体运动时下落更快 B. 物体在火星表面做自由落体运动时下落更快 C. 地球与火星的半径之比约为2∶1 D. 地球与火星的半径之比约为3∶2 跟踪训练3．（2025·福建省宁德市·三模）（多选）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A. 卫星的周期为 B 卫星绕地球运行时机械能守恒 C. 卫星在近地点与远地点的速度之比为 D. 卫星在近地点与远地点的加速度之比为 考点五 双星、多星问题 典例1．（2025·内蒙古包头市·三模）（多选）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 典例2．（2025·内蒙古包头市·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 跟踪训练1．（2025·陕西省渭南市·二模） 2024年10月29日，神州19号载人航天飞行任务新闻发布会在酒泉卫星发射中心召开，发言人介绍我国锚定在2030年前实现中国人登陆月球的目标，工程全线正在全面推进研制建设工作。在简化处理地球和月球的关系时，认为地球和月球构成双星系统，两者绕着连线上的一点做匀速圆周运动。在建造月球基地过程中，要将地球上的一部分物资转移到月球上（该过程中地球和月球的总质量不变，地球和月球均可视为质点），若地、月中心间距固定不变，地球的质量始终大于月球的质量，则建造过程中（　　） A. 系统的周期变大 B. 地球的轨道半径不变 C. 地球的线速度变大 D. 地球的角速度变大 跟踪训练2．（2025·北京市第一零一中学·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 （1）该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； （2）求脉冲星的质量； （3）脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 1．（2025·福建省龙岩市·一模）（多选）神舟十九号载人飞船于2024年10月30日成功发射，经过10分钟左右成功进入预定轨道。飞船进入预定轨道之前在近地圆轨道1的点点火加速进入椭圆轨道2，在远地点点再次点火加速进入圆轨道3。若飞船在1、2轨道的点和2、3轨道的点速度分别为、和、，向心加速度分别为、和、，机械能分别为、和、，飞船在1、2和3轨道的周期分别为、和。对于以上物理量的大小关系，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 2．（2025·甘肃省白银市·三模）2025年1月7日09时05分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，国家航天局对地观测与数据中心立即按职责启动民商航天应急响应机制，同步查询灾区历史影像。地球静止同步卫星发射轨道示意图如图所示，关于地球静止同步卫星，下列说法正确的是（　　） A. 地球静止同步卫星能通过日喀则市正上空 B. 地球静止同步卫星在变轨点1加速，可以直接变轨到同步轨道运行 C. 地球静止同步卫星在变轨点2减速，可以直接变轨到同步轨道运行 D. 地球静止同步卫星的转动方向与地球的自转方向相同 3．（2025·广东省广州市·一模）如图，一飞行器沿椭圆轨道I运行，地球位于椭圆轨道I的其中一个焦点O上。飞行器在某位置P瞬间喷射一定量气体后，沿圆轨道Ⅱ运行。已知轨道I的半长轴大于轨道Ⅱ的半径，则飞行器（　　） A. 在轨道I上从P点到M点，机械能增大 B. 在轨道Ⅱ上的周期大于在轨道I上的周期 C. 在轨道Ⅱ上的速度大于在轨道I上经过M点的速度 D. 在轨道Ⅱ上的加速度小于在轨道I上经过P点的加速度 4．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）（多选）我国是世界上第一次首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。如图所示，“天问一号”火星探测器被火星捕获，从“调相轨道”经过变轨进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。P点、N点分别为停泊轨道上的近火点和远火点，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线在相同时间内扫过的面积，下列说法正确的是（ ） A. 探测器在P点的速度大于在N点的速度 B. 探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 C. 图中两阴影部分的面积相等 D. 从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需制动减速 5．（2025·福建省龙岩市·二模）（多选）如图为中国农历二十四个节气与地球在公转椭圆轨道上对应位置的示意图。仅考虑太阳对地球的引力，则关于地球绕太阳公转过程，（ ） A. 冬至时地球的线速度比夏至时小 B. 冬至时地球的加速度比夏至时大 C. 经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 D. 地球自转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 6．（2025·北京市昌平区·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A. B. C. D. 7．（2025·河南省洛阳市·三模）（多选）2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上A点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知、分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，与地心的距离为，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为，地球的质量为，引力常量为，在太空中卫星的引力势能为，其中为卫星到地心的距离，为卫星的质量。下列说法正确的是（　　） A. 60号星从到历时 B. 60号星从到历时 C. 60号星在轨道Ⅱ上点的速度大小为 D. 60号星在轨道Ⅱ上点的速度大小为 8．（2025·吉林省长春市·三模） 2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　） A. 由A向B运动过程中速度变大 B. 在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气 C. 在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期 D. 在大椭圆轨道经过B点的速度大于火星的第一字宙速度 9．（2025·湖北省七市州·二模）目前，我国正计划发射巡天空间望远镜，与空间站共轨配合研究宇宙最基本的问题，以帮助人类更好地理解宇宙。 已知该望远镜发射后先在圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道，两轨道相切于P点。 P、Q 分别为椭圆轨道的近地点和远地点，忽略空气阻力和卫星质量的变化，则该巡天望远镜（　　） A. 在椭圆轨道上运动的周期小于在圆轨道上运动的周期 B. 在 Q 点的速度大于在圆轨道运动时的速度 C. 在 P 点由圆轨道变为椭圆轨道时需要在 P 处点火减速 D. 在椭圆轨道运动时的机械能大于在圆轨道上运动时的机械能 10．（2025·北京市海淀区·三模） 2024年3月20日8时31分，探月工程四期“鹊桥二号”中继星由“长征八号”遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空。某卫星沿椭圆轨道绕地球运行的示意图如图所示，地球半径为R，卫星的近地点Q在地球表面上方0.5R处，卫星的远地点P到地心的距离为3R，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星在Q点的运行速率小于在P点的运行速率 B. 在Q点和P点卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为1：2 C. 卫星在Q点和P点受到的万有引力大小之比为36：1 D. 卫星在Q点和P点的加速度大小之比为4：1 1．（2025·甘肃省白银市第一中学·二模） 2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道运动至点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ） A. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中机械能持续增大 B. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期 C. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态 D. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度 2．（2025·安徽省阜阳一中、阜阳三中·二模）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升组合体成功着陆月背南极——艾特肯盆地的预选着陆区。通过查阅资料得知嫦娥六号发射后先在近地轨道上做圆周运动，线速度大小和周期分别为v和T，而后点火加速奔赴月球，被月球俘获后先在近月轨道上做圆周运动。已知月球质量为地球质量的p倍，月球半径是地球半径的q倍，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 嫦娥六号加速后的速度大于小于 B. 嫦娥六号点火加速后，在远离地球过程中机械能逐渐增大 C. 嫦娥六号在近月轨道做圆周运动的速度大小为 D. 嫦娥六号在近月轨道做圆周运动的周期为 3．（2025·北京市北京大学附属中学·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A. 在近星点和远星点的速度满足 B. S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C. S2在点和点的加速度大小之比为 D. 中心天体黑洞的半径至多为 4．（2025·湖南省常德市·二模）2024年6月2日上午6时23分，“嫦娥六号”成功着陆月球背面。