14.3 角的平分线（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步课件（人教版2024）

该初中数学课件聚焦角的平分线判定定理及三角形内角平分线性质，课堂导入通过“两把直尺作角平分线”的生活实例，衔接全等三角形旧知，搭建“性质-猜想-证明”的学习支架，引导学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，通过猜想证明培养推理意识（数学思维），结合建贸易市场等实例发展应用意识（数学语言），画图操作强化几何直观（数学眼光）。采用“回顾-猜想-证明-应用”教学链，学生能提升推理与应用能力，教师可高效实施教学。

14.3 角的平分线 （第2课时） 人教版 数学 八年级 上册 14.3 角的平分线/ 1 七彩城就梦想 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么? 导入新知 14.3 角的平分线/ 3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 1. 理解角平分线判定定理. 2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 素养目标 14.3 角的平分线/ S 这个点应该在角的平分线 O 探究新知 角平分线的判定的应用 素养考点 例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 14.3 角的平分线/ 回 顾旧知 O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 知识点 1 角平分线的判定 探究新知 14.3 角的平分线/ P A O B C D E 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE. 几何语言： 猜想: 探究新知 想一想 这个结论正确吗？ 14.3 角的平分线/ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， . （全等三角形的对应角相等） OP=OP，（公共边） PD= PE，（已知 ） B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 探究新知 猜想证明 14.3 角的平分线/ 7 七彩城就梦想 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 探究新知 14.3 角的平分线/ 例 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ， D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 探究新知 角平分线的判定的应用 素养考点 14.3 角的平分线/ 如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上． 3 3 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点． ∠ABC ∠BCD 巩固练习 14.3 角的平分线/ 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 三角形的内角平分线 知识点 2 探究新知 14.3 角的平分线/ 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ 探究新知 14.3 角的平分线/ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 探究新知 证明结论 14.3 角的平分线/ 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 探究新知 想一想 14.3 角的平分线/ 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. M E N A B C P O D 过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E . 由题意得， ON + OE + OM =12. B C A 巩固练习 P 14.3 角的平分线/ 15 七彩城就梦想 解：连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 巩固练习 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. 14.3 角的平分线/ 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 探究新知 归纳总结 14.3 角的平分线/ 例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 探究新知 利用三角形的内角平分线的性质求值 素养考点 14.3 角的平分线/ 探究新知 方法点拨 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 14.3 角的平分线/ 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 探究新知 归纳总结 14.3 角的平分线/ 到三角形三边距离相等的点是(　　) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？ 解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置 C 巩固练习 14.3 角的平分线/ 21 七彩城就梦想 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) . ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC. 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.求证：AD平分∠BAC. 链接中考 14.3 角的平分线/ 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 课堂检测 基础巩固题 14.3 角的平分线/ 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB， ∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 课堂检测 14.3 角的平分线/ 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. E 证明： ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F D 课堂检测 能力提升题 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 14.3 角的平分线/ 如图， 直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 拓广探索题 课堂检测 14.3 角的平分线/ P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 课堂检测 14.3 角的平分线/ 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 14.3 角的平分线/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 14.3 角的平分线/ 伴你成长 30 七彩城就梦想 $