15.3.1 等腰三角形（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步课件（人教版2024）

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质，通过剪纸对折操作引导学生观察重合线段与角，结合全等三角形知识证明“等边对等角”“三线合一”性质，构建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导探究，通过动手操作抽象性质，用数学思维开展分类讨论（如内角50°分情况求解），规范数学语言表达性质（如符号化表述三线合一）。采用探究式教学与分层练习，助力学生发展抽象能力与推理意识，也为教师提供清晰教学流程与多样化例题。

15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 （第1课时） 人教版 数学 八年级 上册 15.3 等腰三角形/ 1 七彩城就梦想 导入新知 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。 15.3 等腰三角形/ 七彩城就梦想 1. 探索并掌握等腰三角形的两个性质． 2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题. 素养目标 15.3 等腰三角形/ 如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角. 探究新知 等腰三角形的性质 知识点 A B C D 15.3 等腰三角形/ 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 探究新知 15.3 等腰三角形/ A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 【思考】如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 探究新知 15.3 等腰三角形/ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △ABD≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△ABD和△ACD中, 方法一：作底边上的中线. 还有其他的证法吗？ 探究新知 15.3 等腰三角形/ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△ABD和△ACD中, 探究新知 15.3 等腰三角形/ 由△ABD≌ △ACD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△ABD≌ △ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高 . A B C D 探究新知 【想一想】 15.3 等腰三角形/ 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）. 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 具备其中一条 另外两条成立 探究新知 归纳总结 等腰三角形的性质： 15.3 等腰三角形/ 七彩城就梦想 A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一） 数学语言：如图, 在△ABC中, 探究新知 15.3 等腰三角形/ 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 三线合一 探究新知 不重合 【思考】 为什么不一样？ 15.3 等腰三角形/ （1）等腰三角形的顶角一定是锐角. （2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角. （3）钝角三角形不可能是等腰三角形. （4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. （5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. （6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 明辨是非. （ ） 巩固练习 × × × √ × √ 15.3 等腰三角形/ A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD. 探究新知 等腰三角形性质的应用 素养考点 1 15.3 等腰三角形/ A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °. 探究新知 15.3 等腰三角形/ A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° . 解得x=36 ° . ∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 探究新知 15.3 等腰三角形/ 探究新知 方法点拨 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 15.3 等腰三角形/ 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC， ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°. 巩固练习 15.3 等腰三角形/ 例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° A 探究新知 等腰三角形的分类讨论问题 素养考点 2 方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 15.3 等腰三角形/ 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _______； 等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________； 等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________. 75°, 30° 70°,40°或55°,55° 35°,35° 巩固练习 15.3 等腰三角形/ 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 图② 图① 探究新知 利用等腰三角形的性质证明线段间的关系 素养考点 3 15.3 等腰三角形/ 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于点G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG. ∴BG–DG＝CG–EG. ∴BD＝CE. (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF. ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 探究新知 15.3 等腰三角形/ 探究新知 方法点拨 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其底边上的中线、底边上的高、顶角平分线是常见的辅助线． 15.3 等腰三角形/ 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. (1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数； (2)求证：EF＝ED. 巩固练习 15.3 等腰三角形/ (1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°– ∠BAC) ＝ (180°– 50°)＝65°. (2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC， 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED. 巩固练习 15.3 等腰三角形/ 2.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为_____． 100° 1.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． C 链接中考 15.3 等腰三角形/ 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ 　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 基础巩固题 课堂检测 1 15.3 等腰三角形/ 七彩城就梦想 3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________. 45°, 90° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 课堂检测 15.3 等腰三角形/ 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________． 70°或20° 课堂检测 A B C D A B C D 15.3 等腰三角形/ 1.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解：∵AB=AC， ∴ ∠C= ∠B=30°. ∵BD = CD，∴AD⊥BC. ∴∠ADB=∠ADC = 90°. ∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°. 能力提升题 课堂检测 15.3 等腰三角形/ 2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ 课堂检测 15.3 等腰三角形/ A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置． A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类就不会漏啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓广探索题 课堂检测 15.3 等腰三角形/ 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指底边上的中线、高及顶角平分线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质 易错点拨 （1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论 （2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线” 课堂小结 15.3 等腰三角形/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 15.3 等腰三角形/ 伴你成长 $