若“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道上运行，周期为；当经过近月点点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道上运行，周期为。已知月球半径为，圆形轨道距月球表面的距离为，椭圆轨道远月点距月球表面的距离为，如图所示，引力常量为，忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说法正确的是（　　） A. B. 月球的质量为 C. 月球第一宇宙速度等于轨道II上的运行速度 D. 嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要在点点火使其加速才能完成 5．（2025·北京市海淀区·三模）如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，。C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A、C间引力，已知引力常量为G，，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。则（　　） A. A的线速度大于B的线速度 B. B的质量为 C. 若A也有一颗运动周期为的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径 D. 若知道C绕B运动轨道半径，则可求出C的质量 6．（2025·湖北省武汉二中·一模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A. A的质量为m B. 该双星系统的运动周期为T C. A、B相距的距离为 D. 在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 7．（2025·北京市大兴一中·一模）地球静止卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道II，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道III绕地球做匀速圆周运动。设卫星质量保持不变，下列说法中正确的是（　　） A. 卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度小于在轨道II上运动经过A点时的加速度 B. 卫星在轨道I上的机械能等于在轨道III上的机械能 C. 卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期均与地球自转周期相同 D. 卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度 8．（2025·四川省成都市石室中学·一模）假设地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行周期与轨道半径的关系如图所示，图中1和2分别为我国空间站“天和”核心舱、卫星导航系统中某颗地球同步卫星所对应的数据。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 核心舱与地球同步卫星的向心力大小之比为 B. 核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为 C. 核心舱与地球同步卫星的周期之比为 D. 核心舱与地球同步卫星的速率之比为 9．（2025·天津市新华中学·二模）SpaceX公司计划不断发射大量小型卫星，组成庞大的地球卫星群体，简称“星链计划”。但其部分卫星的轨道与我国空间站轨道有重叠，严重影响空间站的使用安全，有时就不得不做紧急避险动作，避免被星链卫星撞击的危险。如图所示，假设在地球附近存在圆轨道卫星和椭圆轨道卫星，A、B为椭圆轨道长轴的两端点，点为两轨道交点。A距离地心，B距离地心，距离地心。下列说法正确的是（ ） A. 卫星和卫星的周期不相同 B. 卫星和卫星在点加速度不相同 C. 卫星在点的速度小于卫星在A点的速度 D. 若卫星在A点适当点火加速，即可在以A点到地心为半径的轨道上绕地球做圆周运动 10．（2025·江苏省常州市前黄高级中学·二模）如图所示，嫦娥六号在环月轨道上沿椭圆轨道运动，AB为长轴。已知A、B两点距月球球心的距离分别为、，运行至A、B时的速度大小分别为、。只考虑其受到月球的引力，则嫦娥六号（　　） A. 运行至A点时的加速度 B. 运行至B点时的加速度 C. 运行至A点时的加速度为 D. 运动至B点时的加速度为 11. （2025·河南省名校联盟·二模）2025年5月左右，我国将发射“天问二号”探测器，其任务之一是从编号为“”的小行星表面取样并送回地球。小行星“”的直径约为40至100米，绕太阳公转的周期是365.77天，自转周期仅为28分钟，由于其质量较小，表面的引力非常弱，仅为地球表面引力的百万分之一，常被人们称之为“无重力环境”。下列说法正确的是（　　） A. 由于小行星“”的半径很小，故其第二宇宙速度很大 B. 由于小行星“”的质量很小，故万有引力定律对其不适用 C. 由于小行星“”的公转周期与地球的接近，故其轨道长轴与地球的轨道长轴相接近 D. 由于小行星“”的自转周期很小，故其地面的物体很难脱离其表面 12. （2025·辽宁省葫芦岛市·二模）（多选）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中（k为已知常数），假设A与B只受到行星的引力，根据图像及时间关系可能求出（　　） A. 卫星A与B的绕行周期比 B. 行星与卫星A的质量比 C. 卫星A与B的质量比 D. 卫星A与B的密度比 1．（2025年广东卷第5题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A. 公转周期约6年 B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 2. （2025年甘肃卷第2题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 3. （2025年北京卷第7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 4. （2025年安徽卷第9题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. 5. （2024年山东卷第5题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A. B. C. D. 6. （2024·上海卷·第8题）图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。 （1）该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的______ A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 （2）已知太阳质量为M，引力常量为G。当慧日间距为时，彗星速度大小为。求慧日间距为时的慧星速度大小。（计算）______ 7. （2024年1月浙江卷第9题）如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约的轨道。取地球质量，地球半径，引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 火箭的推力是空气施加的 B. 卫星的向心加速度大小约 C. 卫星运行的周期约 D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 8. （2024年河北卷第8题）（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ） A. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C. 鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 9. （2024年湖北卷第4题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A. 空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 10. （2024年湖南卷第7题）（多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A. 其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B. 其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 11. （2023年6月浙江卷第9题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则( ) A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为 C.周期T与之比为 D.木星质量与地球质量之比为 12. （2023年湖南卷第4题）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ） A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 13. （2023年北京卷第21题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 14. （2023年福建卷第8题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 变轨问题及双星、多星问题 目录 考情探究 知识梳理 探究核心考点 考点一 开普勒定律的应用 考点二 变轨问题 考点三 宇宙速度 考点四 图像问题 考点五 双星、多星问题 三阶突破训练 基础过关 能力提升 真题感知 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2021年全国乙卷，第5题 2021年全国甲卷，第5题 2021年北京卷，第6题 2023年浙江6月卷，第9题2024年上海卷，第8题 2024年山东卷，第5题 2025年安徽卷，第9题 2025年广东卷，第5题 开普勒定律的应用 牛顿第二定律 机械能守恒定律 2021年天津卷，第5题 2022年浙江1月卷，第8题2022年浙江6月卷，第6题2024年湖北卷，第4题 2024年浙江1月卷，第9题2025年北京卷，第7题 变轨问题 牛顿第二定律 超重 动能定理 2021年江苏卷，第3题 2021年湖南卷，第7题 2023年湖南卷，第4题 2024年湖南卷，第7题 2024年河北卷，第8题 2025年甘肃卷，第2题 宇宙速度 牛顿第二定律 开普勒定律 2021年浙江卷，第10题 2023年北京卷，第21题 图像问题 2023年福建卷，第8题 双星、多星问题 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查开普勒定律的应用，变轨问题，宇宙速度以及双星、多星问题，一般以选择题形式出现。要求体会人类对自然界的探索是不断深入的。要求关注宇宙起源和演化的研究进展。 【备考策略】1.理解、掌握开普勒定律。 2.理解、掌握变轨运行的规律。 3.理解、掌握三个宇宙速度。会计算第一宇宙速度。 4.理解、掌握双星、多星问题的处理方法。 5.具备数形结合的思想意识。 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以选择题形式出现。 一、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 二、宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 三、卫星的变轨和对接问题 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 四、双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 五、星球“瓦解”问题　黑洞 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． 考点一 开普勒定律的应用 典例1．（2025·广东省广州市培正中学·三模）2024年8月22日中星4A卫星（简称A星）成功进入预定轨道I，为用户提供了优质的通信传输业务。2025年2月22日，中星10R卫星（简称R星）成功进入预定轨道Ⅱ，为“一带一路”沿线国家和地区提供了高效的卫星网络传输服务。已知轨道I为圆轨道，其半径为r，轨道Ⅱ为椭圆轨道，其长轴为2r。图中A星、R星与地心O共线，此时R星位于近地点，两星均沿逆时针绕行。下列说法正确的是（　　） A. R星的周期大于A星的周期 B. 在图示位置时，R星的速度大于A星的速度 C. 从图示位置运行至两星速度方向均改变的过程中两星经历的时间相同 D. 任何相同时间内A星与O连线扫过的面积与R星与O连线扫过的面积相等 【答案】B 【解析】A．A星的轨道半径与R星轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律可知，两星运动的周期相同，故A错误； C．R星在Ⅱ轨道图示位置的速度最大，在远地点速度最小，可知R星从图示位置至速度方向改变90°所用的时间小于A星从图示位置至速度方向改变90°所用的时间，故C错误； B．以O为圆心，过Ⅱ轨道近地点作圆，记该圆轨道为III轨道，可知R星在Ⅱ轨道近地点的速度大于其III轨道上的线速度，根据可知，R星III轨道上的线速度大于A星在I轨道上的线速度，可知在图示位置时，R星的速度大于A星的速度，故B正确； D．因椭圆半长轴与圆的半径相等，故两卫星周期相同，且圆的面积大，由此可知，一个周期时间A星与O连线扫过的面积大于R星与O连线扫过的面积，故D错误。 故选B。 典例2．（2025·陕西省宝鸡市·模拟检测（一））中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A. 冬至时地球的运行速度最小 B. 地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C. 地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D. 地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 【答案】B 【解析】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误； B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确； C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误； D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。 故选B。 典例3．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运行周期为（　　） A. 天 B. 天 C. 1天 D. 9天 【答案】C 【解析】由于，，由开普勒第三定律可得 则 故选C。 跟踪训练1．（2025·江苏省苏州市八校联考·三模）哈雷彗星是目前唯一能用裸眼直接从地球看见的短周期性彗星。哈雷彗星的质量远小于地球的质量，它绕太阳运动的周期约为年。如图所示，地球的公转轨道可近似看作圆，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的。假设哈雷彗星运动过程中只受太阳的引力作用，已知，下列说法正确的是（　　） A. 哈雷彗星在近日点运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度 B. 哈雷彗星在近日点运行的加速度等于其在远日点运行的加速度 C. 地球公转线速度约为哈雷彗星在近日点线速度的 D. 哈雷彗星在远日点到太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的倍 【答案】D 【解析】本题考查开普勒第三定律。 【详解】AB．根据万有引力提供向心力有 解得加速度 哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的，因此哈雷彗星在近日点运行的加速度大于地球绕太阳运行的加速度，AB项错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得线速度 假设哈雷彗星以近日点与太阳中心的距离为半径做匀速圆周运动，哈雷彗星在近日点到太阳中心的距离只有地球公转轨道半径的，则地球公转线速度为假设的哈雷彗星做匀速圆周运动的线速度的，但实际哈雷彗星在近日点的速度大于假设的哈雷彗星做匀速圆周运动的线速度，因此地球公转线速度不等于哈雷彗星在近日点线速度的，C项错误； D．哈雷彗星绕太阳运动的周期约为年，，设哈雷彗星轨道的半长轴为，根据开普勒第三定律有 解得哈雷彗星椭圆轨道的半长轴为地球公转轨道半径的18倍，设哈雷彗星在远日点到太阳中心的距离为，则有 解得 则有哈雷彗星在远日点到太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的倍，D项正确。 故选D。 跟踪训练2．（2025·天津市耀华中学·二模）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入轨道高度约为300千米、倾角41.5度的圆轨道。之后经过变轨，于2025年4月24日23时49分与轨道高度约为400km的空间站成功对接。关于神舟二十号和空间站，下列说法正确的有（　　） A. 变轨前，神舟二十号的运行速度小于空间站 B. 变轨前，神舟二十号和空间站各自与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 C. 变轨后，神舟二十号机械能一定小于变轨前的机械能 D. 变轨后，神舟二十号的运行周期一定大于变轨前的运行周期 【答案】D 【解析】A．根据 卫星运行速度公式为 其中r为轨道半径（地球半径+轨道高度）。变轨前，神舟二十号轨道高度（300km）低于空间站（400km），故其轨道半径更小，运行速度更大，故A错误； B．开普勒第二定律指出，同一轨道上的卫星在相等时间内扫过的面积相等。但神舟二十号与空间站轨道不同，扫过的面积不相等，故B错误； C．从低轨道（300km）变轨至高轨道（400km）需两次加速，机械能增加。因此变轨后机械能应大于变轨前，故C错误； D．根据开普勒第三定律T2∝r3，轨道半径越大，周期越长。变轨后轨道半径增大，周期必然增大，故D正确。 故选D。 跟踪训练3．（2025·湖北省新八校协作体·三模）随着我国航天事业的蓬勃发展，天问二号成功发射开启对小行星的探测之旅。假设天问二号在围绕某小行星做半径为的匀速圆周运动，为获取更多小行星数据，探测器在某点沿轨道切线方向短时间喷射气体，实现变轨到半径为的圆轨道。已知该小行星的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 探测器变轨时应沿速度方向喷射气体 B. 若探测器在近小行星表面做圆周运动时的周期为，则该小行星的平均密度为 C. 变轨后探测器的运行周期是变轨前运行周期的 D. 变轨后探测器的动能增加，引力势能增加，机械能增加 【答案】C 【解析】A．探测器要从低轨变到高轨，需要进行加速，应向速度反方向喷射气体，A错误； B．根据 联立可得，B错误； C．由开普勒第三定律 可得 解得，C正确； D．变轨到高轨道，根据 可知，轨道半径变大，速度变小，动能减小，高度升高，引力势能增大，因为只有万有引力做功，机械能守恒，D错误。 故选C。 考点二 变轨问题 典例1．（2025·甘肃省庆阳市第一中学·一模）2024年10月30日，神舟十九号成功发射并对接中国空间站，标志着中国航天进入新的阶段。神舟十九号与中国空间站对接过程的示意图如图所示，神舟十九号先在近地圆轨道I上运行，再变轨至椭圆轨道II，最后与在圆轨道III上运行的中国空间站对接。已知地球表面的重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A. 中国空间站在轨道III运行的线速度大小可能为 B. 神舟十九号在轨道II运动时的向心加速度大于 C. 对接后中国空间站中航天员处于超重状态 D. 神舟十九号在轨道I上运行的周期比中国空间站在轨道III上运行的周期小 【答案】D 【解析】A．第一宇宙速度近似等于近地卫星的环绕速度，即近地圆轨道I的线速度近似等于，根据 解得 由于圆轨道III的轨道半径大于近地圆轨道I的轨道半径，则圆轨道III的线速度大于近地圆轨道I的线速度，即中国空间站在轨道III运行的线速度大小一定小于，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 则近地圆轨道I的向心加速度近似等于，由于轨道II上卫星与地心连线间距大于或近似等于地球半径，则神舟十九号在轨道II运动时的向心加速度小于或等于，故B错误； C．对接后中国空间站在圆轨道III上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则中国空间站中航天员处于完全失重状态，故C错误； D．根据开普勒第三定律有 由于圆轨道III的轨道半径大于近地圆轨道I的轨道半径，则神舟十九号在轨道I上运行的周期比中国空间站在轨道III上运行的周期小，故D正确。 故选D。 典例2．（2025·天津市北辰区·三模）（不定项选择）国家深空探测实验室预计在2030年前后实现载人登月并建设月球基地，为此成功发射了天都一号环月卫星负责通信和导航。如图所示，天都一号在地月转移轨道点实施“刹车”制动，成功进入环月圆形轨道。已知环月轨道离月面高度为，月球质量为，月球半径为，引力常量为。则（　　） A. 卫星在环月轨道运行时向心加速度小于月球表面的重力加速度 B. 环月圆形轨道上卫星的线速度大小为 C. 环月圆形轨道上卫星的运行周期为 D. 进入环月圆形轨道前卫星在处的速度大小等于 【答案】AC 【解析】A．由环月轨道运行时的向心加速度关系和月球表面的重力加速度关系 所以有，故A正确； B．由 有，故B错误； C．由 有，故C正确； D．因为进入环月圆形轨道前卫星需要在A处减速，故速度大小应大于,故D错误。 故选AC。 典例3．（2025·江苏省南京市·二模）2024年6月25日，嫦娥六号返回器实现了世界首次月球背面采样并顺利返回，为后续载人探月工程打下了坚实基础．设想载人飞船先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，通过观测发现载人飞船在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的倍．求： （1）载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω； （2）轨道Ⅰ的半径r。 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 载人飞船在轨道Ⅲ做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 在月球表面有 解得 【小问2详解】 根据开普勒第三定律有 其中 解得 跟踪训练1．（2025·甘肃省白银市·三模）2023年2月23日，我国首颗超百Gbps容量的高通量卫星——中星26号搭乘长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心起飞，随后卫星进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道I（轨道高度忽略不计）做匀速圆周运动，在点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，定点于东经，如图所示。点和点分别为轨道I与轨道II、轨道II与轨道III的切点。若同步圆轨道III距地面的高度约为，地球半径约为，地球自转周期为，地球表面的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 中星26号在转移轨道II上从点运动到点的过程中，机械能减小 B. 中星26号在转移轨道II上点运行的速率为 C. 中星26号在点和点的重力加速度之比约为6.6 D. 中星26号在近地圆轨道I上运行的周期约为 【答案】D 【解析】A．在转移轨道II上从点运动到点的过程中，万有引力对中星26号做负功，动能转化为引力势能，机械能守恒，故A错误； B．根据万有引力提供向心力，有 在地球表面，有 解得中星26号在近地圆轨道上运行的速率为 中星26号从近地圆轨道I变轨到转移轨道II，做离心运动，需在点加速，所以中星26号在转移轨道II上点运行的速率，故B错误； C．根据万有引力与重力的关系，在点有 在Q点有 中星26号在点和点的重力加速度之比约为 故C错误； D．由开普勒第三定律可得 中星26号在近地圆轨道上运行的周期 故D正确。 故选D。 跟踪训练2．（2025·河北省沧州市·二模）（多选）如图所示是嫦娥六号奔月的示意图，嫦娥六号在地球转移轨道P点第一次制动后进入椭圆轨道I，第二次制动后变为椭圆轨道II，第三次制动后变为圆轨道III。已知嫦娥六号在轨道I、II、III的运行周期分别为12h、4h和2h，圆轨道III的半径为r，轨道I、II的半短轴分别约为和，月球的质量为M，嫦娥六号的质量为m，引力常量为G，椭圆的面积公式为（a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴），卫星在同一轨道上运行时与中心天体的连线在单位时间扫过的面积为常数，即（L为卫星到中心天体的距离，为速度垂直于卫星与中心天体连线的分量）。下列说法正确的是（　　） A. 椭圆轨道I的半长轴为 B. 嫦娥六号在轨道II和轨道III上经过P点的加速度相同 C. 嫦娥六号在轨道II上经过P点的线速度大小约为 D. 嫦娥六号在P点制动，从轨道I变到轨道II的过程中，制动力所做的功约为 【答案】BC 【解析】A．椭圆轨道I、II和III的周期之比为 根据开普勒第三定律得 解得， 故A错误； B．嫦娥六号在轨道II和轨道III上经过P点时，万有引力提供加速度 所以加速度均为 且方向均指向月球，故B正确； C．设在轨道III上经过P点时速度大小为v3，由万有引力提供向心力得 解得 设嫦娥六号在轨道I和轨道II上经过P点时的线速度大小为v1和v2，由 可得，， 解得， 故C正确； D．设嫦娥六号在P点制动，从轨道I变到轨道II的过程中，制动力所做的功为W，由动能定理可得 解得 故D错误。 故选BC。 跟踪训练3．（2025·湖南省邵阳市·三模）（多选） 2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为，远月点B距月心约为，CD为椭圆轨道的短轴，已经万有引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 利用题中的条件可以估算月球的质量 B. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h C. 鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1：9 D. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 【答案】AD 【解析】A．假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的运行周期为24h，由万有引力提供向心力可得 可得月球的质量为 则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A正确； B．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故B错误； C．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得 可得鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比为 故C错误； D．根据牛顿第二定律可得 可知桥二号在 A、B两点的加速度大小之比为 故D正确。 故选AD。 考点三 宇宙速度 典例1．（2025·山东省潍坊市·二模）中国空间站绕地球运行方向如图所示，由于地球遮挡阳光，空间站内宇航员在一天内会经历多次日落日出。太阳光看作平行光，空间站经历一次日落到日出转过的圆心角为2θ，则空间站线速度大小与第一宇宙速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知，空间站的轨道半径为 根据万有引力提供向心力可得， 联立可得 故选B。 典例2．（2025·辽宁省丹东市·二模）宇航员在某星球表面（不考虑星球自转）完成下面实验，在半径为2.4cm的竖直放置的光滑圆轨道内部，有一个质量为0.01kg的小球（可看作质点）以0.3m/s的速度恰好通过轨道最高点。该星球的半径约3395km，引力常量。以下说法正确的是（　　） A. 该星球表面的重力加速度为 B. 该星球的第一宇宙速度约为7.9km/s C. 该星球的质量约为 D. 若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，则该星球的第二宇宙速度约为3.57km/s 【答案】A 【解析】A．小球在最高点时，重力恰好提供向心力 解得 故A正确； B．该星球的第一宇宙速度为近地卫星的速度，根据牛顿第二定律 解得 故B错误； C．星球表面的物体的重力等于万有引力 解得 故C错误； D．若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，则该星球的第二宇宙速度约为 故D错误。 故选A。 跟踪训练1．（2025·山西省太原市·一模）（多选）木卫二绕木星做匀速圆周运动，某同学收集到一些数据进行估算，下列运算公式正确的是（　　） 物理量 木星 木卫二 质量M M1=1.9×1027kg M2=4.8×1022kg 天体半径R R1=7.1×107m R2=1.6×106m 轨道半径r r1= 7.8×1011 m r2=6.7×108m 自转周期T T1=10h T2 = 85 h 引力常量G 667×10-1l N·m²/kg2 A. 木卫二做匀速圆周运动的周期为 B. 木星和木卫二表面的重力加速度之比为 C. 木星和木卫二的第一宇宙速度之比为 D. 太阳和木星质量之比为 【答案】BC 【解析】A．由 解得 故A错误； B．由 解得 则木星和木卫二表面的重力加速度之比为 故B正确； C．由 解得 则木星和木卫二的第一宇宙速度之比为 故C正确； D．由 解得 由于木星绕太阳公转的周期未知，所以太阳的质量无法求出，故D错误。 故选BC。 跟踪训练2．（2025·西藏自治区日喀则市·二模）中国航天的下一个重大任务——火星探测器天问二号，也即将踏上征程。“天问二号”发射后将沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A. 地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B. “天问二号”沿霍曼轨道飞往火星轨道过程中做加速运动 C. “天问二号”的发射速度应满足 D. “天问二号”从点运动到点的时间为个月 【答案】D 【解析】A．根据牛顿第二定律 解得 因为地球绕太阳的公转半径小于火星绕太阳的公转半径，故地球绕太阳运动的公转速度大于火星绕太阳运动的公转速度，A错误； B．“天问二号”沿霍曼轨道飞往火星过程中，引力与速度方向的夹角为钝角，所以速度减小，做减速运动，B错误； C．火星探测器“天问二号”的发射因为要脱离地球的引力，所以发射速度应满足，错误； D．火星绕太阳公转的半径为，地球公转半径为，则探测器半长轴为，根据开普勒第三定律得 其中 解得探测器沿霍曼转移轨道运动的周期月 故“天问二号”从点运动到点的时间为月，正确。 故选D。 考点四 图像问题 典例1．（2025·江西省·三模）我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（　　） A. 该星球和地球的质量之比 B. 该星球和地球的第一宇宙速度之比 C. 该星球和地球的密度之比为 D. 该星球和地球表面的重力加速度大小之比为 【答案】B 【解析】A．根据万有引力提供向心力可得 联立可得 图像的斜率为 该星球和地球的质量之比 故A错误； B．“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，则 则 根据万有引力提供向心力可得 可得 该星球和地球的第一宇宙速度之比 故B正确； C．体积为 密度为 该星球和地球的密度之比为 故C错误； D．根据万有引力与重力的关系 该星球和地球表面重力加速度大小之比为 故D错误 故选B。 典例2．（2025·北京市大兴精华学校·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A. 可依据图像求出该星球质量 B. 可求出距球心处质量为物体的重力势能 C. 该星球的第二宇宙速度为 D. 在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 【答案】C 【解析】A．根据图像可得当时，此时加速度最大，故根据 可得，故可求出该星球质量，故A正确，不符合题意； B．距球心处质量为物体的重力势能为，由图像可求出在时，可得出对应的距离某星球球心处的重力加速度g的大小，故可求出此点的重力势能，故B正确，不符合题意； C．根据 可得第一宇宙速度为 由于第一宇宙速度与第二宇宙速度的关系为 则该星球的第二宇宙速度为，故C错误，符合题意； D．在距球心轨道上运行的卫星，根据 解得在距球心轨道上运行的卫星速度大小为，故D正确，不符合题意。 故选C。 典例3．（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）“千帆星座”是中国低轨道卫星网络，由1.4万多颗低轨宽频卫星构成，卫星的轨道可视为圆形。卫星运动过程中，轨道离地高度h与绕行周期三分之二次方的关系如图所示，图中、和均为已知量，已知万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由公式 得， 由图像可知，，代入质量方程可知C正确。 故选C。 跟踪训练1．（2025·福建省福州第一中学·一模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A. 图乙中两条直线的斜率均为 B. 行星A、B的质量之比为1∶3 C. 行星A、B的密度之比为1∶9 D. 行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1 【答案】C 【解析】A．根据万有引力提供向心力有 整理得 两边取对数得 图乙中两条直线的斜率均为，故A错误； B．根据已知条件有 解得 故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 得 由题图甲可知，图线最左侧表示卫星绕两行星贴地飞行，纵坐标相同即两行星的第一宇宙速度相等，有 解得 两行星的密度满足 解得 故C正确； D．根据重力由万有引力提供，有 在星球表面 解得 故D错误。 故选C。 跟踪训练2．（2025·江西省南昌市·二模）（多选）我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力与其距离地表高度的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所受火星的万有引力与其距离火星表面的高度的关系图像如图乙所示，已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是（　　） A. 物体在地球表面做自由落体运动时下落更快 B. 物体在火星表面做自由落体运动时下落更快 C. 地球与火星的半径之比约为2∶1 D. 地球与火星的半径之比约为3∶2 【答案】AC 【解析】AB．物体在地球表面有 火星表面 所以 故物体在地球表面做自由落体运动时下落更快，故A正确，B错误； CD．又由地球质量约为火星质量的9倍，由，，解得 故C正确，D错误。 故选AC。 跟踪训练3．（2025·福建省宁德市·三模）（多选）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A. 卫星的周期为 B 卫星绕地球运行时机械能守恒 C. 卫星在近地点与远地点的速度之比为 D. 卫星在近地点与远地点的加速度之比为 【答案】BD 【解析】A．由图可知，卫星的周期为，选项A错误； B．卫星绕地球运行时，只有地球引力做功，则机械能守恒，选项B正确； C．卫星在近点时 远点时 可知 根据开普勒第二定律，卫星在近地点与远地点时 可知近地点与远地点的速度之比为 选项C错误； D．根据， 可知卫星在近地点与远地点的加速度之比为，选项D正确。 故选BD。 考点五 双星、多星问题 典例1．（2025·内蒙古包头市·三模）（多选）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由图可知双星周期 较亮的恒星，根据牛顿第二定律 较暗的恒星，根据牛顿第二定律 联可得 故选BC。 典例2．（2025·内蒙古包头市·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由儿何关系知 设B、A间的距离为，则 A所受的合力 联立可得 由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律 又 设星体B所受的合力为，正交分解，有， 则 则 故选A。 跟踪训练1．（2025·陕西省渭南市·二模） 2024年10月29日，神州19号载人航天飞行任务新闻发布会在酒泉卫星发射中心召开，发言人介绍我国锚定在2030年前实现中国人登陆月球的目标，工程全线正在全面推进研制建设工作。在简化处理地球和月球的关系时，认为地球和月球构成双星系统，两者绕着连线上的一点做匀速圆周运动。在建造月球基地过程中，要将地球上的一部分物资转移到月球上（该过程中地球和月球的总质量不变，地球和月球均可视为质点），若地、月中心间距固定不变，地球的质量始终大于月球的质量，则建造过程中（　　） A. 系统的周期变大 B. 地球的轨道半径不变 C. 地球的线速度变大 D. 地球的角速度变大 【答案】C 【解析】AD．设地球质量为M，圆周运动半径为R，月球质量为m，圆周运动半径为r，做圆周运动的角速度相等为，根据万有引力提供向心力可知， 联立解得 由于地球和月球的总质量不变，地、月中心间距固定不变，故可知系统的周期和地球的角速度不变，系统的周期不变，故AD错误； B．根据前面分析可知，由于月球质量在增大，故地球的轨道半径R变大，故B错误； C．根据可知由于地球的角速度不变，轨道半径变大，故地球的线速度变大，故C正确。 故选C。 跟踪训练2．（2025·北京市第一零一中学·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 （1）该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； （2）求脉冲星的质量； （3）脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 【答案】（1） （2） （3）a.；b. 【解析】 【小问1详解】 设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 【小问2详解】 对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 【小问3详解】 a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 1．（2025·福建省龙岩市·一模）（多选）神舟十九号载人飞船于2024年10月30日成功发射，经过10分钟左右成功进入预定轨道。飞船进入预定轨道之前在近地圆轨道1的点点火加速进入椭圆轨道2，在远地点点再次点火加速进入圆轨道3。若飞船在1、2轨道的点和2、3轨道的点速度分别为、和、，向心加速度分别为、和、，机械能分别为、和、，飞船在1、2和3轨道的周期分别为、和。对于以上物理量的大小关系，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】A．由，得 则 且两次加速，有 则 故A正确； B．在、两点，飞船所受向心力由地球对其万有引力提供，即 则 故B错误； C．在同一轨道上机械能守恒，则 在、两点加速，有 且 则 故C错误； D．由开普勒第三定律，有，即轨道越高周期越长，则 故D正确。 故选AD。 2．（2025·甘肃省白银市·三模）2025年1月7日09时05分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，国家航天局对地观测与数据中心立即按职责启动民商航天应急响应机制，同步查询灾区历史影像。地球静止同步卫星发射轨道示意图如图所示，关于地球静止同步卫星，下列说法正确的是（　　） A. 地球静止同步卫星能通过日喀则市正上空 B. 地球静止同步卫星在变轨点1加速，可以直接变轨到同步轨道运行 C. 地球静止同步卫星在变轨点2减速，可以直接变轨到同步轨道运行 D. 地球静止同步卫星的转动方向与地球的自转方向相同 【答案】D 【解析】AD．地球静止同步卫星应在赤道上空，转动方向与地球的自转方向相同，故A错误，D正确； BC．由图可知，地球静止同步卫星在变轨点2加速，才能变轨到同步轨道运行，故BC错误。 故选D。 3．（2025·广东省广州市·一模）如图，一飞行器沿椭圆轨道I运行，地球位于椭圆轨道I的其中一个焦点O上。飞行器在某位置P瞬间喷射一定量气体后，沿圆轨道Ⅱ运行。已知轨道I的半长轴大于轨道Ⅱ的半径，则飞行器（　　） A. 在轨道I上从P点到M点，机械能增大 B. 在轨道Ⅱ上的周期大于在轨道I上的周期 C. 在轨道Ⅱ上的速度大于在轨道I上经过M点的速度 D. 在轨道Ⅱ上的加速度小于在轨道I上经过P点的加速度 【答案】C 【解析】A．在轨道I上从P点到M点，只有万有引力做负功，飞行器的机械能不变，故A错误； B．根据题意可知，轨道I的半长轴大于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上的周期小于在轨道I上的周期，故B错误； C．以为焦点O圆心做一个与轨道I远地点M相切的圆，将该圆看为轨道Ⅲ，轨道Ⅲ相对于轨道I是高轨道，由轨道I变轨到轨道Ⅲ需要在M点向后喷气加速，即在轨道Ⅲ上的速度大于在轨道I上经过M点的速度，根据 解得 由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半径，则轨道Ⅱ的速度大于轨道Ⅲ的速度，可知，在轨道Ⅱ上的速度大于在轨道I上经过M点的速度，故C正确； D．根据牛顿第二定律有 解得 可知，在轨道Ⅱ上的加速度等于在轨道I上经过P点的加速度，故D错误。 故选C。 4．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）（多选）我国是世界上第一次首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。如图所示，“天问一号”火星探测器被火星捕获，从“调相轨道”经过变轨进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。P点、N点分别为停泊轨道上的近火点和远火点，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线在相同时间内扫过的面积，下列说法正确的是（ ） A. 探测器在P点的速度大于在N点的速度 B. 探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 C. 图中两阴影部分的面积相等 D. 从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需制动减速 【答案】AD 【解析】A．根据开普勒第二定律，探测器在P点速度大于在N点的速度，故A正确； B．根据 探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，故B错误； C．图中两阴影部分并不是同一轨道内相同时间内扫过的面积，并不相等，故C错误； D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需制动减速做近心运动，故D正确。 故选AD。 5．（2025·福建省龙岩市·二模）（多选）如图为中国农历二十四个节气与地球在公转椭圆轨道上对应位置的示意图。仅考虑太阳对地球的引力，则关于地球绕太阳公转过程，（ ） A. 冬至时地球的线速度比夏至时小 B. 冬至时地球的加速度比夏至时大 C. 经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 D. 地球自转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 【答案】BC 【解析】AB．地球冬至时距离太阳最近，夏至时距离太阳最远，根据开普勒第二定律可知，冬至时地球的线速度比夏至时大，根据， 冬至时地球的加速度比夏至时大，选项A错误B正确； C．根据开普勒第二定律可知，经过近日点、远日点两位置 可得 选项C正确； D．根据开普勒第三定律，地球公转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，选项D错误。 故选BC。 6．（2025·北京市昌平区·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有 联立解得“天链二号04星”的周期 故选C。 7．（2025·河南省洛阳市·三模）（多选）2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上A点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知、分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，与地心的距离为，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为，地球的质量为，引力常量为，在太空中卫星的引力势能为，其中为卫星到地心的距离，为卫星的质量。下列说法正确的是（　　） A. 60号星从到历时 B. 60号星从到历时 C. 60号星在轨道Ⅱ上点的速度大小为 D. 60号星在轨道Ⅱ上点的速度大小为 【答案】AC 【解析】AB．设60号星在轨道Ⅱ上运动的时间为，由开普勒第三定律可知 则从A至为半个周期，即历时，故A正确，B错误； CD．设60号星在A点的速度为，在点的速度为，由开普勒第二定律可知 60号星在轨道Ⅱ上机械能守恒，有 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 8．（2025·吉林省长春市·三模） 2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　） A. 由A向B运动过程中速度变大 B. 在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气 C. 在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期 D. 在大椭圆轨道经过B点的速度大于火星的第一字宙速度 【答案】C 【解析】A．根据开普勒第二定律可知，由A向B运动过程中速度变小，故A错误； B．在B点变轨时，即由大椭圆轨道变轨到极轨，运动方向改变90°，既要点火减速，也需要改变速度方向，所以不只需沿其运动方向点火喷气，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，大椭圆轨道的半长轴大于极轨的半长轴，所以在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期，故C正确； D．若在B点有一圆轨道，则圆轨道B点速度大于椭圆轨道B点速度，而圆轨道上的运行速度小于第一宇宙速度，所以在大椭圆轨道经过B点的速度小于火星的第一字宙速度，故D错误。 故选C。 9．（2025·湖北省七市州·二模）目前，我国正计划发射巡天空间望远镜，与空间站共轨配合研究宇宙最基本的问题，以帮助人类更好地理解宇宙。 已知该望远镜发射后先在圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道，两轨道相切于P点。 P、Q 分别为椭圆轨道的近地点和远地点，忽略空气阻力和卫星质量的变化，则该巡天望远镜（　　） A. 在椭圆轨道上运动的周期小于在圆轨道上运动的周期 B. 在 Q 点的速度大于在圆轨道运动时的速度 C. 在 P 点由圆轨道变为椭圆轨道时需要在 P 处点火减速 D. 在椭圆轨道运动时的机械能大于在圆轨道上运动时的机械能 【答案】D 【解析】A．根据开普勒第三定律，卫星的轨道半长轴越大，周期越大，在椭圆轨道上运动的周期大于在圆轨道上运动的周期，故A错误； B．设题中圆轨道为圆轨道Ⅰ，假设以椭圆轨道Q点到地心的距离为半径，构建圆轨道Ⅱ，椭圆轨道中的Q点进入圆轨道Ⅱ时，是离心运动，需要加速，故椭圆轨道中的Q点的速度小于圆轨道Ⅱ中运动时的速度，而圆轨道Ⅰ的半径小于圆轨道Ⅱ，故圆轨道Ⅰ中运动时的速度大于圆轨道Ⅱ中运动时的速度，则在椭圆轨道中的Q点的速度小于在圆轨道Ⅰ中运动时的速度，故B错误； C．巡天空间望远镜在点由圆轨道变为椭圆轨道是离心运动，需要加速，故C错误； D．卫星从圆轨道运动到椭圆轨道需要加速，所以在椭圆轨道运动时的机械能大于在圆轨道上运动时的机械能，故D正确。 故选D。 10．（2025·北京市海淀区·三模） 2024年3月20日8时31分，探月工程四期“鹊桥二号”中继星由“长征八号”遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空。某卫星沿椭圆轨道绕地球运行的示意图如图所示，地球半径为R，卫星的近地点Q在地球表面上方0.5R处，卫星的远地点P到地心的距离为3R，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星在Q点的运行速率小于在P点的运行速率 B. 在Q点和P点卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为1：2 C. 卫星在Q点和P点受到的万有引力大小之比为36：1 D. 卫星在Q点和P点的加速度大小之比为4：1 【答案】D 【解析】AB．根据开普勒第二定律可知，在点和点的卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为，因此卫星在点的运行速率大于在点的运行速率，故AB错误； CD．根据结合可知，卫星在点和点受到的万有引力大小之比为，由可知加速度大小之比也为，故C错误，D正确。 故选D。 1．（2025·甘肃省白银市第一中学·二模） 2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道运动至点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ） A. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中机械能持续增大 B. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期 C. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态 D. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度 【答案】B 【解析】A．飞船由P点到B点过程中的A点到B点段，飞船只受万有引力，只有引力做功，机械能守恒，故A错误； B．由开普勒第三定律 可知轨道半长轴越小，周期越小，飞船在轨道2的半长轴比轨道1的小，所以飞船在轨道2运动的周期比在空间站的运动周期小，故B正确； C．飞船由P点到A点，飞船获得外界提供的动力，加速上升，处于超重状态，到飞船从A点到B点，只受地球对其的万有引力，处于完全失重状态，故C错误； D．飞船在轨道2运动到B点要经历点火加速才能进入轨道1运动，则飞船在轨道2的B点运动速度比与空间站对接后在轨道1上的运行速度要小。飞船从近地圆轨道变轨到椭圆轨道，在近地点要加速，所以要椭圆上近地点速度大于近地轨道上的速度。根据 可知，飞船在轨道1上运动的速度小于在近地轨道上运动的速度，所以飞船在椭圆上近地点的速度大于在轨道1上的运行速度，可见飞船在椭圆轨道上运动的速度可以大于对接后在轨道1上的运行速度，故D错误。 2．（2025·安徽省阜阳一中、阜阳三中·二模）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升组合体成功着陆月背南极——艾特肯盆地的预选着陆区。通过查阅资料得知嫦娥六号发射后先在近地轨道上做圆周运动，线速度大小和周期分别为v和T，而后点火加速奔赴月球，被月球俘获后先在近月轨道上做圆周运动。已知月球质量为地球质量的p倍，月球半径是地球半径的q倍，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 嫦娥六号加速后的速度大于小于 B. 嫦娥六号点火加速后，在远离地球过程中机械能逐渐增大 C. 嫦娥六号在近月轨道做圆周运动的速度大小为 D. 嫦娥六号在近月轨道做圆周运动的周期为 【答案】D 【解析】A．月球所处位置还是在地球引力范围内，所以嫦娥六号加速后的速度要小于地球的第二宇宙速度，即小于，故A错误； B．嫦娥六号点火加速后，在远离地球过程中只有万有引力对其做功，其机械能保持不变，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，嫦娥六号在近地轨道运动时有 在近月轨道上运动时有 根据题意，， 解得在近月轨道的速度大小为 故C错误； D．同理可得，嫦娥六号在近地轨道上运动时有 在近月轨道上运动时有 又有 解得在近月轨道的周期为 故D正确。 故选D。 3．（2025·北京市北京大学附属中学·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A. 在近星点和远星点的速度满足 B. S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C. S2在点和点的加速度大小之比为 D. 中心天体黑洞的半径至多为 【答案】B 【解析】A．根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于远星点的速度，即，故A正确； B．根据开普勒第二定律 可得，故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 则S2在点和点的加速度大小之比为，故C正确； D．因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式 当时，可得 解得 所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。 本题选说法错误项，故选B。 4．（2025·湖南省常德市·二模）2024年6月2日上午6时23分，“嫦娥六号”成功着陆月球背面。若“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道上运行，周期为；当经过近月点点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道上运行，周期为。已知月球半径为，圆形轨道距月球表面的距离为，椭圆轨道远月点距月球表面的距离为，如图所示，引力常量为，忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说法正确的是（　　） A. B. 月球的质量为 C. 月球第一宇宙速度等于轨道II上的运行速度 D. 嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要在点点火使其加速才能完成 【答案】A 【解析】A．根据开普勒第三定律有 解得 故A正确； B．“嫦娥六号”轨道上运行时，有 解得月球的质量为 故B错误； C．月球第一宇宙速度是探测器近月飞行的速度，即绕月的最大速度，所以月球第一宇宙速度大于轨道II上的运行速度，故C错误； D．嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要点点火使其减速才能完成，故D错误。 故选A。 5．（2025·北京市海淀区·三模）如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，。C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A、C间引力，已知引力常量为G，，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。则（　　） A. A的线速度大于B的线速度 B. B的质量为 C. 若A也有一颗运动周期为的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径 D. 若知道C绕B运动轨道半径，则可求出C的质量 【答案】C 【解析】A．由于A、B星的角速度相等，根据 可知，角速度相等时，半径越大，线速度越大，因此A的线速度大于B的线速度，A错误； B．根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，对于A星而言 解得 B错误； C．设A星的卫星的轨道半径为，B星的卫星的轨道半径为，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得 解得 同理可得 根据上述求解可知 由于，可知，故，C正确； D．即使知道C绕B运动的轨道半径，也只能求得中心天体B星的质量，而无法求得C星的质量，D错误。 故选C。 6．（2025·湖北省武汉二中·一模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A. A的质量为m B. 该双星系统的运动周期为T C. A、B相距的距离为 D. 在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 【答案】C 【解析】B．观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，故B错误； AC．根据万有引力提供向心力有 解得 ， 因此质量大的恒星半径较小，可知，A的质量为3m，又有 解得 故A错误，C正确； D．单位时间内恒星与O点连线扫过的面积 则相等时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 故D错误。 故选C。 7．（2025·北京市大兴一中·一模）地球静止卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道II，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道III绕地球做匀速圆周运动。设卫星质量保持不变，下列说法中正确的是（　　） A. 卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度小于在轨道II上运动经过A点时的加速度 B. 卫星在轨道I上的机械能等于在轨道III上的机械能 C. 卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期均与地球自转周期相同 D. 卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度 【答案】D 【解析】A．由，解得 可知卫星在轨道I上运动经过A点时的加速度等于在轨道II上运动经过A点时的加速度，故A错误； B．卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点火加速，卫星从轨道Ⅱ进入轨道III需在B点火加速，所以卫星在轨道I上的机械能小于在轨道III上的机械能，故B错误； C．由开普勒第三定律，可知卫星在轨道I上的运动周期小于在轨道III上的运动周期，轨道III上的运动周期与地球自转周期相同，故C错误； D．由，可知 可知卫星在轨道III上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度，卫星在轨道III上运动经过B点时的速率大于卫星在轨道II上运动经过B点时的速率，故卫星在轨道II上运动经过B点时的速率小于地球的第一宇宙速度，故D正确。 故选D。 8．（2025·四川省成都市石室中学·一模）假设地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行周期与轨道半径的关系如图所示，图中1和2分别为我国空间站“天和”核心舱、卫星导航系统中某颗地球同步卫星所对应的数据。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 核心舱与地球同步卫星的向心力大小之比为 B. 核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为 C. 核心舱与地球同步卫星的周期之比为 D. 核心舱与地球同步卫星的速率之比为 【答案】B 【解析】A．由于核心舱与地球同步卫星质量未知，因此不能确定它们做圆周运动的向心力大小之比，故A错误； B．由题图可知，、 根据 可得 核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为，故B正确； C．根据开普勒第三定律可知，核心舱与地球同步卫星的周期之比 故C错误； D．根据 可得 核心舱与地球同步卫星的速率之比 故D错误。 故选B。 9．（2025·天津市新华中学·二模）SpaceX公司计划不断发射大量小型卫星，组成庞大的地球卫星群体，简称“星链计划”。但其部分卫星的轨道与我国空间站轨道有重叠，严重影响空间站的使用安全，有时就不得不做紧急避险动作，避免被星链卫星撞击的危险。如图所示，假设在地球附近存在圆轨道卫星和椭圆轨道卫星，A、B为椭圆轨道长轴的两端点，点为两轨道交点。A距离地心，B距离地心，距离地心。下列说法正确的是（ ） A. 卫星和卫星的周期不相同 B. 卫星和卫星在点加速度不相同 C. 卫星在点的速度小于卫星在A点的速度 D. 若卫星在A点适当点火加速，即可在以A点到地心为半径的轨道上绕地球做圆周运动 【答案】C 【解析】A．对两地球卫星，根据开普勒第三定律得，两卫星运动周期相同，故A错误； B．根据牛顿第二定律有，可知两卫星在C点加速度相等，故B错误； C．假设有一卫星c在A点所在的圆轨道上做匀速圆周运动，根据轨道半径越大，运行速度越小，所以卫星a在C点的速度小于卫星c在A点的速度，卫星b在A点做离心运动，卫星b在A点的速度大于卫星c在A点的速度，所以卫星a在C点的速度小于卫星b在A点的速度，故C正确； D．根据变轨原理，在椭圆轨道上运行的卫星b在A点适当减速，即可在以A点到地心为半径的轨道上绕地球做圆周运动，故D错误。 故选C。 10．（2025·江苏省常州市前黄高级中学·二模）如图所示，嫦娥六号在环月轨道上沿椭圆轨道运动，AB为长轴。已知A、B两点距月球球心的距离分别为、，运行至A、B时的速度大小分别为、。只考虑其受到月球的引力，则嫦娥六号（　　） A. 运行至A点时的加速度 B. 运行至B点时的加速度 C. 运行至A点时的加速度为 D. 运动至B点时的加速度为 【答案】B 【解析】AC．在A点构建一个半径为的圆轨道，嫦娥六号在该圆轨道上运动的速度设为，则该处的加速度 而 则，故AC错误； BD．在B点构建一个半径为的圆轨道，嫦娥六号在该圆轨道上运动的速度设为，则该处的加速度 而 则，故B正确，D错误。 故选B。 11. （2025·河南省名校联盟·二模）2025年5月左右，我国将发射“天问二号”探测器，其任务之一是从编号为“”的小行星表面取样并送回地球。小行星“”的直径约为40至100米，绕太阳公转的周期是365.77天，自转周期仅为28分钟，由于其质量较小，表面的引力非常弱，仅为地球表面引力的百万分之一，常被人们称之为“无重力环境”。下列说法正确的是（　　） A. 由于小行星“”的半径很小，故其第二宇宙速度很大 B. 由于小行星“”的质量很小，故万有引力定律对其不适用 C. 由于小行星“”的公转周期与地球的接近，故其轨道长轴与地球的轨道长轴相接近 D. 由于小行星“”的自转周期很小，故其地面的物体很难脱离其表面 【答案】C 【解析】AD．小行星“”的质量很小，故物体很容易脱离其引力束缚，即第二宇宙速度很小，故AD错误； B．虽然小行星“”的质量很小，但万有引力定律依然对其适用，故B错误； C．由于小行星“”的公转周期与地球的接近，根据开普勒第三定律可知，其运行轨道与地球轨道的半长轴相接近，故C正确。 故选C。 12. （2025·辽宁省葫芦岛市·二模）（多选）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中（k为已知常数），假设A与B只受到行星的引力，根据图像及时间关系可能求出（　　） A. 卫星A与B的绕行周期比 B. 行星与卫星A的质量比 C. 卫星A与B的质量比 D. 卫星A与B的密度比 【答案】AC 【解析】A．由图像可知卫星A的周期t1；卫星B的周期2t2；可知卫星A与B的绕行周期比1:2k，选项A正确； BCD．由图可知，当A卫星离行星的距离rA最小时，卫星A受到的万有引力最大，有 当rA最大时，卫星A受到的万有引力最小，有 联立可得 由图可知，当rB最小时，卫星B受到的万有引力最大，有 当rB最大时，卫星B受到的万有引力最小，有 联立可得 结合前面分析，根据开普勒第三定律的变形可得 联立可得 根据， 联立可求解AB质量之比；但不能求解行星的质量M，因AB的半径不能确定，则不能求解AB的密度之比，选项BD错误，C正确。 故选AC。 1．（2025年广东卷第5题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A. 公转周期约6年 B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【答案】D 【解析】A．根据题意，设地球与太阳间距离为，则小行星公转轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 解得年 故A错误； B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律可知，小行星受太阳引力增大，故B错误； cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误。 D．由牛顿第二定律有 解得 可知 即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确； 故选D。 2. （2025年甘肃卷第2题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【解析】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 3. （2025年北京卷第7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【解析】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 4. （2025年安徽卷第9题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 5. （2024年山东卷第5题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 故选D。 6. （2024·上海卷·第8题）图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。 （1）该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的______ A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 （2）已知太阳质量为M，引力常量为G。当慧日间距为时，彗星速度大小为。求慧日间距为时的慧星速度大小。（计算）______ 【答案】 ①. C ②. 【解析】（1）[1]根据开普勒第二定律可知，某慧星绕日运行的椭圆形轨道上近日点a点速度最大，远日点c点速度最小，根据对称性可知，从a点到c点所用时间为二分之一周期，且从a点到b点所用时间小于从b点到c点所用时间，则该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的bc之间。 故选C。 （2）[2]引力势能的表达式为 彗星在运动过程中满足机械能守恒，则有 解得 7. （2024年1月浙江卷第9题）如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约的轨道。取地球质量，地球半径，引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 火箭的推力是空气施加的 B. 卫星的向心加速度大小约 C. 卫星运行的周期约 D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 【答案】B 【解析】A．根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误； B．根据万有引力定律可知卫星的向心加速度大小为 故B正确； C．卫星运行的周期为 故C错误； D．发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。 故选B。 8. （2024年河北卷第8题）（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ） A. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C. 鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【解析】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 9. （2024年湖北卷第4题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A. 空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【解析】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 10. （2024年湖南卷第7题）（多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A. 其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B. 其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【答案】BD 【解析】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 其中在月球表面万有引力和重力关系有 联立解得 由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得 代入题中数据可得 故A错误、B正确； CD．根据线速度和周期的关系有 根据以上分析可得 故C错误、D正确； 故选BD。 11. （2023年6月浙江卷第9题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则( ) A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为 C.周期T与之比为 D.木星质量与地球质量之比为 答案：D 解析：由题意可知木卫三的半径为，对木卫一和木卫三由开普勒第三定律得，解得，A错；对木卫二和木卫三由开普勒第三定律得，解得，B错；根据题中条件不能求出T和的比值，C错；对木卫三由牛顿第二定律得，解得，对月球由牛顿第二定律得，解得，整理得，D对。 12. （2023年湖南卷第4题）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ） A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【答案】B 【解析】A．恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误； B．恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大。B正确； C．由第一宇宙速度物理意义可得 整理得 恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误； D．由质量分布均匀球体的质量表达式得 已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则 联立整理得 由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 故选B。 13. （2023年北京卷第21题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 14. （2023年福建卷第8题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $